端齒同軸度誤差對雙錐度葉片-機(jī)匣系統(tǒng)加速特性分析

摘要： 在航空渦軸發(fā)動機(jī)裝配過程中，端齒同軸度誤差是一個重要的技術(shù)指標(biāo)，對整機(jī)系統(tǒng)的性能和使用壽命有重要的影響。以航空渦軸發(fā)動機(jī)渦輪葉片?機(jī)匣為研究對象，考慮將端齒同軸度誤差（定位誤差和定向角誤差）引入到葉尖?機(jī)匣的間隙方程中，基于Hamilton能量原理和Galerkin方法建立了考慮雙錐度葉片?機(jī)匣系統(tǒng)的非線性動力學(xué)模型，通過ANSYS有限元方法驗證了理論模型的正確性。在此基礎(chǔ)上，運(yùn)用Newmark?β數(shù)值求解方法分析了不同端齒同軸度誤差對系統(tǒng)在定值加速函數(shù)（函數(shù)1）與余弦波加速函數(shù)（函數(shù)2）下的瞬態(tài)響應(yīng)的影響，數(shù)值計算結(jié)果表明：增加同軸度誤差，會進(jìn)一步縮小葉尖與機(jī)匣之間的最小間隙，導(dǎo)致碰摩誘發(fā)的振幅更加嚴(yán)重；與函數(shù)1相比，采用函數(shù)2的加速度可以更快地通過系統(tǒng)臨界轉(zhuǎn)速，導(dǎo)致碰摩開始時間提前，當(dāng)靠近目標(biāo)轉(zhuǎn)速時，減速作用可以有效減少最大碰摩力和侵入量，以減緩系統(tǒng)的隆起現(xiàn)象和跳躍現(xiàn)象。

關(guān)鍵詞： 轉(zhuǎn)子動力學(xué)； 葉片?機(jī)匣碰摩；端齒同軸度誤差； 余弦波加速函數(shù)； 跳躍和隆起現(xiàn)象

中圖分類號： V231.96； V232.4""" 文獻(xiàn)標(biāo)志碼： A""" 文章編號： 1004-4523（2025）02-0420-12

DOI：10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2025.02.021

收稿日期： 2023-01-20； 修訂日期： 2023-06-26

基金項目："國家自然科學(xué)基金資助項目（52075554）；高性能復(fù)雜制造國家重點實驗室資助項目（ZZYJKT2021-07）；東北大學(xué)航空動力裝備振動及控制教育部重點實驗室研究基金資助項目（VCAME202006）；中南大學(xué)研究生創(chuàng)新基金資助項目（No.2019zzts256）

Acceleration characteristics of double taper blade?casing system considering the coaxiality errors of the curvic couplings

JIN Miao1，2， WANG Ailun2， WANG Qingshan2， Yin Yijun2， Chen Yaru2， HENG Xing2

（1.China North Vehicle Research Institute，Beijing 100072，China；2.State Key Laboratory of High Performance Complex Manufacturing， Central South University， Changsha 410083，China）

Abstract： In the assembly process of an aero-turboshaft engine， the coaxiality errors of the curvic couplings are an important technical index， significantly affecting the performance and service life of the whole system. This study takes the turbine blade-casing of an aero-turboshaft engine as an example. The coaxiality errors （including both positional and orientation errors） of the curvic couplings are introduced into the clearance function of the blade tip-casing， the nonlinear dynamic model of a rotating taper-blade casing system is then proposed based on the Hamilton variational principle and the Galerkin method. The effectiveness of the proposed model is verified using ANSYS software. Two different acceleration functions are proposed： Function 1 assumes a constant acceleration value， while Function 2 adopts a cosine wave form for acceleration. The effects of different coaxiality errors of the curvic couplings on the transient response during both acceleration functions are further investigated using Newmark-β numerical method. Simulation results show that an increase in the coaxiality error of the curvic coupling leads to a reduction in the minimum clearance between the blade tip and casing， resulting in a more serious amplitude amplification induced by blade-tip casing rubbing. Compared with Function 1， Function 2 enables the system to pass through the critical speed more quickly， which advances the start time of rubbing. In addition， the maximum rubbing force and penetration depth can be effectively reduced due to the effects of the deceleration， weakening the rising and jumping phenomena in the system.

Keywords： rotor dynamics；blade-casing rubbing；coaxiality errors of the curvic couplings；cosine wave acceleration function；rising and jumping phenomena

航空渦軸發(fā)動機(jī)是現(xiàn)代先進(jìn)直升機(jī)的“心臟”［1?2］，含有端齒連接結(jié)構(gòu)的轉(zhuǎn)子?雙錐度葉片系統(tǒng)是其重要的組成部分，其中端齒連接結(jié)構(gòu)是系統(tǒng)的高精密定心元件，通過中心拉桿對端齒連接結(jié)構(gòu)施加預(yù)緊力，使得多盤轉(zhuǎn)子連接成一體［3?4］。雙錐度葉片主要應(yīng)用于渦軸發(fā)動機(jī)的渦輪葉片，其設(shè)計思想是通過寬度和厚度的錐度比來調(diào)節(jié)葉片的氣動載荷分布，從而降低葉片的彎曲應(yīng)力和應(yīng)力集中程度，提高葉片的承載能力和耐久性。端齒連接結(jié)構(gòu)在裝配中或機(jī)器長期運(yùn)行中，不可避免地需要經(jīng)常拆卸，由于其具有多個齒嚙合，導(dǎo)致裝配工藝復(fù)雜，定位要求更高，需要高精度零點定位裝置分多工序完成裝配。因此，端齒連接結(jié)構(gòu)在裝配過程中，難免會產(chǎn)生端齒同軸度誤差，包括定位誤差和定向角誤差，這會使得葉尖與機(jī)匣之間的間隙逐漸縮小。此外，根據(jù)航空渦軸發(fā)動機(jī)的設(shè)計要求，轉(zhuǎn)子系統(tǒng)需要快速通過前2階臨界轉(zhuǎn)速，因此轉(zhuǎn)子系統(tǒng)經(jīng)常處于啟停或者加減速的狀態(tài)，此時系統(tǒng)的加速度隨時間變化，導(dǎo)致高轉(zhuǎn)速旋轉(zhuǎn)的葉片在加速過程中與機(jī)匣系統(tǒng)之間發(fā)生碰摩的可能性增大。因此，對含有端齒同軸度誤差的轉(zhuǎn)子?雙錐度葉片系統(tǒng)的加速響應(yīng)特性進(jìn)行分析，對中國航空渦軸發(fā)動機(jī)的理論研究和安全運(yùn)行具有重要的指導(dǎo)意義。

近年來，國內(nèi)外學(xué)者對于連接結(jié)構(gòu)的定位裝配進(jìn)行了理論研究，發(fā)現(xiàn)定位精度不僅關(guān)系到轉(zhuǎn)子裝配質(zhì)量，還影響轉(zhuǎn)子的動力學(xué)特性。關(guān)于定位誤差和裝夾誤差的相關(guān)研究，崔相武［5］以端齒連接結(jié)構(gòu)為定位元件設(shè)計了一種可重復(fù)、高精度、適合回轉(zhuǎn)工況的隨行夾具，并對其進(jìn)行了理論分析。王哲［6］以端齒連接結(jié)構(gòu)作為高精度零點定位裝置，發(fā)現(xiàn)定位誤差中不僅存在端齒的加工誤差，還包括了裝夾過程的誤差。為了減少端齒裝配誤差的影響，CROCCOLO等［7?8］采用有限元軟件對端齒連接結(jié)構(gòu)裝配過程中的定位誤差進(jìn)行了仿真分析，并且推導(dǎo)了端齒裝配過程中的定位誤差與端齒角不對中之間的數(shù)學(xué)表達(dá)式，并通過實驗驗證了表達(dá)式的準(zhǔn)確性。關(guān)于同軸度誤差的相關(guān)研究，WANG等［9］提出了一種間接測量端齒連接結(jié)構(gòu)的定位和定向角誤差的方法，并在此基礎(chǔ)上，推導(dǎo)了一種快速測量端齒同軸度誤差的優(yōu)化模型，通過實驗驗證了其效果。CHAI等［10］提出了一種非接觸式光學(xué)測量方案，可用于快速測量錐齒輪和花鍵之間的同軸度誤差。ZHANG等［11］提出了一種用于測量航空發(fā)動機(jī)裝配過程中多級轉(zhuǎn)子之間同軸度的方法，通過比較基于中心基準(zhǔn)線、單一測量基準(zhǔn)以及公共基準(zhǔn)軸的三種測量模型，并結(jié)合實驗表明，基于公共基準(zhǔn)軸的同軸度測試值比另外兩個方法的測量值更精確。關(guān)于端齒連接結(jié)構(gòu)的加工誤差方面的研究，基于彈性平均原理，劉恒等［12］推導(dǎo)了端齒連接結(jié)構(gòu)的軸向偏差和同心偏差的計算方法。孫帥等［13］基于端齒連接結(jié)構(gòu)的加工原理，分析了關(guān)鍵結(jié)構(gòu)參數(shù)（節(jié)距偏差和初始齒面間隙）對接觸狀態(tài)的影響規(guī)律，并通過優(yōu)化安裝相位誤差，減少了初始齒面間隙的方差和均值。

國內(nèi)外學(xué)者還對于轉(zhuǎn)子?葉片動力學(xué)建模展開了一系列的研究。關(guān)于碰摩方面的研究，靳玉林等［14］采用理論和實驗相結(jié)合的方法建立了含有葉片?機(jī)匣碰摩、滾動軸承游隙、聯(lián)軸器不對中及不平衡響應(yīng)等因素的雙轉(zhuǎn)子?軸承非線性系統(tǒng)，并分析了其碰摩響應(yīng)。張力等［15］考慮碰摩造成的約束作用，建立了碰摩約束條件的渦扇葉片?機(jī)匣的微分方程。基于小波轉(zhuǎn)換時?頻信號的分析方法，梁智超等［16］對轉(zhuǎn)子?支撐?機(jī)匣碰摩模擬試驗器的機(jī)匣振動響應(yīng)進(jìn)行了提取。太興宇等［17］采用理論和實驗的方法模擬了轉(zhuǎn)子?葉片?定子系統(tǒng)的碰摩響應(yīng)，研究表明，由于定子的約束，系統(tǒng)的響應(yīng)有明顯的“削峰”現(xiàn)象。基于多尺度攝動理論，李炳強(qiáng)等［18］模擬了不同法向碰摩力、圓盤偏心以及阻尼系數(shù)對轉(zhuǎn)子?葉片系統(tǒng)在主共振狀態(tài)下穩(wěn)定性的影響規(guī)律。基于相似設(shè)計理論，趙璐等［19］和侯理臻等［20］搭建了含有葉片飛脫裝置的葉片?機(jī)匣碰摩實驗器模型，研究表明增大不平衡量會引發(fā)超次諧波。馬輝等［21］和郭旭民等［22］采用Timoshenko梁和圓柱殼理論，構(gòu)建了旋轉(zhuǎn)葉片?柔性機(jī)匣動力學(xué)有限元模型，并分析了定加速度過程中，由于碰摩導(dǎo)致的葉片振動和機(jī)匣振動響應(yīng)。關(guān)于雙錐度葉片方面的研究，MADI等［23］對比了錐形葉片和無錐度葉片在風(fēng)機(jī)渦輪葉片中動力學(xué)特性的差異，結(jié)果表明錐形葉片在高轉(zhuǎn)速下具有更高的效率，能夠降低壓力損失和氣動損失。HU等［24］基于平均Navier?Stokes方程，建立了無人機(jī)旋翼系統(tǒng)的數(shù)值模型，并分析了長寬比和錐度比對系統(tǒng)懸停性能的影響。研究結(jié)果表明，適當(dāng)?shù)腻F度比可以增加葉片的弦長，從而提高系統(tǒng)的效率。ZHANG等［25］研究了失諧量對葉片?輪盤?機(jī)匣碰摩特性的影響，并在建立旋轉(zhuǎn)葉片的有限元模型中考慮了雙錐度葉片的變截面特征和陀螺效應(yīng)。

綜上所述，關(guān)于端齒連接結(jié)構(gòu)裝配過程中同軸度誤差的研究，相關(guān)學(xué)者主要集中在連接結(jié)構(gòu)的測量方法方面，目前尚缺乏端齒安裝過程中所產(chǎn)生的定位誤差和定向角誤差對動力學(xué)特性影響方面的研究。此外，針對轉(zhuǎn)子?葉片碰摩問題，雖然一些學(xué)者考慮了定加速過程中的振動響應(yīng)，但是關(guān)于余弦加速函數(shù)下振動響應(yīng)的研究仍然鮮有報道。特別地，端齒連接結(jié)構(gòu)的設(shè)計、加工以及裝配等技術(shù)已成為新一代航空渦軸發(fā)動機(jī)的核心技術(shù)。然而，國內(nèi)的相關(guān)研究相對薄弱，端齒連接結(jié)構(gòu)的同軸度誤差對轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的裝配精度和力學(xué)特性的影響尚不明確。此外，在直升機(jī)執(zhí)行任務(wù)時，不同加速環(huán)境下的振動特性呈現(xiàn)明顯差異，這已成為中國亟待解決的科學(xué)難題。

基于上述研究背景，本文首先分析了端齒盤的定位原理，并推導(dǎo)出了端齒裝配過程中的同軸度誤差（包括定位誤差和定向角誤差）的數(shù)學(xué)表達(dá)式。然后，針對航空渦軸發(fā)動機(jī)中葉片的復(fù)雜形面特征，基于Hamilton能量原理和Galerkin法建立了含有變截面的雙錐度葉片?機(jī)匣系統(tǒng)模型，并通過有限元方法驗證了模型的有效性和正確性。最后，采用數(shù)值積分方法模擬了兩種加速函數(shù)下端齒同軸度誤差對葉片?機(jī)匣碰摩響應(yīng)在瞬態(tài)過程中的影響規(guī)律。

1 動力學(xué)模型的建立

圖1為含有端齒連接結(jié)構(gòu)的葉片?機(jī)匣示意圖，其耦合系統(tǒng)主要由雙錐度葉片、機(jī)匣、端齒連接結(jié)構(gòu)、輪盤等組成， 其中圓弧段AD表示機(jī)匣弧長，弧長對應(yīng)的角度為60°。

為了建模方便，本文在建立理論模型時采用了以下假設(shè)條件：

（1） 各結(jié)構(gòu)的材料均為各向同性材料，其本構(gòu)關(guān)系滿足胡克定律，受力狀態(tài)滿足不變性公理。

（2） 不考慮輪盤的柔性變形，將輪盤視為剛性盤。

（3） 葉片簡化為雙錐度懸臂梁，機(jī)匣簡化為集中質(zhì)量模型，葉片?機(jī)匣碰摩采用點?點接觸來模擬接觸特征，碰摩范圍僅發(fā)生在圓弧段AD內(nèi)。

（4） 忽略碰摩過程中的摩擦熱效應(yīng)。

（5） 不考慮端齒連接結(jié)構(gòu)嚙合過程中的接觸效應(yīng)。

1.1 端齒同軸度誤差的模型

端齒連接結(jié)構(gòu)的定位和裝配過程主要分為三個步驟：首先是端齒基準(zhǔn)盤的定位；其次是旋轉(zhuǎn)工作轉(zhuǎn)臺與端齒下盤的嚙合（隨行夾具與端齒上盤的裝夾）；最后是端齒上齒盤和下齒盤的預(yù)緊裝配。在完成端齒定位和安裝過程中可能存在兩種裝配誤差：第一種誤差是端齒定位誤差，即端齒上、下齒盤在預(yù)緊嚙合過程中，由于加工誤差以及預(yù)緊滑移，會引起端齒下齒盤和上齒盤的形心與基準(zhǔn)盤中心線之間存在軸向偏移Pmis，如圖2（a）所示；第二種誤差是端齒定向角誤差，即端齒的上齒盤和下齒盤在完成嚙合之前，端齒下齒盤和旋轉(zhuǎn)工作轉(zhuǎn)臺一起轉(zhuǎn)動N個齒，產(chǎn)生了旋轉(zhuǎn)角θm。由于軸向偏移的作用，導(dǎo)致旋轉(zhuǎn)角與轉(zhuǎn)動中心線之間存在角偏差γmis，如圖2（b）所示。

上述兩種誤差在端齒安裝過程中同時存在，因此將它們統(tǒng)稱為同軸度誤差Cmis，如圖3所示，根據(jù)幾何位置關(guān)系，預(yù)緊前、后的端齒基準(zhǔn)半徑差和定向角誤差的數(shù)學(xué)表達(dá)式如下：

（1）

式中，Rm表示端齒圓盤的節(jié)圓半徑，Rm=（Ri+Ro）/2，Ri和Ro分別表示端齒圓盤的內(nèi)半徑和外半徑；θm表示端齒下齒盤的旋轉(zhuǎn)角。

通過式（1）可知，端齒下齒盤與轉(zhuǎn)動中心線之間的定向度誤差呈90?對稱分布，并且在旋轉(zhuǎn)角θm=90?時，定向角誤差達(dá)到最大值。此外，為了滿足端齒連接結(jié)構(gòu)的裝配條件，最大定向角誤差γmis?max必須小于端齒圓盤相鄰齒間的角度步長，因此，得到以下數(shù)學(xué)表達(dá)式：

（2）

式中，z表示端齒連接結(jié)構(gòu)的齒數(shù)。

結(jié)合式（1）和（2），為確保正確安裝，可以計算出最大定位誤差Pmis?max的上限閾值需要滿足最大定向角誤差γmis?max （θm=90?）的情況，表達(dá)式為：

（3）

1.2 雙錐度葉片的建模

雙錐度葉片如圖4所示，其中Lb表示葉片的總長度，b1、b2分別為葉根和葉尖處的寬度，h1、h2分別為葉根和葉尖處的厚度。u、v、w分別表示雙錐度葉尖上任意位置Q點在徑向、橫向和擺動方向上的變形。Xb、Yb、Zb分別為雙錐度葉片在局部坐標(biāo)系下的徑向、橫向、擺動方向上的位移。ξb為葉片上無量綱軸向位置（ξb=x/Lb），bb（ξb）和hb（ξb）分別表示葉片在軸向位置ξb上任意截面相對于葉根處的寬度和厚度，具體的表達(dá)式如下：

（4）

（5）

式中，ηb和ηh分別為雙錐度葉片沿著寬度方向、厚度方向的錐度比［26］，具體表達(dá)式為：ηb=1-b2/b1和ηh=1-h2/h1。

假設(shè)軸向位置ξb處的變截面面積Ab（ξb）為具有兩個待定系數(shù)的函數(shù)模式，變截面慣性矩Ib（ξb）為具有四個待定系數(shù)的函數(shù)模式，其表達(dá)式如下：

（6）

（7）

式中，ε1和ε2為變截面面積的二次待定系數(shù)；γ1、γ2、γ3、γ4為變截面慣性矩的四次待定系數(shù)；Ab1、Ib1分別為葉根處的變截面面積、變截面慣性矩，表達(dá)式分別為：Ab1=b1h1和Ib1=（1/12）b1。

進(jìn)一步，將式（4）和（5）代入到式（6）和（7）中，求得待定系數(shù)表達(dá)式為：

（8）

（9）

雙錐度葉片的總動能表達(dá)式如下［27］：

（10）

式中，ρb表示雙錐度葉片的密度；rQ表示固定坐標(biāo)下的位移矢量，符號“·”表示時間的一階偏導(dǎo)，其具體的符號描述和表達(dá)式參見文獻(xiàn)［3，28］。

考慮到雙錐度葉片在旋轉(zhuǎn)過程中的離心載荷、旋轉(zhuǎn)軟化、葉片?機(jī)匣的碰摩特征，其勢能可以表示為：

（11）

式中，表示葉片在局部坐標(biāo)系下的截面轉(zhuǎn)角；fc（x）、Fn、Eb、Gb、κb分別表示雙錐度葉片的離心載荷、葉片法向碰摩力、彈性模量、剪切模量、剪切因子，具體符號描述參見文獻(xiàn)［3］。

1.3 間隙函數(shù)

圖5為含有同軸度誤差的雙錐度葉片與機(jī)匣之間的間隙示意圖。圖中，O為端齒連接結(jié)構(gòu)的中心，Ocasing為機(jī)匣中心，rg（rg=Lb+Rd）為靜態(tài)（轉(zhuǎn)速Ω=0）時葉尖軌跡半徑，其中Rd表示輪盤半徑，uL表示葉尖徑向位移，ec表示靜態(tài)平行不對中量，δn表示旋轉(zhuǎn)葉片和機(jī)匣之間的侵入深度，g0（g0=Rcasing-Rd-Lb）表示旋轉(zhuǎn)葉片與機(jī)匣之間的間隙函數(shù)，ucasing和Rcasing分別表示機(jī)匣徑向位移和機(jī)匣半徑，φ1為初始相位角，Kcasing和Ccasing分別表示機(jī)匣在徑向方向的剛度和阻尼。

根據(jù)碰摩發(fā)生前后的幾何位置關(guān)系，B點、C點、點三點構(gòu)成了一個直角三角形，它們之間的關(guān)系式為：

（12）

因此，根據(jù)上式，得到以下表達(dá)式：

（13）

對上式求解，得到含有端齒同軸度誤差的葉片與機(jī)匣之間的間隙函數(shù)表達(dá)式為：

（14）

1.4 兩種加速度函數(shù)

為了考慮端齒同軸度對葉片?機(jī)匣系統(tǒng)在升速過程中的影響，本文在建立航空渦軸發(fā)動機(jī)的數(shù)學(xué)模型時，采用了兩種不同的加速度函數(shù)來模擬速度的變化率。其中，函數(shù)1是傳統(tǒng)的定加速度形式，適用于描述加速過程和穩(wěn)態(tài)過程。這種方式簡單易行，但也有缺點。在飛行過程中，從加速過程到穩(wěn)態(tài)過程，速度會突變，導(dǎo)致加速度理論上無窮大，容易產(chǎn)生剛性沖擊。函數(shù)2是余弦函數(shù)形式，適用于描述加速度的正弦波變化。這種方式可以使系統(tǒng)在加速過程到穩(wěn)態(tài)過程中，轉(zhuǎn)速變化平緩，避免過大的沖擊力，保證發(fā)動機(jī)的穩(wěn)定性和可控性。但也有風(fēng)險，余弦函數(shù)使轉(zhuǎn)速先加速后減速的變化，可以短時間內(nèi)達(dá)到最大推力，提高直升機(jī)的機(jī)動性能，但也可能導(dǎo)致壓氣機(jī)踹振或渦輪葉片損壞。

（1） 函數(shù)1：加速度函數(shù)、速度函數(shù)以及角位移函數(shù)分別為：

（15）

式中，Ωend、Ω0分別表示穩(wěn)定后的目標(biāo)轉(zhuǎn)速以及初始速度；tacc為加速時間；θ0表示初始角位移。

（2） 函數(shù)2：加速度函數(shù)、速度函數(shù)以及角位移函數(shù)分別為：

（16）

根據(jù)式（15）和（16），兩種函數(shù)的加速度變化曲線和速度變化曲線如圖6（a）和圖6（b）所示。

從圖6（a）和（b）可以看出，函數(shù)1和函數(shù)2分別用定值和余弦波來模擬加速度隨時間的變化，用固定斜率和正弦波斜率來模擬速度隨時間的變化。相比于函數(shù)1，函數(shù)2的速度變化剛開始緩慢，在時間歷程的1/3處，其加速度逐漸超過函數(shù)1，在時間歷程的1/2處，其速度開始超過函數(shù)1，在時間歷程的2/3處，加速度落后于函數(shù)1，在時間歷程為10.47 s時，速度最終減速達(dá)到目標(biāo)轉(zhuǎn)速。

1.5 外力所做的功

葉尖與機(jī)匣之間外力所做的功為雙錐度葉片所承受的氣動載荷和葉尖與機(jī)匣接觸時產(chǎn)生的摩擦力所做的功之和：

（17）

式中，F(xiàn)e為雙錐度葉片所承受的氣動載荷，其表達(dá)式為：

（18）

式中，F(xiàn)0為氣動載荷的常量；k1為葉片障礙數(shù)目；Fmj為單位面積的氣動載荷的幅值，j表示第j次的諧波分量。

葉片與機(jī)匣接觸時產(chǎn)生的摩擦力所做的功Wrub的表達(dá)式為：

（19）

式中，μc為葉片與機(jī)匣之間的摩擦系數(shù)。為法向碰摩力，表達(dá)式為：

（20）

式中，

αc=（Rd+Lb）/Rd，，

其中，ce為速度限制系數(shù)，本文取ce=0.9。

1.6 系統(tǒng)建模

將上述旋轉(zhuǎn)葉片?機(jī)匣系統(tǒng)的動能、勢能、外力所做的功代入到靜態(tài)Hamilton原理表達(dá)式中，得到：

（21）

式中，δ表示變分積分；t1和t2表示任意時間；、 分別表示機(jī)匣的動能和勢能。

可以通過Galerkin方法對旋轉(zhuǎn)葉片的葉片徑向位移u（x，t）、葉片橫向位移v（x，t）以及葉片擺動方向位移φ（x，t）進(jìn)行離散化處理，其表達(dá)式為：

（22）

式中，pi（t）、qi（t）、wi（t）分別為葉片徑向、橫向以及擺動方向?qū)?yīng)的正則坐標(biāo)；1i、2i、3i分別為徑向、橫向、擺動方向位移的振型函數(shù)，其具體表達(dá)式為：

（23）

式中，αi=（2i-1）π/2，i=1，2，3，…，Nmod為模態(tài)截斷階數(shù)，本文取Nmod=4；λi為第i階振型函數(shù)的特征值，其值由以下特征方程來決定：

（24）

將式（22）和（24）代入到式（21）中，旋轉(zhuǎn)葉片?機(jī)匣系統(tǒng)離散后的運(yùn)動微分方程為：

（25）

式中，MB、CB、GB、KB、qB、FB分別為雙錐度葉片的質(zhì)量矩陣、阻尼矩陣、陀螺矩陣、剛度矩陣、廣義坐標(biāo)向量以及廣義外載荷。其中阻尼矩陣CB采用瑞利阻尼矩陣，其表達(dá)式如下：

（26）

式中，

，

，

其中，模態(tài)阻尼比為ξ1=0.01、ξ2=0.02，f（n1）和f（n2）為系統(tǒng)的第一階和第二階固有頻率。

在式（26）中，KB=Ke+Kcentrifuge+Kspin+Kacc+KF，其中Ke、Kcentrifuge、Kspin、Kacc、KF分別為雙錐度葉片的結(jié)構(gòu)剛度矩陣、應(yīng)力剛化剛度矩陣、旋轉(zhuǎn)軟化矩陣、加速剛度矩陣以及外力剛度矩陣。其中葉片結(jié)構(gòu)剛度矩陣為：

（27）

式中，矩陣中各個元素表達(dá)式為：

葉片應(yīng)力剛化剛度矩陣為：

（28）

式中，

葉片旋轉(zhuǎn)軟化矩陣為：

（29）

式中，矩陣中各個元素表達(dá)式為：

，

。

葉片加速度導(dǎo)致的剛度矩陣為：

（30）

式中，矩陣中各個元素表達(dá)式為：

，

葉片外力導(dǎo)致的剛度矩陣為：

（31）

式中，

假設(shè)機(jī)匣簡化為集中質(zhì)量點，葉尖與機(jī)匣碰摩特征為靜態(tài)接觸過程，其運(yùn)動微分方程為：

（32）

式中，Mcasing、Ccasing、Kcasing、Fcasing分別為機(jī)匣的質(zhì)量矩陣、阻尼矩陣、徑向剛度矩陣以及葉尖對機(jī)匣的碰摩反力矩陣；為機(jī)匣的廣義坐標(biāo)向量。本文旋轉(zhuǎn)葉片?機(jī)匣系統(tǒng)的材料參數(shù)和結(jié)構(gòu)參數(shù)如不作特殊說明，具體數(shù)值如表1所示。

2 模型驗證

本文以端齒連接結(jié)構(gòu)的葉片?機(jī)匣系統(tǒng)為研究對象，其具體幾何尺寸和材料參數(shù)分別如圖1和表1所示。葉片?機(jī)匣碰摩簡化為一個準(zhǔn)靜態(tài)接觸過程，其中機(jī)匣假設(shè)為剛性結(jié)構(gòu)，葉片被視為柔性結(jié)構(gòu)。因此，碰摩過程可以看成是柔性葉尖與局部剛性機(jī)匣的接觸，其碰摩范圍發(fā)生在機(jī)匣圓弧段AD內(nèi)，其弧長對應(yīng)的角度為60°。該系統(tǒng)由端齒連接結(jié)構(gòu)、雙錐度葉片、輪盤、機(jī)匣系統(tǒng)等部件組成，其中雙錐度葉片被視為懸臂梁結(jié)構(gòu)，采用Timoshenko梁單元（ANSYS中的Beam188單元）進(jìn)行模擬，其被劃分為4個單元，5個節(jié)點。機(jī)匣被視為剛性單元，采用集中質(zhì)量單元（ANSYS中的Mass21單元）進(jìn)行模擬。為了驗證本文建模方法的正確性和有效性，本文將理論模型與ANSYS有限元軟件獲得的系統(tǒng)固有頻率進(jìn)行對比分析，圖7顯示了雙錐度葉片在Ω=0時的振型圖，表2給出了對應(yīng)的固有頻率對比結(jié)果。從表2中可知，本文的理論模型與有限元軟件結(jié)果吻合良好，僅在一階振型存在最大誤差1.06%，這驗證了理論模型固有頻率的準(zhǔn)確性。

為了驗證本文法向碰摩力模型的準(zhǔn)確性，使用式（20）與文獻(xiàn)［29］中實驗測試結(jié)果進(jìn)行對比驗證，實驗參數(shù)設(shè)置如下：轉(zhuǎn)速Ω=1000 r/min， 鋼制機(jī)匣徑向剛度Kcasing為3.5×107 N/m，葉片的彈性模量Eb為210 GPa， 密度ρb為7800 kg/m3， 泊松比為0.3，長度Lb為82 mm， 葉尖與機(jī)匣之間的摩擦系數(shù)μc為0.274，葉尖和葉根寬度為44 mm，葉尖和葉根厚度為3 mm。

圖8展示了在Ω=1000 r/min時，法向碰摩力隨侵入量的變化曲線。對于葉片和鋼制機(jī)匣而言，在侵入量∈（20，60） μm之間時，理論模型和實驗結(jié)果吻合較好。然而，在侵入量∈（60，80） μm之間時，實驗測試值大于理論值。理論模型和實驗方法都表明隨著侵入量的增加，法向碰摩力隨之增加，并且二者呈非線性變化。造成大侵入量存在誤差的原因可能是隨著侵入量的增加，機(jī)匣剛度發(fā)生了改變，另外一個原因是，隨著伺服進(jìn)給量的增加，葉尖與機(jī)匣之間的摩擦系數(shù)也發(fā)生了改變。綜上所述，本文模型可為后續(xù)開展瞬態(tài)響應(yīng)分析提供可靠的理論基礎(chǔ)。

3 數(shù)值模擬與討論

本節(jié)討論了雙錐度葉片在兩種加速函數(shù)和端齒同軸度誤差Cmis（包括定向角誤差γmis和定位誤差Pmis）下的瞬態(tài)響應(yīng)。其中，靜態(tài)平行不對中量ec設(shè)置為1.975 mm，加速區(qū)間為0～10000 r/min，穩(wěn)態(tài)轉(zhuǎn)速為10000 r/min。根據(jù)文獻(xiàn)［5］可知，國內(nèi)外主流快速隨行夾具的定位精度為3～5 μm。為了更直觀地區(qū)分同軸度誤差的差異，本文分別選取5、10和15 μm三種同軸度誤差進(jìn)行分析。葉片的幾何尺寸和材料參數(shù)與第2節(jié)相同，詳細(xì)的運(yùn)行工況以及仿真參數(shù)如表3所示。需要說明的是k1=10表示氣動載荷的激振頻率為轉(zhuǎn)頻的10倍，用以模擬氣動載荷的影響。在本節(jié)中，氣動載荷Fe表示作用在葉片表面的壓力，并取氣動載荷的第一次諧波， 即Fe=Fm1sin（k1Ωt）。

圖9展示了不同端齒同軸度誤差下，系統(tǒng)在兩種函數(shù)下的葉尖徑向振動響應(yīng)曲線。圖中，葉尖與機(jī)匣之間的最小間隙Cmin與初始間隙、不對中量和同軸度誤差有關(guān)，當(dāng)葉尖徑向振幅超過最小間隙Cmin時，系統(tǒng)會發(fā)生碰摩現(xiàn)象，其對應(yīng)的最小間隙Cmin的值已在圖中用紅色虛線表示。

由圖9可知，隨著端齒同軸度誤差Cmis的增加，最小間隙Cmin=g0-ec-Cmis減少，葉尖徑向位移的幅值放大現(xiàn)象變得更加明顯。當(dāng)升速到5.2 s時，函數(shù)2的葉尖徑向位移超過了函數(shù)1的值，這表明此時函數(shù)2的速度開始超過函數(shù)1，因此函數(shù)2的碰摩開始時間將早于函數(shù)1。此外，隨著端齒同軸度誤差的增加，函數(shù)1和函數(shù)2的碰摩開始間距逐漸縮小，說明系統(tǒng)的碰摩程度隨著端齒同軸度誤差的提高而增強(qiáng)，碰摩力增加，碰摩加劇。從圖9中還可知，函數(shù)1與函數(shù)2的葉尖徑向振動響應(yīng)與圖6（b）的速度變化趨勢相似。葉尖徑向位移在加速過程中逐漸增加，在10000 r/min達(dá)到最大，并且系統(tǒng)轉(zhuǎn)速達(dá)到10000 r/min時進(jìn)入到穩(wěn)態(tài)過程。此外，與函數(shù)2相比，函數(shù)1在目標(biāo)轉(zhuǎn)速10000 r/min處時有明顯的隆起現(xiàn)象，這是一種典型的碰摩故障［30?31］，這主要因為函數(shù)1在升速過程到穩(wěn)定過程中，其加速度由100 rad/s2直接降到0 rad/s2，加速度的變化有明顯的突變，導(dǎo)致機(jī)匣給予葉片一個明顯的反彈沖擊力，使系統(tǒng)出現(xiàn)隆起現(xiàn)象。這表明加速函數(shù)2采用的余弦函數(shù)在加速過程到穩(wěn)態(tài)過程中可以起到有效的緩沖作用。圖9中的局部放大圖展示了不同同軸度誤差下的徑向振動響應(yīng)。從局部放大圖中可以看出，隨著同軸度誤差的增加，葉片徑向方向的振幅會加劇，函數(shù)1的徑向位移在正、負(fù)方向都有明顯的幅值放大現(xiàn)象，而函數(shù)2的徑向位移僅在負(fù)方向有明顯的幅值放大現(xiàn)象，這歸因于函數(shù)2在從加速到穩(wěn)態(tài)過程中有減速作用，因此函數(shù)1產(chǎn)生的隆起現(xiàn)象也更為突出。

為了更清楚地分析兩種函數(shù)下端齒同軸度誤差對葉尖彎曲方向振動特性的影響，考慮同軸度誤差（5 μm）下葉尖彎曲方向的振動響應(yīng)曲線和三維瀑布圖如圖10和11所示。

從圖10中可以看出，函數(shù)2的共振峰之間的間隔時間Δt2要小于函數(shù)1的Δt1，這說明函數(shù)2可以更快地通過臨界轉(zhuǎn)速。因此，函數(shù)2的碰摩范圍比函數(shù)1的更長。

結(jié)合圖10和11可以看出，在氣動載荷作用下，系統(tǒng)在3300 r/min（此時轉(zhuǎn)頻fr=55 Hz）轉(zhuǎn)速處會出現(xiàn)葉片一階彎曲共振，這是因為氣動激勵頻率10fr接近于葉片第一階彎曲頻率（見圖11和表2）。在8823 r/min處出現(xiàn)幅值放大現(xiàn)象，這是因為3fr 與葉片一階彎曲振動f（n1）十分接近（見圖11和表2）。在9945 r/min（此時fr=166 Hz）轉(zhuǎn)速處出現(xiàn)了超諧波共振現(xiàn)象，這是由于18fr與葉片的二階固有頻率f（n2）相接近所致（見圖11和表2）。

通過對比兩種函數(shù)的葉尖彎曲振動響應(yīng)，發(fā)現(xiàn)第二種函數(shù)的氣動幅頻引起的幅值放大現(xiàn)象比第一種函數(shù)略微降低，這主要是因為第二種函數(shù)通過臨界轉(zhuǎn)速的加速度值略大，使得加速度剛度矩陣Kacc增加，導(dǎo)致振幅較小。與函數(shù)1相比，函數(shù)2在9945 r/min時有更明顯的幅值放大現(xiàn)象，這是由兩個原因所造成：（1） 在加速到9 s時，函數(shù)2的加速度值小于函數(shù)1的值，使得加速度剛度矩陣Kacc減少，導(dǎo)致共振峰的振幅增加；（2） 在該轉(zhuǎn)速下，系統(tǒng)處于碰摩階段，由于函數(shù)2的轉(zhuǎn)速大于函數(shù)1的轉(zhuǎn)速，高轉(zhuǎn)速導(dǎo)致函數(shù)2的碰摩力大于函數(shù)1的碰摩力，這也導(dǎo)致了共振峰的幅值放大現(xiàn)象更加明顯。

圖12和13為在兩種函數(shù)下，不同端齒同軸度誤差對系統(tǒng)的侵入量和法向碰摩力的影響。從圖中可以看出，在加速過程中，兩種函數(shù)的侵入量δn和法向碰摩力Fn與葉尖徑向位移的變化趨于一致，均在10000 r/min時達(dá)到最大，并且在穩(wěn)態(tài)過程中趨于平穩(wěn)。

如圖12（a）和圖13（a）所示，函數(shù)1的侵入量δn和法向碰摩力Fn在加速過程中呈線性增加趨勢，其時域曲線呈鋸齒狀，在加速到10000 r/min時達(dá)到最大值。從圖中還可以發(fā)現(xiàn)，在進(jìn)入穩(wěn)態(tài)過程的瞬間，可以觀察到侵入量δn和法向碰摩力Fn均發(fā)生了顯著的幅值突變，表明系統(tǒng)在從加速度過程到穩(wěn)態(tài)過程中出現(xiàn)了跳躍現(xiàn)象，并且隨著同軸度誤差的增加，跳躍現(xiàn)象愈加明顯。如圖12（b）和13（b）所示，函數(shù)2的侵入量δn和法向碰摩力Fn在加速過程中剛開始呈線性增加趨勢，其增長速率超過函數(shù)1。但是當(dāng)升速接近于8900 r/min時，其侵入量和法向碰摩力增長速率開始減緩，其時域曲線呈背鰭狀。這是由于函數(shù)2的加速度逐漸減小，因此每次發(fā)生碰摩后，葉片振動都會衰減，導(dǎo)致幅值出現(xiàn)反復(fù)回彈現(xiàn)象。此外，在通過最大轉(zhuǎn)速10000 r/min時，函數(shù)2的跳躍現(xiàn)象明顯低于函數(shù)1，這主要因為函數(shù)2的加速度采用余弦函數(shù)形式，在靠近最大轉(zhuǎn)速時，其加速度值趨近于零，使得跳躍現(xiàn)象程度減弱。

在葉片?機(jī)匣系統(tǒng)中，引入一個與碰摩力和碰摩時間相關(guān)的沖量來表征碰摩程度，其數(shù)值大小表示每個旋轉(zhuǎn)周期內(nèi)最大法向碰摩力與最小碰摩時間的乘積。對于端齒同軸度誤差為Cmis=5、10和5 μm，函數(shù)1的沖量分別為0.3255、0.5058和0.6930 N?s，表示函數(shù)1的沖量與端齒同軸度誤差之間存在線性關(guān)系。函數(shù)2的沖量分別為0.3089、0.4572和0.6084 N?s，表明隨著端齒同軸度誤差的增加，函數(shù)2的沖量逐漸減緩，這也說明在相同端齒同軸度誤差下，函數(shù)2的最大沖量明顯小于函數(shù)1，因此函數(shù)2的碰摩程度更小。

4 結(jié)" 論

本文以含有端齒同軸度誤差的轉(zhuǎn)子?葉片系統(tǒng)為例，對端齒連接結(jié)構(gòu)在裝配過程中產(chǎn)生的端齒同軸度誤差（包括端齒定位誤差和端齒定向角誤差）進(jìn)行了定量描述，基于Timoshenko梁理論和Galerkin方法，建立了雙錐度葉片?機(jī)匣動力學(xué)模型，并通過ANSYS商用軟件驗證了模型的有效性，分析了端齒同軸度誤差對雙錐度葉片?機(jī)匣系統(tǒng)在兩種加速函數(shù)下的瞬態(tài)響應(yīng)的影響規(guī)律，并得出了以下結(jié)論：

（1） 通過比較函數(shù)1和函數(shù)2，函數(shù)2的共振峰間隔時間Δt2明顯小于函數(shù)1的共振峰間隔時間Δt1。這表明與函數(shù)1相比，函數(shù)2可以更快地通過臨界轉(zhuǎn)速，從而導(dǎo)致碰摩開始時間提前。

（2） 隨著端齒同軸度誤差的增加，葉尖與機(jī)匣之間的間隙減少，葉尖碰摩區(qū)域逐漸增加。在升速過程中，轉(zhuǎn)子共振現(xiàn)象在3fr、18fr處出現(xiàn)明顯的幅值放大現(xiàn)象，其中3fr引起的超諧波共振現(xiàn)象最為明顯。

（3） 端齒同軸度誤差的增加會導(dǎo)致葉尖碰摩范圍增大，碰摩時間延長，碰摩加劇，系統(tǒng)的侵入量和法向碰摩力在最高轉(zhuǎn)速處出現(xiàn)明顯的跳躍現(xiàn)象，并伴有明顯的隆起現(xiàn)象，函數(shù)2可以有效地減少高轉(zhuǎn)速時的跳躍現(xiàn)象和隆起現(xiàn)象。

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第一作者：金" 淼（1989—），男，博士研究生。E-mail： jinmiao_mechanical@163.com通信作者："王青山（1989—），博士，副教授，博士生導(dǎo)師。" E-mail： qingshanwang@csu.edu.cn