利用代數(shù)形式，構(gòu)建幾何結(jié)構(gòu)

【摘要】平面幾何問題因其直觀且豐富的幾何圖形和美妙的幾何性質(zhì)在初中數(shù)學中占有重要位置．圖形變化往往會引起幾何量的變化，涉及長度的大小、直線的位置關系等，這些變化都會以代數(shù)的形式反映出來．因此，在解答平面幾何問題時，要能夠合理利用代數(shù)形式，構(gòu)建相應的幾何結(jié)構(gòu)．本文探究一道典型例題的多種解法，以供讀者參考．

【關鍵詞】平面幾何；初中數(shù)學；解題技巧

1" 引言

面對平面幾何問題，首先應該明確題目已知條件，之后帶著條件觀察圖形的結(jié)構(gòu)特征，最后再將代數(shù)形式的所求量與圖形中的幾何量建立聯(lián)系，構(gòu)建相應的幾何結(jié)構(gòu)，如相似或相等三角形、直角三角形、等腰三角形、圓等，應用幾何圖形的平面幾何定理即可解出答案．

2" 例題呈現(xiàn)

如圖1所示，在△ABC中，AB=AC，P為BC上的一點.求證：AB2－AP2=BP·PC.

圖2

3" 解法展示

視角1" 構(gòu)造直角三角形

觀察所證代數(shù)式AB2－AP2=BP·PC，可得等式左邊為平方項，聯(lián)想初中平面幾何知識中有關平方的內(nèi)容，即勾股定理.由此可得要將代數(shù)形式轉(zhuǎn)化為直角三角形的幾何結(jié)構(gòu)進行處理.

證明" 如圖2所示，過點A作AH⊥BC于點H.

因為AB=AC，

所以BH=HC.

由勾股定理得AB2-AP2

=AH2+BH2-AH2+PH2

=BH2-PH2

=BH-PHBH+PH

=BH-PHCH+PH

=BP·PC.

視角2" 構(gòu)造相似三角形

觀察所證代數(shù)式AB2－AP2=BP·PC，可得等式右邊為兩項相乘的形式，這種代數(shù)形式在相似三角形中出現(xiàn)較多，因此就可以考慮構(gòu)造相似三角形這個幾何結(jié)構(gòu).

證明①" 如圖3所示，在AB上找一點E，使得∠APE=∠B.

圖4

所以△APE∽△ABP，APAB=AEAP，故AP2=AB·AE.

AB2－AP2=AB2－AB·AE=AB·（AB－AE）=AB·BE.

再證△APC∽△PEB，所以PCEB=ACPB，PC·PB=AC·BE.

因為AB=AC，所以AB2－AP2=AB·BE=BP·PC.

除了在AB邊上找一點E構(gòu)造相似三角形，也可以延長AP來構(gòu)造相似三角形.

證明②" 如圖4所示，延長AP至點D，使得∠D=∠2，連接BD.

因為∠1=∠1，∠D=∠2，

所以△ABP∽△ADB，

故AB2=AP·AD.

因為∠2=∠C=∠D，∠APC=∠BPD，

所以△APC∽△BPD.

所以AP·PD=BP·PC，

AP·（AD－AP）=BP·PC.

所以AP·AD－AP2=BP·PC，

所以AB2－AP2=BP·PC.

視角3" 構(gòu)造圓

觀察圖4，可以得到用此方法構(gòu)造出來的點D，恰好與點A，B，C在同一個圓上，因此可以構(gòu)造輔助圓，利用圓的相關性質(zhì)來解題，如同一圓弧對應的圓周角相等，圓心角為圓周角的一半，等等.

證明①" 如圖5所示，作△ABC的外接圓圓O，延長AP，交圓O于點D，連接BD.

因為AB=AC，所以∠2=∠C=∠D.

故△ABD∽△APB，ABAP=ADAB，

AB2=AP·AD=AP2+AP·PD.

因為AP·PD=BP·PC，

所以AB2=AP2+AP·PD=AP2+BP·PC.

即AB2－AP2=BP·PC.

圖6

等腰三角形與圓還有一種聯(lián)系：圓心和圓上任意的兩點（除三點共線的情況）構(gòu)成的三角形就是等腰三角形.同時AB2－AP2可以因式分解為（AB+AP）（AB－AP），結(jié)合圖6可以發(fā)現(xiàn)此代數(shù)形式即為圓的相交弦定理（圓冪定理）.

圓冪定理：圓內(nèi)兩弦相交，交點分得的兩條線段的乘積相等.

代數(shù)表示：PA·PB=PC·PD.

證明：如圖7因為圓上的同一圓弧所對的圓周角相等，所以∠B=∠D.

又因為∠BPC=∠DPA，所以△BPC∽△DPA，所以PBPD=PCPA，即PA·PB=PC·PD.

證明②" 如圖6所示，以點A為圓心，AB為半徑作圓A.

圖7

延長AP，交圓A于點D；延長PA，交圓A于點E，連接BD，CE.

由此易得△BDP∽△ECP，由圓的相交弦定理可得：

BP·PC=DP·PE=（AD－AP）（AE+AP）=（AB－AP）（AB+AP）=AB2－AP2.

4" 結(jié)語

上述的幾種解法出發(fā)點都是通過代數(shù)形式的特征分析出需要的幾何結(jié)構(gòu)，據(jù)此來添加不同的輔助線來構(gòu)造相應的幾何圖形.在平面幾何問題中，把握住了幾何結(jié)構(gòu)和代數(shù)形式之間的關系，就掌握了解答幾何問題的基本方法，打開了解題思路.

參考文獻：

［1］白雪峰，任媛媛，宋月娟.一道初中代數(shù)幾何綜合試題的多種解法與教學啟示［J］.中小學數(shù)學（初中版），2020（11）：33-35.

［2］胡夢堯.一道高考幾何題的多彩初中解法［J］.初中數(shù)學教與學，2024（14）：41-43.

［3］張笑笑.兩點間線段最短的實際應用——關于初中平面幾何中最值問題的剖析［J］.數(shù)理天地（初中版），2024（13）：16-17.