初中數學解題方法和技巧研究

【摘要】二次函數作為初中數學學習難點，其解析式是解題關鍵，一般式、頂點式和交點式是常見的形式.學生需要掌握各種形式對應的解題策略，才能提升解題效率與準確性，本文主要介紹頂點式與待定系數法.

【關鍵詞】初中數學；二次函數；解題技巧

二次函數作為中考數學的重點，其主要考查學生解析式求解能力，通過掌握不同形式的函數表達式，并熟練運用已知條件進行求解，是解答二次函數題目的基礎，只有理清解析式解題思路，才能有效攻克二次函數難題.

1" 利用頂點式求二次函數解析式

二次函數的頂點式的形式為y=a（x－h）2+k，其中（h，k）是拋物線的頂點坐標，a是拋物線的二次項系數，這將影響到拋物線的開口方向與寬度.當已知拋物線頂點坐標與拋物線經過的另外一個點，可以使用頂點式求解出二次函數的解析式［1］.

例1" 如圖1，在平面直角坐標系中，拋物線y=－12x2+bx+152交x軸于點A和點B（5，0），點A先向上平移m（m＞0）個單位，再向右平移n（n＞0）個單位得點C；點B先向上平移m個單位，再向左平移3n個單位也得點C，且點C恰好落在該拋物線上．

圖1

（1）求b的值及該拋物線的對稱軸；

（2）求點C的坐標．

解析" 根據題目信息，第（1）問可以使用待定系數法求出數值b，并根據對稱軸為直線x=－b2a，求出拋物線的對稱軸，即因為拋物線y=－12x2+bx+152交x軸于點A和點B（5，0），所以－12×25+5b+152=0，所以b=1，所以拋物線為y=－12x2+x+152，所以拋物線的對稱軸為直線x=－12×（－12）=1.第（2）問結合題目中A （x，0），根據拋物線的對稱性得出其是關于x的方程，解方程求出x的數值，進而推導出A的坐標.即因為點B（5，0），對稱軸為直線x=1，所以A（-3，0），所以點A先向上平移m（m＞0）個單位，再向右平移n（n＞0）個單位得點C" （－3+n，m），點B先向上平移m單位，再向左平移3n個單位也得點C" （5－3n，m），所以－3+n=5－3n，所以n=2，所以C的橫坐標為－1，把x=－1代入y=-12x2+x+152，得y=－12×1－1+152=6，所以C（-1，6）．

2nbsp; 待定系數法求解二次函數解析式

待定系數法是求解二次函數解析式的一種常用方法，比較適合使用在已知二次函數經過幾個點的情況，確定已知點，建立方程組（將已知點坐標代入二次函數的一般形式），得到三個未知數a，b，c的數值，將求解出的數值代入一般式中，最終得到二次函數解析式.

例2" 如圖2，已知二次函數y=x2+bx+c的圖象與x軸交于點A（-4，0）和點B，與y軸的負半軸交于點C（0，-4）．

（1）求這個函數的解析式；

（2）點P是拋物線上的一點，當∠BCP=45°時，求點P的坐標.

圖2

解析" （1）直接將A與C的坐標代入到解析式中求出b與c的數值即可.主要分析問題（2），此問題需要學生結合解題要求，將y=0代入解析式，可得0=x2+3x－4，整理得（x－1）（x+4）=0，解得x1=1，x2=－4，所以點B坐標為（1，0）．

如圖3，過點B作BT⊥BC交CP與T，作TH⊥AB交AB于點H，則三角形△BCT為等腰直角三角形，所以∠TBH+∠OBC=90°，∠OBC+∠OCB=90°，所以∠TBH=∠OCB①.又因為∠THB=∠BOC=90°②，BC=BT③，由①②③得△BHT≌△COB（AAS），所以TH=OB=1，BH=OC=4，所以OH=3，所以T（－3，1），設CP解析式y=dx+e，C，T的坐標分別代入得－3d+e=1e=－4，解d=－53e=－4，所以此函數解析式為y=－53x－4，聯立y=x2+3x－4和y=－53x－4，得x2+3x－4=－53x－4，解得x1=－143和x2=0（舍去），將x1=－143代入y=－53x－4，得y=349，所以P（－143，349）.

圖3

3" 結語

在二次函數解析式的求解過程中，學生需要靈活掌握不同的表達形式，依據已知點坐標進行求解是核心環節.同時，還需要結合其他相關知識點來確定坐標，并熟練掌握基本點的求解方法，從而得出函數的具體形式.這是二次函數解析式解題的關鍵要點.

參考文獻：

［1］程龍軍.第10講 二次函數的圖象與性質［J］.中學數學教學參考，2022（02）：54-58.