例談初中數學中三類幾何動點問題的解題技巧

【摘要】本文主要探討初中數學中的三類幾何動點問題，即隱圓問題、費馬點問題和胡不歸模型．通過具體的實例分析，詳細闡述這三類問題的解題思路和技巧，旨在幫助初中學生更好地掌握幾何動點問題的解題方法，提高他們的數學思維能力和解題能力．

【關鍵詞】初中數學；幾何動點；解題技巧

在初中數學中，幾何動點問題是一個重要的知識點，也是學生學習的難點之一．這類問題通常涉及圖形的運動變化，要求學生根據動點的位置變化，分析圖形的性質和關系，進而求解問題．由于動點的位置不確定，解題的難度增加，需要學生具備較強的空間想象能力、邏輯思維能力和分析問題的能力．

1" 隱圓問題

例1" 如圖1，AB是⊙O的弦，點C在⊙O內，∠ACB=90°，∠ABC=30°，連接OC，若⊙O的半徑是4，則OC長的最小值為""" ．

圖1

解析" 如圖2，延長BC交圓O于點D，連接DO，AD，過O點作OE⊥AD交于點E.

圖2

因為∠ABC=30°，

所以∠AOD=60°，

因為AO=DO，

所以△AOD是等邊三角形，

因為OA=4，所以AD=4，

因為∠ACB=90°，

所以∠ACD=90°，

因為EO⊥AD，

所以AE=DE，

所以點C在以E為圓心，AE為半徑的圓上，

所以當O、C、E三點共線時，OC為最小.

在Rt△DEO中，DO=4，DE=2，

所以EO=23，

所以CO的最小值為23－2．

點評" 本題為求圓中的最小距離問題，熟練掌握垂徑定理、等邊三角形的性質、直角三角形的勾股定理，根據定角定弦確定點C的軌跡是解題的關鍵．延長BC交圓O于點D，連接DO，AD，過O點作OE⊥AD交于點E，則△AOD是等邊三角形，再確定點C在以E為圓心，AE為半徑的圓上，則CO的最小值為EO－DE，再求解即可．

2" 費馬點問題

例2" 如圖3，在△ABC中，∠CAB=90°，AB=AC=1，P是△ABC內一點，PA+PB+PC的最小值為""" ．

圖3

圖4

解析" 將△APC繞點C順時針旋轉60°得△DFC，連接PF、AD、DB，過點D作DE⊥BA，交BA的延長線于點E，如圖4.

所以AP=DF，∠PCF=∠ACD=60°，

PC=FC，AC=CD，

所以△PCF、△ACD是等邊三角形，

所以PC=PF，AD=AC=1，

∠DAC=60°

所以PA+PB+PC=FD+BP+PF，

所以當B、P、F、D四點共線時，PA+PB+PC的值最小，最小值為BD的長.

因為∠CAB=90°，∠CAD=60°，

所以∠EAD=30°，

所以DE=12AD=12，

所以AE=AD2－ED2=32，

所以BE=1+32，

所以BD=BE2+DE2=6+22，

所以PA+PB+PC的最小值為6+22．

點評" 本題為費馬點問題，解題的關鍵在于將△APC繞點C順時針旋轉60°得到△DFC，將三條線段的長轉化到一條直線上，將PA+PB+PC轉化為FD+BP+PF，當B、P、F、D四點共線時，PA+PB+PC的值最小，最小值為BD的長．根據勾股定理求解即可．

3" 胡不歸模型

例3" 如圖5，在△ABC中，∠BAC=90°，∠B=60°，AB=4，若點D是BC邊上的動點，則2AD+DC的最小值為""" ．

圖6

解析" 過點C作射線CE，使∠BCE=30°，再過動點D作DF⊥CE，垂足為點F，連接AD，如圖6．

在Rt△DFC中，∠DCF=30°，

所以DF=12DC，

因為2AD+DC=2（AD+12DC）＝2（AD+DF），

所以當A，D，F三點在同一直線上，即AF⊥CE時，AD+DF的值最小，最小值等于垂線段AF的長，

此時，∠B=∠ADB=60°，

所以△ABD是等邊三角形，

所以AD=BD=AB=4，

在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠B=60°，AB=4，

所以BC=8，DC=AD=4，

所以DF=12DC=2，

所以AF=AD+DF=4+2=6，

所以2（AD+DF）=2AF=12，

所以2AD+DC的最小值為12．

點評" 本題考查垂線段最短、勾股定理等知識，解題的關鍵是學會添加輔助線，構造胡不歸模型，學會用轉化的思想思考問題，屬于中考選擇或填空題中的壓軸題．過點C作射線CE，使∠BCE=30°，再過動點D作DF⊥CE，垂足為點F，連接AD，當A，D，F三點在同一直線上，即AF⊥CE時，2AD+DC的值最小，最小值等于垂線段AF的長．

4" 結語

初中數學中的幾何動點問題是一個重要的知識點，也是學生學習的難點之一．通過對點在線段或圖形邊界上運動的三類問題的分析，可以總結出一些解題思路和技巧，如利用圖形的性質、建立函數關系、運用分類討論思想等．在實際教學中，要注重基礎知識的教學，培養學生的空間想象能力和邏輯思維能力，引導學生進行歸納總結，加強練習和鞏固，幫助學生更好地掌握幾何動點問題的解題方法，提高學生的數學思維能力和解題能力．

參考文獻：

［1］鄒騰.運用“動靜結合”策略解初中數學平面幾何動點問題的探究［J］.數學學習與研究，2024（07）：149-151.

［2］朱佳煒.對初中數學中兩類動點問題的探究［J］.中學數學教學參考，2022（21）：27-29.

［3］盧云，許心迪.初中幾何最值中的“阿氏圓”模型初探［J］.中學數學，2022（08）：62-65.