基于整車模型的動力總成懸置系統穩健性優化

摘要：針對純電動汽車動力總成懸置系統（powertrain mounting system， PMS）參數同時具有不確定性和相關性的復雜情形，基于整車13自由度（degree of freedom， DOF）模型開展純電動汽車PMS穩健性優化設計研究. 首先，基于蒙特卡洛抽樣和相關性變換方法提出一種概率參數相關情形下PMS 固有特性響應不確定性和相關性分析的UTI-蒙特卡洛（UTI-MonteCarlo， UMC）法；然后，結合相關性變換方法和任意多項式混沌展開，推導一種高效求解PMS響應不確定性和相關性分析的UTI-任意多項式混沌展開（UTI-arbitrary polynomial chaosexpansion， UAPCE）法；接著，基于UAPCE法和相關系數賦權法，提出一種考慮響應不確定性和相關性的PMS穩健性優化設計方法；最后，通過算例驗證提出方法的有效性，并對比了基于傳統6 DOF模型和整車13 DOF模型的分析和優化結果. 結果表明，基于整車13 DOF模型得到的計算結果能更好地反映整車環境下PMS的振動特性；以UMC方法為參考，UAPCE法在求解PMS固有特性響應的不確定性和相關性方面具有良好的計算精度和效率；提出的優化設計方法能夠合理配置系統參數，提高系統穩健性.

關鍵詞：電動汽車；動力總成懸置系統；整車13自由度模型；參數不確定性和相關性；固有特性；穩健性優化

中圖分類號：U463.51 文獻標志碼：A

動力總成懸置系統（powertrain mounting system，PMS）是影響車輛振動性能的重要系統，具有支承、限位和隔振等功能［1］. 純電動汽車和傳統燃油汽車的振動噪聲問題存在較大差異. 一方面，純電動汽車動力總成質量小于傳統燃油汽車，在相同激勵下純電動汽車動力總成的振動更加顯著［2］. 另一方面，由于缺少發動機“掩蔽效應”，純電動汽車出現了新的噪聲振動問題（例如電磁噪聲和齒輪嘯叫）. 此外，純電動汽車參數存在不確定性［3-4］，也會對整車振動性能造成影響. 因此，對PMS進行不確定性分析和優化設計，有助于改善純電動汽車振動性能，對提高純電動汽車駕乘舒適性有重要意義.

近年來，針對PMS固有特性開展的不確定性研究已經很成熟. 劉春梅等［5］考慮了懸置剛度的制造誤差等不確定因素，提出了一種PMS的可靠設計流程. 吳杰等［6］將懸置剛度分別處理為均勻分布和正態分布變量，提出了系統固有特性可靠性優化設計方法. 謝展等［7］將懸置剛度處理為區間不確定參數，將穩健設計與多目標優化相結合，提出了一種PMS穩健優化設計方法.Cai等［8］和Lü等［9］將懸置系統中具有足夠樣本信息的參數處理為隨機變量，樣本數據有限的參數處理為區間變量，分別提出了復雜情形下PMS固有特性響應的不確定性分析與優化設計方法. 呂輝等［10］引入多維平行六面體模型處理PMS參數相關性和獨立性并存情形，結合蒙特卡洛法和攝動法提出了一種非概率不確定情形下PMS響應的不確定性分析方法.

上述研究工作均基于6自由度（degree of freedom，DOF）模型進行PMS不確定性分析和優化設計. 基于傳統6 DOF模型的PMS不確定性分析和優化設計已經取得較多成果. 但是，PMS作為整車不確定環境中隔離振動的彈性系統，其固有特性響應受到多個系統部件共同影響. 傳統6 DOF模型將PMS從整車環境中分離出來，假設其支承于剛性基礎，忽略車身質量、懸架剛度、輪胎剛度等因素及其不確定性對PMS固有特性響應的影響，不能準確地反映動力總成在整車不確定環境下的振動特性，使得不確定性分析結果和優化模型缺乏一定真實性. 此外，目前基于概率模型處理PMS不確定參數相關性時，往往涉及二維積分或非線性方程組等復雜計算，極大地增加了分析計算成本.

本文建立純電動汽車整車13 DOF模型，分別采用隨機模型和相關系數描述系統參數的不確定性和相關性，在同時考慮PMS、車身、懸架和車輪等影響因素的基礎上，開展純電動汽車PMS固有特性響應的穩健性優化設計研究，以期為純電動汽車PMS優化設計提供理論基礎和參考.

1 整車模型參數的不確定性和相關性

1.1 整車模型

對純電動汽車PMS固有特性進行分析時，將車身、電驅動總成以及非簧載質量視為剛體，懸置簡化為具有三向剛度的彈性元件，懸架和車輪簡化為僅具有豎直方向剛度的彈簧［11］. 建立整車坐標系Go-XoYoZo，并分別于各自質心位置建立電驅動總成坐標系Gpo-XpoYpoZpo、車身坐標系Gbo-XboYboZbo、非簧載質量坐標系Gui-XuiYuiZui（i=1，2，3）. 其中，Xo軸、Xpo軸、Xbo軸和Xui軸方向與汽車前進方向相反；Zo軸、Zpo軸、Zbo軸和Zui軸方向垂直指向上方；Yo軸、Ypo軸、Ybo軸和Yui 軸方向根據右手定則確定. 某純電動汽車整車13DOF動力學模型如圖1所示. 模型13個自由度分別為PMS 6個方向自由度、車身3個方向自由度（側傾、俯仰和豎直方向）和4個非簧載質量豎直方向自由度.

由運動學方程可得整車自由振動的特征方程為：

（M-1 K - ω2iI ）? i = 0 （1）

式中：M 為系統質量矩陣；K 為系統剛度矩陣；ωi 為第i 階固有頻率對應的圓頻率；? i 為第i 階振型；I 為單位矩陣.

第i 階固有頻率為：

fi = ωi /2π （2）

當系統以第i 階固有頻率振動時，第k 個廣義坐標上的振動能量為：

式中：?k，i 為? i 的第k 個分量；Mk，j 為M 的第k 行第j 列元素. 第i 階模態對應的解耦率di 定義為：

di = max k = 1，2，…，13Ek，i （4）

1.2 參數不確定性和相關性

采用隨機向量x = [ x1，x2，…，xn ]T 描述系統n 個不確定參數，變量xα 的均值和標準差分別記為exα 和σxα，xα 和xβ 之間的相關系數記為ρxα，xβ，則向量x 的協方差矩陣可以表示為：

UTI變換方法［12］可根據不確定參數的均值向量和協方差矩陣實現相關性變量向獨立變量轉換，且不涉及二維積分或非線性方程組等復雜計算. 基于UTI變換，將相關隨機向量x 向獨立向量轉換的具體步驟如下：

設u = [u1，u2，…，un ]T 和x? = [ x?1，x?2，…，x?n ]T 分別為獨立的標準正態隨機向量和具有相關性的正態隨機向量，ui和x?i 之間的關系可表示為：

x?i = F-1 xi （Φ （ui ）） （6）

式中：Φ （ ）為標準正態分布函數；F-1 xi （ ）為xi累計分布函數的逆函數.

相關隨機向量x 可以表示為：

式中：ex = [ex1，ex2，…，exn ]T 為隨機向量x 的均值向量；根號下Cx 為協方差矩陣的矩陣平方根.

2 響應不確定性和相關性分析

2.1 UMC 法

基于蒙特卡洛抽樣和UTI變換提出一種求解概率參數相關情形下PMS固有特性響應不確定性和相關性分析的UTI-蒙特卡洛（UTI-Monte Carlo， UMC）法，其主要步驟為：

1）根據n 維隨機向量x 的標準差以及變量之間的相關系數建立協方差矩陣.

2）根據協方差矩陣計算矩陣平方根根號下Cx .

3）根據標準正態分布概率密度函數進行抽樣，得到一n × m 維獨立樣本矩陣u = [u1，u2，…，un ]T.

4）根據式（6）和式（7）進行相關性變換，將獨立樣本矩陣u 轉化為相關樣本矩陣x = [ x1，x2，…，xn ]T.

5）將[ x1，i，x2，i，…，xn，i ]T 代入PMS的13自由度模型，計算第i 組樣本對應的系統固有特性.

6）重復步驟5）m 次，計算m 組響應的均值、標準差以及響應之間的相關系數.

上述方法可以作為參考方法，用于驗證其他PMS響應不確定性和相關性分析方法的有效性.

2.2 UAPCE 法

UMC法計算效率往往較低，因此進一步提出一種高效求解PMS響應不確定性和相關性的UTI-任意多項式混沌展開（UTI-arbitrary polynomial chaosexpansion， UAPCE）法.

以Y （x ） 表示PMS固有特性響應函數，基于任意多項式混沌展開，Y （x ）可表示為［13］：

式中：ci 為多項式基的展開系數；φi （u）為向量u 的第i階多項式基.

系統響應可以通過任意多項式混沌（arbitrarypolynomial chaos，APC）展開表示為：

式中：sα （α = 0，1，…，n） 是變量uα 的展開階數；n 為不確定參數個數；ci1，…，in 為多項式基的展開系數；φi1，…，in （u ） 為向量u 的多項式基，其可表示為多項式基的乘積.

uα 的任意多項式基φi （uα ）滿足以下遞推關系：

bi φi （uα ） = （uα - ai ）φi - 1 （uα ） + bi - 1 φi - 2 （uα ）（11）

式中：ai 和bi 為待求未知系數，且φ-1 （uα ） = 0，φ0 （uα ） = 1.

變量uα 的第i 階統計矩計算如下：

μixα = ∫Ωuiα w（uα ）duα （12）

式中：w（uα ）為變量uα 的概率密度函數.

將uα 的統計矩表示成如下Hankel矩陣形式.

對矩陣Hα 進行Cholesky分解，即Hα = RTα Rα，根據Rα 可確定未知系數. 然后，對Jacobi矩陣Jα 進行特征值分解，可獲得uα 對應的高斯積分節點向量u?α =[u?α，1，u?α，2，…，u?α，qα ]T 和高斯積分權值向量w?α =[w?α，1，w?α，2，…，w?α，qα ]T，其中qα 為uα 的高斯積分點數目.

將uα 對應的高斯積分節點向量u?α 代入式（6）和式（7）進行相關性變換，可得相關隨機變量xα 對應的高斯積分節點向量x?α = [ x?α，1，x?α，2，…，x?α，qα ]T.

得到所有變量的高斯積分點向量和高斯積分權值向量后，可將多項式基的展開系數表示為：

基于多項式基的性質，可獲得Y （x ） 的均值和標準差分別為：

UAPCE法分析流程如圖2所示.

3 PMS 穩健性優化

3.1 優化子目標權重

PMS是多輸出響應系統，其優化設計屬于多目標優化問題. 在傳統的PMS多目標優化中，各優化子目標的權重僅由主觀意識決定，缺乏客觀準則. 本文基于響應相關性分析結果，采用相關系數賦權法［14］確定各子目標的客觀權重. 響應Yα 與其他響應相關程度的均值為：

式中：N 為響應總個數.

響應之間的相關性越大，則在權重體系中所占比重越小，可認為權重δˉα 與相關性有如下關系：

δˉα = 1/δα （19）

進行歸一化處理，得到響應Yα 的客觀權重vα 為：

3.2 穩健性優化

對于橫置電驅總成，電機沿繞電機軸中心線的旋轉（Pitch）方向輸出扭矩，而電機轉子的動不平衡主要集中在X 和豎直（Bounce）方向. 因此，X 方向、Bounce 方向和Pitch 方向為當前研究主要關注方向［15］，本文優化重點關注這3個方向的解耦率響應.在穩健性設計中，不僅要優化響應均值，還要最小化響應標準差. 結合6 Sigma 準則和固有特性設計要求，PMS的穩健性優化模型為：

式中： edX、edB、edP、efX、efB 和efP 分別為X 方向解耦率dX、Bounce方向解耦率dB、Pitch方向解耦率dP、X 方向固有頻率fX、Bounce方向固有頻率fB 和Pitch方向固有頻率fP 的均值；σdX、σdB、σdP、σfX、σfB 和σfP 分別為dX、dB、dP、fX、fB 和fP 的標準差；fX，min 和fX，max 分別為fX 的最小和最大設計值；fB，min 和fB，max 分別為fB的最小和最大設計值；fP，min 和fP，max 分別為fP的最小和最大設計值；t = [ t1，t2，…，tn ]T 為優化變量的名義值向量；tj為第j個優化變量的名義值；tU 和tL 分別為t 取值的上下邊界向量.

4 應用算例

4.1 研究模型

以某純電動汽車三點懸置系統為例，電驅動總成質量為74.29 kg，車身質量為906.256 kg，前后懸架非簧載質量分別為62 kg和60 kg. 表1為電驅動總成和車身的轉動慣量和慣性積.表2和表3分別為電驅動總成懸置和懸架安裝位置.表4為懸置三向靜剛度和動剛度值. 前后懸架彈簧剛度分別為25.5 N/mm和27.4 N/mm，車輪垂向剛度為189.7 N/mm.

4.2 PMS 不確定性分析

為探究懸置剛度參數對PMS固有特性響應的影響，將懸置剛度參數處理為服從正態分布的概率變量，均值為表4中的動剛度值，標準差取均值的6%.表5給出了同一懸置剛度參數之間的相關系數，不同懸置之間的剛度參數相互獨立.

工程中常關注系統響應的取值邊界. 根據6 Sigma 準則，響應的邊界區間可以表示為[eYi -6σYi，eYi + 6σYi ]，響應的邊界區間越小，表明系統穩健性越好. 在本文方法中，忽略車身、非簧載質量、懸架以及車輪剛度時，整車13 DOF 模型可簡化為傳統6 DOF 模型. 表6 和表7 分別給出了6 DOF 模型下UMC法和UAPCE法計算得到的PMS固有特性響應邊界. 表8和表9分別給出了13 DOF模型下UMC法和UAPCE法計算得到的PMS固有特性響應邊界.

由表6和表7可知，以UMC法作為參考，在基于6 DOF模型計算固有特性響應邊界時，UAPCE法的最大相對誤差為0.66%. 在同一臺計算機上，UMC法基于6 DOF模型求解PMS固有特性響應用時114.34 s，需要調用系統響應方程106 次；而UAPCE法求解僅用時0.67 s，需要調用系統響應方程29次（即512次）.與UMC法相比，UAPCE法可減少系統響應方程調用次數約99.95%比例，減少計算時間113.67 s，降低了99.42%計算耗時.

由表8和表9可知，在基于13 DOF模型計算固有特性響應邊界時，UAPCE 法的最大相對誤差為0.83%. 這表明在參數含相關性的不確定情形下，UAPCE法能很好地預測系統響應邊界. 在同一臺計算機上，UMC法基于13 DOF模型求解PMS固有特性響應用時277.56 s，需要調用系統響應方程106次；而UAPCE 法求解僅用時0.78 s，需要調用系統響應方程29次，這表明UAPCE法可以極大地降低系統響應方程的調用次數，節約計算時間. 此外，UAPCE法基于13 DOF模型進行PMS固有特性響應計算時，最大相對誤差和計算耗時較6 DOF模型增加，但仍然具有較高計算精度和效率.

基于6 DOF 模型和基于13 DOF 模型計算得到的fX、fP和dP的響應邊界非常接近，基于13 DOF模型計算得到的fB響應邊界比基于6 DOF模型計算得到的響應邊界整體升高. 基于13 DOF模型計算得到的dX響應下邊界比基于6 DOF模型計算得到的dX響應下邊界更高，dB響應邊界則整體降低. 這主要是由于懸置系統Bounce方向和車身存在一定的能量耦合.當懸置系統在Bounce方向振動時，會有部分振動能量分布于車身的自由度方向上，從而導致懸置系統Bounce方向解耦水平下降. 總體而言，Bounce方向固有特性受整車參數的影響較大，13 DOF分析模型得到的懸置系統固有特性更符合整車環境下的振動情況.

4.3 PMS 相關性分析

進一步探究不確定參數的相關性對PMS響應相關性的影響. 分析過程中令同一懸置三向剛度之間的相關系數分別為0、0.1、0.2、0.3、0.4、0.5、0.6、0.7、0.8、0.9、0.999 9. 圖3給出了不同情況下，UAPCE法和UMC法基于6 DOF模型和13 DOF模型計算dX、dB和dP之間的相關系數結果.

由圖3可以看出，UAPCE法求得各響應之間的相關系數曲線與UMC法求得的參考曲線具有很好的一致性. 這表明在計算響應相關性時，UAPCE法具有較高的計算精度，可以很好地預測系統響應之間的相關性.

基于6 DOF 模型進行分析時，X 和Bounce方向解耦率之間的相關系數ρdX dB、X 和Pitch方向解耦率之間的相關系數ρdX dP、Bounce和Pitch方向解耦率之間的相關系數ρdB dP 隨輸入參數相關性的增加而增加.基于13 DOF模型進行分析時，ρdX dB 和ρdB dP 隨輸入參數相關性的增加而降低，ρdX dP 隨輸入參數相關性的增加而增加. 分析表明，基于6 DOF模型得到的ρdX dP 與13 DOF模型的計算結果具有相近的數值和一致的變化趨勢. 基于6 DOF 模型得到的ρdX dB 和ρdB dP 則與13 DOF模型的計算結果有不一致的數值和變化趨勢. 這說明，基于6 DOF模型不能很好地開展整車環境下PMS響應的相關性分析，其分析結果可能存在較大誤差.

此外，不同響應之間的相關性受輸入參數相關性的影響有較大差異，在工程實際中可結合具體設計需求對懸置剛度參數相關性進行配置和控制. 例如，若要降低dB與dP之間的相關性，需要盡可能地提高剛度參數之間的相關系數；若想要降低dX與dP之間的相關性，則需盡可能地降低剛度參數之間的相關性. 橡膠懸置剛度參數的相關性通常與懸置的結構形狀和材料屬性有關.

4.4 PMS 穩健性優化

取表4中懸置剛度的均值作為優化變量的初始名義值，標準差取均值的6%，優化取值范圍為初始名義值的0.5～2.5倍. X 方向、Bounce方向和Pitch方向的權重根據式（18）～式（20）計算得到. 基于6 DOF模型計算得到的X 方向、Bounce方向和Pitch方向的權重分別為0.50、0.26和0.24. fX，min 和fX，max 分別設定為7 Hz 和12 Hz，fB，min 和fB，max 分別設定為13 Hz 和23 Hz，fP，min 和fP，max 分別設定為24 Hz和36 Hz. 基于6 DOF模型建立PMS穩健性優化模型，優化結果如圖4所示.

由圖4可知，優化后的固有頻率響應邊界沒有明顯變化，解耦率響應邊界顯著縮窄. 其中，優化后dX、dB 和dP 均值分別由88.19%、83.53% 和85.18% 提高至98.27%、99.17% 和98.52%。通過計算可知dX、dB和dP標準差分別由2.67、6.61和2.97降低至0.21、0.54和0.24. 在同樣的不確定性和相關性情形下，解耦率均值相比優化前有較大提高，標準差明顯降低，這說明系統參數不確定性對解耦率的影響顯著降低. 將基于6 DOF 模型的優化結果代入13 DOF 模型，得到的計算結果如表10所示.

由表10 可知，dX、dB 和dP 均值分別由98.27%、99.17%和98.52%降低至90.27%、80.66%和98.40%，標準差分別由0.21、0.54和0.24增加至11.71、1.02和0.32. 這說明基于6 DOF模型的優化結果，在13 DOF模型中穩健性大幅下降，其中dX和dB的穩健性下降最多. 這說明基于6 DOF模型，無法保證整車環境下優化結果性能的穩健性.

基于13 DOF模型計算得到的X 方向、Bounce方向和Pitch方向的權重分別為0.34、0.32和0.34. 根據上述分析，可基于13 DOF模型建立PMS穩健性優化模型，優化結果如圖5所示.

由圖5可知，優化后的固有頻率響應邊界沒有明顯變化，解耦率響應邊界顯著縮窄. 其中，優化后dX、dB 和dP 均值分別由89.15%、53.40% 和84.62% 提高至95.40%、81.66% 和96.33%，標準差分別由2.25、6.19和2.91降低至0.84、0.18和0.69. 在同樣的不確定性和相關性情形下，解耦率均值相比優化前有較大提高，標準差明顯降低，這說明系統參數不確定性對解耦率的影響顯著降低. 將基于13 DOF模型的優化結果代入6 DOF模型，得到的計算結果如表11所示.

由表11 可知，dX、dB 和dP 均值分別由95.40%、81.66%和96.33%提高至95.80%、99.72%和96.38%，標準差分別由0.84、0.18和0.69變化至0.95、0.24和0.66. 這表明基于13 DOF模型的優化結果，在6 DOF模型中穩健性無明顯變化. 因此，相較于6 DOF 模型，基于13 DOF 模型得到的優化結果有更好的穩健性.

5 結 論

1）以UMC法為參考，UAPCE法計算純電動汽車PMS響應均值、標準差、邊界范圍以及相關性時具有較高的計算精度和計算效率.

2）在不確定性分析方面，基于13 DOF模型計算得到的Bounce 方向響應邊界更合理. 對于其他方向，基于兩種模型均能求得較合理的響應邊界.

3）在相關性分析方面，基于6 DOF模型不能很好地開展整車環境下PMS響應的相關性分析，其分析結果可能存在較大誤差.

4）在穩健性優化方面，基于13 DOF模型得到的優化結果可以保證整車環境下優化結果性能的穩健性，比基于6 DOF模型得到的優化結果具有更好的穩健性.

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基金項目：國家自然科學基金資助項目（52375093）， National Natural Science Foundation of China（52375093）； 廣東省自然科學基金資助項目（2023A1515011585）， Natural Science Foundation of Guangdong Province（2023A1515011585）