一道中考題的教學(xué)實踐與反思

【摘要】發(fā)散性思維能力是創(chuàng)新能力的核心之一.要提升學(xué)生的創(chuàng)新能力，首先應(yīng)該關(guān)注如何培養(yǎng)他們的發(fā)散性思維.這種思維方式鼓勵個體突破常規(guī)思維模式，從不同視角尋求創(chuàng)新的解決方案.本文以一道典型的中考數(shù)學(xué)題為例，通過分析多種解題方法，展示在一題多解中學(xué)生思維發(fā)散的精彩過程，激發(fā)學(xué)生對知識的探究欲望，旨在為培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力提供有益的借鑒.

【關(guān)鍵詞】發(fā)散性思維；初中數(shù)學(xué)；解題

1" 引言

當(dāng)今社會，隨著科學(xué)技術(shù)的進(jìn)步和全球化的加速推進(jìn)，對創(chuàng)新型人才的需求不斷增加.因此，如何通過有效的教學(xué)方法培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力成為了一個重要課題.在2024年的中考輔導(dǎo)過程中，筆者帶領(lǐng)學(xué)生們共同探討2023年數(shù)學(xué)中考副卷上的一道典型選擇題，課程結(jié)束后，深感啟發(fā)，決定撰寫本文，記錄下教學(xué)體驗，希望通過一題多解的方式來促進(jìn)學(xué)生的思維發(fā)散，以此來提升他們的創(chuàng)新能力.

2" 試題呈現(xiàn)

（2023年江蘇省無錫市中考數(shù)學(xué)試卷副卷第10題）如圖1，正方形ABCD的邊長為2，點M是AD的中點，將四邊形ABCM沿CM翻折得到四邊形EFCM，連接DF，則sin∠DFE的值等于（" ）

（A）1010.""" （B）31010.

（C）55." （D）255.

3" 解法展示

解法1" 延長CF，AD交于點G，過點D作DH⊥CG于點H，如圖2所示.

由AD∥BC得∠DMC=∠BCM，翻折得∠BCM=∠GCM，所以∠DMC=∠GCM，因此GM=GC.

設(shè)DG=x，則GM=x+1=GC.

在Rt△DCG中，DG2+CD2=GC2，得DG=1.5，GC=2.5，F(xiàn)G=GC－CF=0.5.

再根據(jù)等面積法DG·CD=CG·DH，得DH=1.2，由勾股定理得GH=0.9.

所以FH=GH－FG=0.4，再次利用勾股定理，得DF=2105，所以sin∠FDH=FHDF=1010.

因為∠EFC=∠DHC=90°，所以DH∥EF，所以∠FDH=∠DFE，所以sin∠DFE=1010.

解法2" 過點C作CG⊥DF于點G，連接BM、MF，BF，BF交MC于點O，延長BC，過點F作FN⊥BN于點N，作FH⊥CD于點H，如圖3所示.

因為∠DFE+∠GFC=90°，∠GCF+∠GFC=90°，所以∠DFE=∠GCF.又DC=CF，所以DCF為等腰三角形，利用“三線合一”性，可得∠DCG=∠GCF，DG=FG.

因為翻折，所以BM=MF，BC=CF，所以MC垂直平分BF.

在△BMC中，根據(jù)等面積法MC·BO=BC·BA，易得BO=455，所以CO=255，BF=855.

在△BCF中，再次利用等面積法，BC·FN=BF·CO，易得FN=CH=85，所以CN=FH=65，HD=25.

在△FHD中，DF=DH2+FH2=2105，所以FG=105，

sin∠DFE=sin∠GCF=FGFC=1010.

解法3" 過C作CG⊥DF于點G，如圖4所示.

這種解法可聯(lián)想到一道題，若tanα=12，tanβ=13，則α+β=45°.對這個結(jié)論進(jìn)行拓展，也可知二求一.

設(shè)∠MCD=α，∠MCB=β，則α+β=90°.

根據(jù)翻折，∠MCB=∠MCF，可得∠DCG=β－α2，所以∠MCG=α+β2=45°.

因為tan∠MCD=12，所以tan∠DCG=13，

所以tan∠DFE=tan∠GCF=13，

所以sin∠DFE=1010.

4" 解法分析

顯然∠DFE不在直角三角形中，要求這個角的正弦，通常有兩種處理方式：（1）構(gòu)造直角三角形；（2）等角轉(zhuǎn)換，兩種方法都具有普適性，是解題通法.經(jīng)過嘗試與分析，第二種方式較容易實現(xiàn).

在正方形或矩形的翻折中，常用基本圖形性質(zhì)：“平行加角平分線得等腰”，并且知二得一，所以解法1中自然得到△GMC為等腰三角形.在Rt△DCG中，利用勾股定理求出DG的長，所有問題迎刃而解，這是一種自然的解法.有了“轉(zhuǎn)化”“等腰”這些線索，有學(xué)生還能再構(gòu)造等腰三角形，將∠DFE進(jìn)行等角轉(zhuǎn)化.

學(xué)生的思維繼續(xù)發(fā)散，在解法2中構(gòu)造出∠GCF，經(jīng)分析只需求出DF即可求其正弦值，但求解過程過于繁瑣.受以上方法啟發(fā)后，學(xué)生們的思維更加發(fā)散，有學(xué)生說不用作這么多條輔助線，于是誕生了解法3.該位同學(xué)由tan∠MCD=12以及該題較特殊的答案1010，憑借較強的數(shù)感，敏銳地覺察到特殊結(jié)果必然有特殊解法，很快有了解題思路.

5" 結(jié)語

所謂發(fā)散性思維是一種能夠從一個中心點出發(fā)，向多個方向思考問題的思維方式.它強調(diào)的是開放性和多樣性，鼓勵學(xué)生從不同的視角去探索問題的可能性.在數(shù)學(xué)領(lǐng)域，一題多解就是發(fā)散性思維的一個典型應(yīng)用.創(chuàng)新人才的培養(yǎng)，需要學(xué)生面對復(fù)雜問題時憑借幾何直觀、邏輯推理等素養(yǎng)尋找問題的突破口.

羅增儒教授指出，分析典型例題是學(xué)會解題的有效方法.數(shù)學(xué)是思維科學(xué)，教師應(yīng)通過解題幫助學(xué)生實現(xiàn)學(xué)會思考的教育目標(biāo).盡管解法中沒有創(chuàng)新，但思考是創(chuàng)新的源泉.教師掌握的思路和方法是經(jīng)典做法，能有效展示問題的知識要點，這些可能是命題者的考查意圖，但我們的思維需要更發(fā)散.因此，我們要積極開展生本互動，把學(xué)生的問題作為重要的教育資源.

【基金項目：無錫市教育科學(xué)“十四五”規(guī)劃2023年度課題《指向創(chuàng)新人才基礎(chǔ)培養(yǎng)的初中數(shù)學(xué)綜合實踐課程探索》（立項編號：E/D/2023/04）的研究成果】

參考文獻(xiàn)：

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