滲透模型思想，助力學生發展模型觀念

【摘要】模型觀念是數學核心素養的具體表現，是學生運用數學模型解決問題的關鍵.學生發展模型觀念，可以感悟數學應用的普遍性，增強數學應用能力.模型思想是數學學科重要的思想方法，是學生發展模型觀念的助力.但是，在傳統的數學教學中，部分教師毫無原則地單向灌輸模型思想.在這樣的情況下，學生無法有效建模，影響模型觀念的發展.本文先論述模型思想，接著闡述滲透模型思想的原則，然后介紹滲透思想的策略，希望能借此彌補當前教學中的不足，切實助力學生發展模型觀念.

【關鍵詞】初中數學；模型思想；教學策略

《義務教育數學課程標準（2022年版）》（以下簡稱“課程標準”）闡明了數學核心素養的不同表現，指明了數學教學方向.模型觀念是數學核心素養的表現之一.模型觀念是運用數學模型解決實際問題的關鍵［1］.我國數學家徐利治認為，數學是研究模型的學科.他高度重視數學模型思想，指明數學教學應當滲透模型思想.模型思想是學生發展模型觀念的助力.但是，當前有部分初中數學教師尚未認識到模型思想對學生模型觀念的影響，毫無原則地機械灌輸模型思想，導致模型思想的價值未能實現.對此，數學教師要想幫助學生發展模型觀念，先要正確認識模型思想對模型觀念的影響，接著有原則、有策略地在教學中滲透模型思想.

1" 模型思想對模型觀念的影響

課程標準指出，學生發展模型觀念要認識數學與現實的聯系，從現實生活中抽象出數學問題，感悟數學應用的普遍性.

由此可見，學生發展模型觀念離不開模型思想.因此，在實施初中數學教學時，教師要滲透模型思想，助力學生扎實掌握數學知識，尤其是發展數學思維、儲備問題解決方法和經驗，順其自然地發展模型觀念.之后，在模型觀念的支撐下，學生會自覺應用模型思想，借助數學概念、數學原理、數學方法來描述、解決現實中的數學問題.同時，通過不斷地應用模型思想，學生的模型觀念會得以強化.

2" 滲透模型思想的原則

2.1" 教學形式多樣性

在傳統的數學課堂上，教師起主宰作用，單向灌輸模型思想.滲透模型思想目的之一是讓學生掌握問題解決方法.因此，在數學課堂上，學生要發揮主觀能動性，探究、掌握問題解決方法.所以，教師要改變傳統的教學形式，依據數學教學內容及模型思想，選用不同的教學工具，引導學生經歷建立數學模型的過程.在經歷此過程時，學生會主動地簡化問題、提出假設、創建模型、驗證模型、應用模型，由此掌握模型思想，發展模型觀念.

2.2" 注重完整建構過程

數學是一門邏輯性很強的學科，運用模型解決問題的過程，正是一個邏輯過程.在此過程中，學生要有嚴密的邏輯思維.但是，大部分初中生的邏輯思維不夠嚴密.他們在解決問題時，總會出現思維跳脫問題，甚至無法獨立思考.對此，教師要關注學生的思維過程，引導其經歷完整的知識建構過程.在此過程中，學生會積極動腦，分析并簡化問題、提出假設、創建模型、驗證模型、應用模型.如此，學生不但可以掌握數學內容，獲取模型思想，還可以增強思維的邏輯性，提升模型觀念發展水平.

3" 滲透模型思想的策略

滲透模型思想的步驟為：分析并簡化問題、提出假設、創建模型、驗證模型、應用模型［2］.在如上原則的指引下，教師要發揮教學智慧，緊扣模型思想滲透的步驟和教學內容，應用適宜的策略滲透模型思想.以“實際問題與二次函數”為例，教師可以應用如下策略滲透模型思想.

3.1" 創設情境，分析并簡化問題

分析并簡化問題是滲透模型思想的第一步.分析并簡化問題，其實是指從現實生活中提取出數學問題.創設情境是學生走進現實生活的重要途徑.在體驗情境時，學生會用數學的“眼睛”進行觀察，發現數學問題.對此，在滲透模型思想時，教師可以依據教學內容與現實生活的關系，創設情境，引導學生分析簡化問題.

眾所周知，在打排球時，排球的運動軌跡是一條拋物線.于是，在“二次函數與實際問題”這節課上，教師播放電影《奪冠》片段.在學生觀看時，教師發問：“從這一片段中，大家能否發現排球的運動路線是什么樣的？”基于生活經驗，大部分學生聯想到拋物線.教師對此進行贊賞，并提出任務：“假設排球場長18米.球網位于排球場的中間位置，高為AB（2.24米），排球運動員從點O處發球.在發球時，運動員將球向上拋起.當排球達到C點（OC=2米）處時，開始向正前方運動.當運動到E點（OE=6米）時，排球達到拋物線的最高點F.請根據排球的運動情況，以點O為原點建立平面直角坐標系.”在了解任務內容后，大部分學生積極思考，自覺地在腦海中描繪畫面，并認真繪制平面直角坐標系.在學生繪制后，教師選擇一幅作品，當眾展示見圖1.

圖1

此時，學生們愈加肯定“排球的運動軌跡是一條拋物線”.此時，有學生遷移已有數學知識，自發地提出問題：“可以怎樣確定拋物線的具體關系式？”教師和學生一起探究此問題.

通過創設情境，將學生帶入了實際生活中.學生發揮數學思維作用，審視生活現象，提出數學問題，打好了建立數學模型的基礎.

3.2" 適當激勵，合理假設

合理假設是滲透模型思想的第二步.合理假設是創建模型的前提［3］.在課堂上，教師要給予學生自由空間.在自由空間里，學生會開放思維，大膽假設.在此過程中，一些學生會受到多種因素的影響，提出一些不合理的假設.面對不合理的假設，教師不能直接否定，而是要善于引導學生驗證，使其發現自己的錯誤，自覺改正.學生只有大膽地假設，才能進一步地建立模型.同時，學生也會因此感受到數學學習樂趣，激發建立數學模型的欲望.所以，教師要適當地激勵學生，促使其自主假設.

在學生分析并簡化問題后，教師激勵他們進行假設.具體地，教師詢問學生：“大家覺得可以用什么樣的方法來確定拋物線的具體關系式呢？開動腦筋想一想，看看能否想出好方法.”在教師的言語激勵下，大部分學生開動腦筋，聯想到不同的方法，如“待定系數法”“作圖法”等.面對多樣的方法，教師不作點評，而是提出合作要求：“請大家和小組成員整理不同的方法，試著驗證方法是否正確.”在要求的推動下，學生紛紛進行合作.在小組中，學生積極思考，提出不同的看法，認真整理，獲得一些有可行性的方法.之后，學生分工，各自檢驗不同的方法.在驗證的過程中，一些學生發現問題，主動與小組成員交流.在他人的幫助下，學生改正問題，繼續驗證.

學生通過進行合理的假設，不但發散了思維，鍛煉了思維能力，還順其自然地儲備了建立數學模型的經驗，為形成良好的假設意識打下基礎.

3.3" 布置任務，創建模型

創建模型是滲透模型思想的第三步.實際上，創建模型的過程正是學生檢驗假設的過程.在此過程中，學生既可以檢驗假設是否正確，獲取正確的思路，還可以建立出恰當的模型，推動模型建立活動進一步發展.創建模型的過程一般分為兩步：第一步是剖析已知條件，確定數量關系；第二步是用合適的數學語言表示假設，建立數學模型.在學生驗證假設時，教師要以建立模型的步驟為重點，布置任務，驅動他們創建模型.

具體地，在學生驗證各自的假設時，教師提出任務：“（1）請大家認真閱讀題目，找出關鍵變量，確定數量關系，列出拋物線的解析式；（2）請主動展示自己列出的拋物線解析式.”在此任務的驅動下，學生經歷建立模型的過程.在此過程中，大部分學生細讀題目，確定數量關系，列出解析式.在完成任務后，學生主動與小組成員交流，確定解析式是否正確.之后，學生毛遂自薦，呈現拋物線解析式.

有學生代表呈現：y=－145x－62+2.8，并且認真描述自己的思路.其他學生認真傾聽，對照自己的結果作出判斷.在判斷時，有學生發現結果不同.于是，學生展示不同的結果.如有學生提道：“我們所求出的結果中的二次項系數不同.”面對不同的結果，教師鼓勵全體學生運算，得出正確結果.此時，有學生提道：“我們可以將已知線段的長度代入二次函數解析式中，直接得出結果.”在該學生的提示下，其他學生掌握簡便算法，認真運算.經過集體運算，學生最終確定了正確的拋物線解析式.

學生通過完成任務，創建了數學模型，解決了問題.尤其，學生因此積累了模型創建經驗，鍛煉了數學運算能力，強化了模型觀念.

3.4" 提出問題，求解模型

求解模型是滲透模型思想的第四步.數學模型類型多種多樣，如方程模型、不等式模型、概率模型等.求解模型重在考查學生綜合知識掌握情況.在學生創建模型后，教師要圍繞問題情境，提出其他問題，驅動學生綜合運用所學知識，建立、求解其他模型.通過求解不同的模型，學生可以驗證出模型是否正確，由此得出正確模型，為應用模型做好準備.

在學生創建拋物線解析式模型后，教師向他們提出問題：“在上述條件下，所發的排球能否過網呢？是否會出界呢？”在了解問題內容后，學生發散思維，進一步思考排球的拋物線運動與球網之間的關系.在思考的過程中，有學生想到根據球網的高度進行判斷.學生嘗試將數據代入模型中，得到一個不等式模型.如“當x=9時，y=2.6＞2.24；當x=18時，y=－0.4＜0”.由此，學生得出結論：“在上述條件下，所發的排球能過網，但是不會出界.”教師肯定學生的良好表現，并鼓勵他人探究其他模型.

3.5" 隨堂練習，應用模型

應用模型是滲透模型思想的第五步.學生求解模型，僅僅是得出了數學問題的結果，而非得出了實際問題的結果.所以，在求解模型后，學生還要繼續解決實際問題，借此驗證模型是否符合實際.在應用模型時，學生往往會得到兩種結果：一種是模型符合實際情境，第二種是模型不符合實際情境.面對第二種情況，教師要引導學生梳理建立模型的過程，發現問題，并及時改正.如此，學生可以得到符合實際情境的模型，為解決其他相關的實際問題奠定堅實基礎.隨堂練習是學生應用模型的途徑.在學生求解模型后，教師可以依據真實情境，呈現其他練習題，驅動學生應用模型.

如在學生求解模型后，教師呈現如此練習：“在其他條件不變的情況下，當排球運動的最大高度為2.32米時，在什么樣的高度范圍內，排球才會不出界？”在呈現練習題后，教師給予學生充足的練習時間.大部分學生紛紛應用模型，如有的學生建立二次函數等式模型，有的學生建立二次函數不等式模型.教師巡視課堂，了解具體情況.在此過程中，部分學生遇到困難.教師引導其回顧模型建立過程，發現問題，解決問題.最終，大部分學生解決了問題.

于是，教師趁機組織講評活動.在活動中，學生代表分析問題條件，介紹關鍵信息，建立模型，認真運算，得出結果.其他學生認真傾聽，判斷結果正誤.當結果錯誤時，其他學生進行糾正.

學生通過體驗隨堂練習活動，靈活地應用了模型，得出了符合實際情境的模型.同時，學生因此解決了實際問題，掌握了更多的解題方法，有利于形成良好的模型觀念，主動解決實際問題.

4" 結語

總而言之，有效滲透模型思想，便于學生經歷模型建立過程，順其自然地發展模型觀念.因此，在實施初中數學教學時，教師要緊抓模型思想對學生模型觀念的影響，遵循以學生為主體、教學形式多樣、注重完整建構過程這三大原則，結合數學教學內容，應用適宜策略，引導學生經歷“分析并簡化問題—提出假設—創建模型—驗證模型—應用模型”這一過程，助力學生掌握數學知識，獲取建模思想，發展模型觀念.

參考文獻：

［1］劉光建.基于“四能”的初中數學模型構建及價值分析［J］.中學數學教學參考，2022（23）：73-75.

［2］李琪.初中數學模型思想滲透現狀及教學策略研究［D］.濟南：山東師范大學，2022.

［3］安志紅，劉金英.構建數學模型解決實際問題——以初中數學解決問題專題為例［J］.考試研究，2021，17（06）：25-29.