構造中位線，巧解幾何題

【摘要】本文首先探討在幾何問題中構造中位線的方法及其重要性，通過對幾個幾何問題的分析，總結構造中位線的條件、技巧以及其在解決不同類型幾何問題中的應用．本文詳細闡述如何利用中位線的性質簡化問題、推導結論，為學生和教師在解決幾何問題時提供一種有效的策略和方法．

【關鍵詞】初中數學；中位線；解題技巧

幾何問題一直是數學學習中的重點和難點，而巧妙地構造輔助線往往是解決復雜幾何問題的關鍵，其中，構造中位線是一種極為有效的方法．中位線在幾何圖形中具有特殊的位置和性質，能夠將復雜的幾何關系變得清晰明了，為問題的解決提供有力的支持．本文將深入探討構造中位線的方法以及其在巧解幾何題中的應用．

1" 構造中位線在幾何問題中的妙用

在幾何問題中，構造中位線是一種極為有效的解題方法．構造中位線的方法通常有以下幾種：一是連接三角形兩邊的中點，可直接得到中位線；二是當出現線段比例關系時，考慮通過作平行線構造中位線；三是在有中點條件的圖形中，利用平行四邊形的性質來構造中位線．

三角形中的中位線具有重要的性質，它平行于第三邊，且長度是第三邊的一半．這一性質在解決幾何問題中起著關鍵作用．比如在證明兩線段平行問題時，若能構造出中位線，利用中位線與第三邊平行的性質，可輕松得出結論；在求線段長度問題中，已知一條線段長度，通過中位線與第三邊的關系，可求出另一條線段的長度．此外，在證明線段之間的倍數關系時，中位線也能發揮巨大作用．總之，構造中位線為解決復雜的幾何問題提供了一條簡潔而有力的途徑．

2" 證明線段相等

例1" 如圖1，△ABC是銳角三角形，分別以AB，AC為邊向外側作等邊△ABM和等邊△CAN．點D，E，F分別是MB，BC，CN的中點，連接DE，EF．求證：DE＝EF．

圖1

證明" 連接BN，CM，

因為△ABM和△CAN是等邊三角形，

所以AM＝AB，AC＝AN，

∠MAB＝∠CAN＝60°，

所以∠MAB＋∠CAB＝∠CAN＋∠CAB，

即∠MAC＝∠BAN，

所以△MAC≌△BAN（SAS），

所以MC＝BN.

又因為點D，E，F為MB，BC，CN的中點，

所以DE=12MC，EF=12BN，

所以DE＝EF．

點評" 點D，E，F分別是MB，BC，CN的中點，巧設中位線，可得DE=12MC，EF=12BN，再轉換長度關系即可解決問題．

3" 證明線段平行

例2" 如圖2，在△ABC中，BD平分∠ABC，AD⊥BD，垂足為點D，AE=EC．求證：DE∥BC．

圖2

證明nbsp; 延長AD交BC于點F，

因為BD平分∠ABC，

所以∠ABD=∠CBD．

因為AD⊥BD，

所以∠BDA=∠BDF=90°．

所以△BDA≌△BDF，

所以AD=FD．

又因為AE=EC，

所以DE∥FC，

即DE∥BC．

點評" 已知點E為AC的中點，要證明DE∥BC，所以聯想到三角形中位線，故可延長AD交BC于點F，再證明點D為AF的中點即可．在三角形中位線定理中有兩條線段互相平行，所以利用這一點可以證明線段平行．

4" 證明線段的長度關系

例3" 如圖3，已知AO是△BAC中∠BAC的平分線，BD⊥AO交AO的延長線于點D，點E是BC的中點．求證：DE=12AB－AC．

圖4

證明" 延長AC，BD交于點F，如圖4，由AO平分∠BAC，BD⊥AO，易證△ABD≌△AFD，

所以AB＝AF，BD＝DF.

又因為點E為BC的中點，

所以ED為△BCF的中位線，

所以DE=12CF=12（AF－AC）=12（AB－AC）．

點評" 因點E為BC的中點，可得ED為△BCF的中位線，DE=12CF，為進一步解題提供條件．

5" 證明線段的和或差

例4" 如圖5，若BD，CE分別平分∠ABC，∠ACB，AM⊥CE于點M，AN⊥BD于點N．求證：MN=12AB+AC－BC．

圖5

證明" 分別延長AM，AN交BC于點F，G．

因為BD平分∠ABC，AN⊥BD，

所以∠ABD=∠CBD，∠ANB=∠GNB=90°，

所以△ANB≌△GNB．

所以AN=NG，AB=BG．

同理可證△ACM≌△FCM，

所以AM=MF，AC=CF．

所以MN=12FG．

又因為FG=BG＋FC－BC=AB＋AC－BC，

所以MN=12AB+AC－BC．

點評" 證明與線段的一半有關的問題，可把所給線段作為中位線，找對應三角形的底邊，將其轉化為求底邊線段長的問題，再轉化為所求證的問題．

6" 結語

構造中位線是解決幾何問題的一種重要方法，它能夠巧妙地利用中位線的特殊性質，將復雜的幾何關系簡化，為問題的解決提供清晰的思路．在實際解題過程中，我們要善于觀察題目條件，靈活運用構造中位線的方法，結合其他幾何知識，提高解決幾何問題的能力．同時，我們也要注意構造中位線的技巧和注意事項，確保解題過程的準確性和有效性．總之，掌握構造中位線的方法對于提高學生的幾何解題能力和數學素養具有重要的意義．

參考文獻：

［1］肖躍，王彭德.構造“中位線”巧解中考幾何題［J］.數理化學習（初中版），2024（03）：33-35.

［2］李艷群，方衛.找三角形中位線，巧解幾何題［J］.語數外學習（初中版八年級），2007（06）：24-26.