新型慣質調諧質量阻尼器的安裝方法對優(yōu)化與性能的影響研究

摘要： 本文研究了新型慣質調諧質量阻尼器（novel tuned mass damper inerter， NTMDI）的安裝方法對其優(yōu)化設計與減振性能的影響。詳細介紹了NTMDI?R（反向安裝的NTMDI）的力學模型，并采用經典固定點理論對NTMDI?R進行了優(yōu)化設計，得到了NTMDI?R最優(yōu)結構參數(shù)的解析式；對比研究了NTMDI?R與現(xiàn)有四種經典調諧質量阻尼器（TMD、TMDI、VTMD和NTMDI）在簡諧激勵和隨機激勵下的減振效果，并探究了安裝方法對NTMDI?R減振性能的影響。結果表明：正、反向安裝的兩種減振器（NTMDI和NTMDI?R）優(yōu)化參數(shù)不同，安裝方法對其減振性能有較大影響。當表觀質量比β小于0.1時，NTMDI?R的減振效果差于NTMDI；而β大于0.1時，NTMDI?R的減振效果與NTMDI基本一致，因此采用NTMDI進行結構減振應明確其安裝方向。基礎加速度和荷載力分別作用下，NTMDI?R的減振效果相對于NTMDI分別降低了3.9%和4.7%。

關鍵詞： 振動控制； 調諧質量阻尼器； 慣質； 固定點理論； 安裝方法； 優(yōu)化設計

中圖分類號： TU352.1； TU311.3""" 文獻標志碼： A""""" 文章編號： 1004?4523（2025）02?0383?10DOI：10.16385/j.cnki.issn.1004?4523.2025.02.017

收稿日期： 2023?07?03； 修訂日期： 2023?09?11

基金項目："國家自然科學基金面上項目（52378508）；廣東省基礎與應用基礎研究基金資助項目（2022A1515110709）

Effect of installation method of novel tuned mass damper inerter on optimization and performance

HE Shuyong1，2， LI Shouying1，2， LI Yafeng3， LUO Shuai1，2， CHEN Zhengqing1，2

（1.College of Civil Engineering， Hunan University， Changsha 410082， China； 2.Key Laboratory for Wind and Bridge Engineering of Hunan Province， Hunan University， Changsha 410082， China； 3.Earthquake Engineering Research and Test Center， Guangzhou University， Guangzhou 510006， China）

Abstract： This study investigates the influence of installation methods on the optimization design and vibration reduction performance of a novel tuned mass damper inerter （NTMDI）. Firstly， the mechanical model of NTMDI-R （reverse-installed NTMDI） is introduced in detail， and its optimization design of NTMDI-R is performed using classical fixed-point theory， resulting in analytical expressions for the optimal structural parameters of NTMDI-R. Subsequently， a comparative study is conducted to analyze the vibration reduction effects of NTMDI-R and four existing classical tuned mass dampers （TMD， TMDI， VTMD， and NTMDI） under harmonic and random excitations， while also investigating the influence of installation methods on the vibration reduction performance of NTMDI-R. The results demonstrate that the optimized parameters of the two dampers （NTMDI and NTMDI-R） differ， and the installation method has a significant impact on their vibration reduction performance. When the apparent mass ratio β is less than 0.1， NTMDI-R exhibits a lower vibration reduction effect compared to NTMDI. However， when β exceeds 0.1， the vibration reduction effect of NTMDI-R becomes similar to that of NTMDI. Therefore， when adopting NTMDI for structural vibration reduction， the installation direction should be specified. Under base acceleration and load force conditions， the vibration reduction effect of NTMDI-R is reduced by 3.9% and 4.7%， respectively， compared to NTMDI.

Keywords： vibration suppression；tuned mass damper；inerter；fixed?point theory；installation method；optimal design

調諧質量阻尼器（tuned mass damper， TMD）是安裝在運動主系統(tǒng)上用于減小非期望振動的輔助質量系統(tǒng)，因其設計簡單、可靠性高而被廣泛應用于土木和機械工程領域［1?4］。為了使TMD達到最優(yōu)的減振性能，需對TMD進行優(yōu)化設計。OMIONDIUYD等［5］提出的固定點理論為TMD的優(yōu)化設計提供了方法，之后，該方法在結構的優(yōu)化設計過程中被廣泛應用［6?8］。

慣容具有質量放大效應，其概念最早由SMITH［9］提出。與物理質量不同，慣容是一種兩節(jié)點單元，可由兩節(jié)點間的作用力與其相對加速度的比值求得。在數(shù)值上，可比其自身物理質量大兩個數(shù)量級。實際應用中可通過齒輪齒條［10］、滾珠絲杠［11］、液壓形式［12］和流體形式［13］等來實現(xiàn)慣容。在“慣容”的概念被提出之前，ARAKAKI等［14］已經開始在土木工程領域中利用滾珠絲桿機構進行耗能增效，但當時在土木工程領域中并未對慣容進行系統(tǒng)地研究，而是在機械領域中得到了系統(tǒng)性的發(fā)展［15］。

為了改善TMD的減振性能，REN［16］將TMD中的阻尼單元與大地連接，提出了變化調諧質量阻尼器（variant tuned mass damper， VTMD），結果表明：VTMD對應的主結構頻響曲線同樣滿足固定點理論，并基于此理論推導了最優(yōu)結構參數(shù)表達式。但相較TMD而言，VTMD的減振效果并未有顯著的提升。為了提高減振器的性能，國內外研究人員借鑒慣容在汽車和機械領域中的應用，將具有質量放大機制的慣容引入到土木工程領域中，提出了多種形式的慣容減振（震）系統(tǒng)［17］。SAITO等［18］將慣容引入旋轉黏滯阻尼器，提出了土木工程領域首個具有完整意義的慣容減振（震）系統(tǒng)，即調諧黏滯質量阻尼器（tuned viscous mass damper， TVMD）。

如圖1所示，MARIAN等［19?20］將TMD的質量與大地通過慣質連接，提出了慣質調諧質量阻尼器（tuned mass damper inerter， TMDI），并采用H∞和H2方法對TMDI進行參數(shù)優(yōu)化；PIETROSANTI等［21］采用三種不同的優(yōu)化目標（位移最小化、加速度最小化和阻尼裝置耗散能量與主結構總輸入能量之比最大化）對TMDI進行優(yōu)化設計，并與TMD進行對比分析。結果表明：TMDI比經典TMD具有更好的減振效果和魯棒性；ZHANG等［22］和GIARALIS等［23］分別利用TMDI對風力機葉片和高層建筑風致振動控制進行了研究，并與TMD進行對比，研究結果同樣表明TMDI比TMD具有更好的減振效果。為了提高阻尼器的頻帶寬度，CAO等［24］將兩個慣質調諧質量阻尼器（TMDI）的質量單元通過阻尼單元連接，提出了串聯(lián)慣質調諧質量阻尼器（tuned tandem mass dampers‐inerters， TTMDI），并基于單自由度結構?TTMDI系統(tǒng)對TTMDI的減振性能進行評價，發(fā)現(xiàn)TTMDI在控制效率和控制頻帶范圍方面優(yōu)于TMDI。之后，CAO等［25］基于多重調諧質量阻尼器（MTMD）可拓寬有效頻帶的原理，設計了多重慣質調諧質量阻尼器（MTMDI），研究發(fā)現(xiàn)，MTMDI在控制效果、調諧質量沖程和魯棒性方面均優(yōu)于MTMD。

LI等［26］將TMDI中的阻尼單元調整為與慣質并聯(lián)，然后再與大地和調諧質量串聯(lián)，提出了新型慣質調諧質量阻尼器（novel tuned mass damper inerter， NTMDI），如圖2所示，并進行了參數(shù)優(yōu)化分析，結果表明，NTMDI比TMDI有更好的減振效果。然而，目前還沒有關于NTMDI的安裝方法對其優(yōu)化設計與性能影響的研究。本文將NTMDI與主結構和大地之間的安裝方向調換引入了反向安裝的NTMDI（即NTMDI?R）。建立了附加NTMDI?R的SDOF無阻尼主結構的力學模型，并基于固定點理論對NTMDI?R進行諧波激勵下的優(yōu)化設計，得到其優(yōu)化結構參數(shù)解析式；通過與現(xiàn)有四類經典的減振系統(tǒng)（TMD、VTMD、TMDI和NTMDI）進行比較，評估了NTMDI?R在簡諧激勵和隨機激勵下的振動控制效果。

1 NTMDI?R的理論模型

圖3分別為荷載力和基礎加速度激勵下附加NTMDI?R的單自由度無阻尼主結構模型。其中，ms和ks分別為主結構的質量和剛度系數(shù)；mi、md、kd和cd分別為NTMDI?R的表觀質量、物理質量、剛度系數(shù)和阻尼系數(shù)。ms和md均具有水平方向的自由度，可分別由相對大地的水平向位移xs和xd表示。f和分別為荷載力和基礎加速度。由D’Alembert原理可得附加NTMDI?R系統(tǒng)的主結構運動微分方程如下式所示：

（1）

其中，

或 """""" （2）

式中，對應圖3（a）中的力激勵；對應圖3（b）所示的基礎加速度激勵。

以加速度激勵為例進行NTMDI?R的最優(yōu)結構參數(shù)與主結構響應的詳細推導。

假設圖3（b）中的基礎加速度為簡諧荷載，有如下形式：

（3）

式中，ω為外激勵的圓頻率。

將式（3）代入方程（1）和（2）中，可得到：

（4）

其中，

（5）

式中，μ為調諧質量比，即md與ms的比值；β為慣容比，也稱表觀質量比，即mi與ms的比值；ωs和ωd分別為主結構和NTMDI?R的固有頻率；ξd為NTMDI?R的阻尼比。

設方程（4）中解的形式如下式所示：

，""" （6）

將式（6）代入方程（4）中，可得主結構響應幅值Xs：

（7）

式中，

（8）

引入如下參數(shù)：

（9）

式中，λ為激勵頻率比，即ω與ωs的比值；λd為調諧頻率比，即ωd與ωs的比值；xst為外激勵幅值在主結構上產生的靜位移。

則NTMDI?R對應的主結構動力放大系數(shù)為：

（10）

式中，

（11）

2 NTMDI?R的結構參數(shù)優(yōu)化

式（10）和（11）是以5個結構參數(shù)μ、β、λ、λd和ξd為變量的函數(shù)方程，其中質量比μ和β需根據(jù)結構的特點、減振目標等因素確定；λ為外激勵頻率比，是人為確定的，為已知條件；在μ、β和λ三個參數(shù)已知的前提下，對調諧頻率比λd和調諧阻尼比ξd進行優(yōu)化設計。圖4分別給出了六種調諧阻尼比ξd（0、5%、10%、20%、50%和∞）情況下主結構的頻率響應曲線。其中，μ=0.01、β=0.1和λd=1.0。從圖4中可以發(fā)現(xiàn)，附加NTMDI?R的主結構頻率響應曲線均經過與阻尼比無關的兩個固定點P和Q，這一現(xiàn)象與NTMDI一致［26］。

根據(jù)固定點理論，為了獲得最優(yōu)結構參數(shù)，必須使主結構的最大響應值最小，即兩固定點處的縱坐標相等，需要Ds在ξd=0和ξd→∞時的值相等，即，則有：

（12）

公式（12）可轉化為：

（13）

上述方程的兩個根對應圖4中兩個固定點的橫坐標，由韋達定理可得到下式：

（14）

當ξd趨于無窮大時，式（10）可轉化為：

（15）

根據(jù)固定點理論，在最優(yōu)結構參數(shù)下兩固定點處的響應值相等。將兩個固定點的橫坐標λP和λQ代入式（15）可得：

（16）

式（16）可簡化為：

（17）

將式（14）和（17）聯(lián)立，即可得到NTMDI?R的最優(yōu)頻率比λdopt：

（18）

將最優(yōu)頻率比λdopt代入方程（13）可得P和Q兩點的橫坐標為：

（19）

將式（18）和（19）代入式（15），可得兩固定點處的響應值，即最優(yōu)頻率比對應的最優(yōu)響應值為：

" （20）

根據(jù)式（18）得到的最優(yōu)頻率比λdopt可以滿足圖4中兩個固定點P和Q處的響應幅值相等。由圖4可知，附加NTMDI?R的主結構頻響曲線與阻尼比無關，均會經過P和Q兩個固定點，因此必須使附加NTMDI?R的主結構頻響曲線在P和Q兩點取得最大值。根據(jù)極值條件，P和Q兩點成為極值點需滿足：

（21）

同時：

（22）

Ds和λ均大于0，因此：

（23）

將式（10）簡化為：

（24）

將式（24）代入式（23）得到：

（25）

式中，

（26）

式（25）可化為：

（27）

在最優(yōu)頻率比λdopt條件下，P、Q兩點滿足：

（28）

將式（27）代入式（28）中得到：

（29）

將λdopt、和代入式（29），即可得到兩個固定點處阻尼比的平方和。需要強調的是，無論如何選擇阻尼，均不可能使結構的振幅比在P和Q兩點同時取得最大值。因此，取和的平均值作為最優(yōu)阻尼比，即：

（30）

在荷載力激勵下附加NTMDI?R減振系統(tǒng)的主結構頻響曲線也滿足固定點理論。同理，根據(jù)上述式（1）～（30）的推導，同樣可以得到在荷載力激勵下NTMDI?R的最優(yōu)頻率比、最優(yōu)阻尼比以及最優(yōu)主結構動力放大系數(shù)如下式所示：

（31）

（32）

"" （33）

圖5和6分別為基礎加速度和荷載力激勵下，NTMDI?R對應的結構優(yōu)化參數(shù)（最優(yōu)頻率比、最優(yōu)阻尼比和最優(yōu)主結構動力放大系數(shù)）隨調諧質量比μ和表觀質量比β的變化規(guī)律。從圖5和6中可以發(fā)現(xiàn)，兩種激勵作用下NTMDI?R的最優(yōu)頻率比λdopt均隨著調諧質量比μ和表觀質量比β的增加而不斷增加；在兩種激勵形式作用下，最優(yōu)阻尼比ξdopt均隨著表觀質量比β的增加而增加，但隨著調諧質量比μ的變化卻不一致。在加速度激勵下，當β小于0.35時，ξdopt隨著μ的增加不斷減小；當β大于0.35時，ξdopt隨著μ的增加呈先增加后減小的趨勢。而在荷載力激勵下，最優(yōu)阻尼比ξdopt隨著質量比μ的增加呈不斷減小的趨勢。在兩種荷載形式作用下，最優(yōu)主結構動力放大系數(shù)Dsopt均隨著β的增加而不斷減小；而β小于0.1時，Dsopt隨著μ的增加而增加；當β大于0.1時，Dsopt隨著μ的增加而減小。

與文獻［26］中的NTMDI相比，上述NTMDI?R的最優(yōu)結構參數(shù)的變化趨勢，除最優(yōu)頻率比λdopt與NTMDI的變化趨勢一致外，最優(yōu)阻尼比ξdopt和最優(yōu)動力放大系數(shù)Dsopt的變化趨勢均與NTMDI不同。并且在基礎加速度作用下，NTMDI?R的最優(yōu)結構參數(shù)λdopt和ξdopt均大于荷載力作用下的最優(yōu)結構參數(shù)λdopt和ξdopt，而最優(yōu)動力放大系數(shù)Dsopt則相反，這一現(xiàn)象正好與NTMDI的結果相反。這些現(xiàn)象證明阻尼器的安裝方法對其性能有很大影響。

3 簡諧激勵下主結構響應比較

經過文獻［16，20，26?29］調查，在表1中分別匯總了荷載力和基礎加速度激勵下，四種經典調諧質量阻尼器（TMD、VTMD、TMDI和NTMDI）的最優(yōu)參數(shù)表達式。并與本文中NTMDI?R對應的優(yōu)化參數(shù)表達式（λdopt、ξdopt和Dsopt）進行對比。

圖7和8分別給出了μ=0.01時，在兩種荷載作用下，附加最優(yōu)結構參數(shù)的5種調諧質量阻尼器（TMD、TMDI、VTMD、NTMDI和NTMDI?R）的最優(yōu)主結構動力放大系數(shù)Dsopt隨表觀質量比β的變化圖。從圖7和8中可以看出，在相同的表觀質量比β下，NTMDI比TMD、TMDI和VTMD具有更好的減振效果。并且隨著表觀質量比β的增加，其減振效果提高得越多。而NTMDI?R在表觀質量較小時，其減振效果差于TMD、TMDI和VTMD。因此，并非在經典的TMD和VTMD中添加表觀質量就可以提高其減振性能，還需要考慮阻尼器安裝方法的影響。當β小于0.1時，NTMDI?R的減振效果差于NTMDI；而β大于0.1時，NTMDI?R的減振效果與NTMDI基本一致。當β等于0時（即反向布置的VTMD），可以看出反向布置的VTMD的減振效果差于VTMD，這再次說明阻尼裝置的安裝方法對其減振效果有影響。

圖9和10分別給出了μ=0.01、β=0.2時，在兩種激勵作用下，附加最優(yōu)結構參數(shù)的5種調諧質量阻尼器（TMD、TMDI、VTMD、NTMDI和NTMDI?R）的主結構頻響曲線對比圖。其中，定義了減振率αi來評價NTMDI?R與其他4種調諧質量阻尼器的減振效果：

（34）

將兩種荷載作用下的減振率匯總在表2。從圖9和10可以看出：與TMD、TMDI和VTMD相比，NTMDI?R在兩種荷載作用下的減振效果均有較明顯提升。而與NTMDI相比，NTMDI?R在基礎加速度和荷載力作用下的減振效果則分別降低了3.9%和4.7%，說明荷載激勵方式也會對NTMDI?R和NTMDI的減振效果產生影響。

4 隨機激勵下主結構響應比較

在實際工程中結構更多是遭受像風和地震這樣的隨機荷載，因此本文進一步研究了在隨機荷載作用下附加上述5種減振系統(tǒng)（TMD、TMDI、VTMD、NTMDI和NTMDI?R）的主結構響應，并進行對比分析。

采用狀態(tài)空間［21］方法，式（4）可表示為：

（35）

式中，

（36）

假設外荷載為平穩(wěn)白噪聲激勵，則狀態(tài)向量的穩(wěn)態(tài)協(xié)方差矩陣表示為：

（37）

式中，E［］為期望運算。

公式（37）中穩(wěn)態(tài)協(xié)方差矩陣Gzz可通過李雅普諾夫方程求得，如下式所示：

（38）

式中，S0為白噪聲激勵的均勻功率譜密度。

對李雅普諾夫方程求解可得到穩(wěn)態(tài)協(xié)方差矩陣，從而可求得附加NTMDI?R的主結構響應均方根，如下式所示：

（39）

式中，

（40）

同理，改變狀態(tài)空間表達式（35）中的系統(tǒng)矩陣A和輸入矩陣B，即可得到附加TMD、VTMD、TMDI和NTMDI的主結構響應均方根，其中隨機加速度作用下附加5種減振系統(tǒng)的主結構響應均方根公式見文獻［26］，在此不贅述。而隨機荷載力作用下附加5種減振系統(tǒng)的主結構響應均方根如下式所示：

（41a）

（41b）

（41c）

（41d）

（41e）

將表1中對應的優(yōu)化結構參數(shù)λdopt和ξdopt代入相應的公式中即可得到最優(yōu)結構參數(shù)下附加5類減振系統(tǒng)的主結構響應均方根，如圖11和12所示。可以發(fā)現(xiàn)在兩種隨機荷載激勵下的主結構響應均方根結果與兩種簡諧荷載激勵下的結果（即圖7和8）具有相同的規(guī)律，這說明激勵方式不影響減振器的響應變化規(guī)律。

5 結" 論

本文將NTMDI與主結構和大地之間的安裝方向調換引入了NTMDI?R（反向安裝的NTMDI），并給出了諧波激勵下NTMDI?R優(yōu)化設計的解析式。將NTMDI?R與現(xiàn)有四種經典調諧質量阻尼器（TMD、VTMD、TMDI和NTMDI）進行比較，進而評估NTMDI?R在諧波激勵和白噪聲激勵下的振動控制效果。本文研究得出以下結論：

（1） 附加NTMDI?R的主結構頻響曲線同樣滿足固定點理論，基于固定點理論分別推導了簡諧基礎加速度和荷載力激勵下NTMDI?R對應的最優(yōu)結構參數(shù)解析式（最優(yōu)頻率比、最優(yōu)阻尼比和最優(yōu)主結構動力放大系數(shù)）。

（2） 在表觀質量相同時，NTMDI比TMD、TMDI和VTMD具有更好的減振效果。而NTMDI?R在表觀質量較小時，其減振效果差于TMD、TMDI和VTMD。因此，并非在經典的TMD和VTMD中使用表觀質量就可以提高其減振性能，還需要考慮阻尼器安裝方法的影響。

（3） 正、反向安裝的兩種減振器（NTMDI?R和NTMDI）的優(yōu)化參數(shù)不同，則阻尼器的安裝方法對其減振性能有較大影響。當表觀質量比β小于0.1時，NTMDI?R的減振效果差于NTMDI，而β大于0.1時，NTMDI?R的減振效果與NTMDI基本一致。基礎加速度和荷載力分別作用下，NTMDI?R的減振效果相對于NTMDI分別降低了3.9%和4.7%。

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第一作者： 何書勇（1995—），男，博士研究生。E?mail： hsyong@hnu.edu.cn

通信作者： 李壽英（1977—），男，博士，教授。E?mail： shyli@hnu.edu.cn