2024年與2023年福建省中考數學壓軸題對比分析及復習啟示

隨著福建省中考的不斷變化，數學壓軸題逐漸成為考生面臨的難點之一.近年，福建省的中考試題不僅在知識覆蓋面上逐漸擴展，在思維能力、知識綜合運用方面，越來越強調對學生綜合素質的考查.特別是2023年與2024年中考數學壓軸題的命題特點和命題趨勢呈現出一定的變化，這使得考生和教師需要更加注重對考點的精準把握與備考策略的調整.通過對比分析2023年與2024年福建省中考數學壓軸題的異同，本文旨在探討壓軸題的命題規律與變化趨勢，從而為學生的備考提供有針對性的策略.

1 真題呈現及分析

1.1 壓軸題呈現

題1 （2023年第25題）如圖1，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，D是AB邊上不與點A，B重合的一個定點.AO⊥BC于點O，交CD于點E.DF是由線段DC繞點D順時針旋轉90°得到的，FD，CA的延長線相交于點M.

（1）求證：△ADE∽△FMC；

（2）求∠ABF的度數；

（3）若N是AF的中點，如圖2，求證：ND=NO.

題2 （2024年第25題）如圖3，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，以AB為直徑的⊙O交BC于點D，AE⊥OC，垂足為點E，BE的延長線交AD[TX（]于點F.

（1）求OEAE的值；

（2）求證：△AEB∽△BEC；

（3）求證：AD與EF互相平分.

1.2 試題對比分析

1.2.1 思維能力的對比

2023年的題目重點考查了相似三角形的應用，并結合了直線與角的關系，通過幾何變換（如旋轉和平行線引入）來推導結果.學生需要通過圖形的幾何變換和角度關系進行推理，證明多個三角形的相似性，進而進行多步推理.尤其是旋轉90°的操作，考查了學生對三角形相似性和全等性定理的理解，以及利用角度和比值關系解決復雜幾何問題的能力.題目邏輯清晰，思維結構較直觀.

相比之下，2024年的題目更注重三角形相似性與圓的性質的結合，涉及垂直、平行等幾何性質，以及三角函數的應用.第一問使用直角三角形的三角函數（如正切函數）求比值，考查學生的幾何分析能力及將幾何問題轉化為代數問題的能力.第二問通過引入輔助線和全等三角形，考查學生如何運用幾何工具和作圖技巧進行證明.第三問則利用平行四邊形的性質，考查學生運用定理和公理的能力.

1.2.2 知識綜合運用的對比

2023年的題目中知識運用較為集中，主要圍繞三角形相似性、角度關系和幾何變換.學生需要通過推導已知條件，結合三角形相似性和角度、邊長的比例逐步求解.題目中的旋轉變換是典型考點，要求學生掌握幾何性質及旋轉對圖形的影響.第一問要求學生通過角度關系證明相似三角形，第二問則要求利用三角形的相似性推導角度大小，考查學生對幾何直覺的掌握.

2024年的題目則更加復雜，結合了圓的性質、三角函數、相似三角形和全等三角形等知識點.在第一問中，學生需要運用三角函數求比值，這不僅考查了學生對幾何圖形的理解，還要求其對三角函數有一定掌握.第二問通過作輔助線，要求學生利用相似三角形和全等三角形的性質進行證明，第三問則要求學生通過平行四邊形的性質證明線段平分.整體來看，2024年的題目考查了學生在幾何中的綜合運用能力，尤其是多種數學工具的靈活應用.

2 試題分析下的復習課教學設計思考

根據試題分析結果，可以對初中數學“相似三角形”一節復習課的教學內容進行優化和改進，筆者將從以下三個核心點設計教學內容：思維能力的提升、知識綜合運用的拓展和教學內容的系統性構建.通過緊密結合試題分析的啟示，提出具體的教學設計方案，以幫助學生更加深入地理解“相似三角形”的相關知識.

2.1 提升思維能力：從推理到跨領域的綜合應用

在傳統的相似三角形推理教學中加入更多的跨領域思維訓練.復習課可以通過以下幾個步驟設計：

回顧基本知識點：首先，復習相似三角形的定義、判定定理和性質，幫助學生鞏固基礎.在此基礎上，通過例題分析引導學生發現，相似三角形不僅涉及基本幾何性質，還與角度、比例、旋轉變換等緊密相關.教師可以通過引入一些簡單的旋轉變換題目，讓學生理解旋轉變換如何影響三角形的相似性和全等性.

引入幾何變換與三角函數結合的思維：通過舉例說明如何利用三角函數（如正切、正弦、余弦）來解題，尤其是結合直角三角形的應用，激發學生對數學工具之間關系的思考.例如，可以設計問題，讓學生利用三角函數求解相似三角形的邊長比例，從而實現幾何與代數的結合.

跨領域思維訓練：通過引入與圓的性質相關的題目，幫助學生在相似三角形的復習過程中了解和運用圓的基本性質，拓寬其思維空間.通過這樣的設計，學生不僅能夠在平面幾何問題中進行推理，還能通過跨學科的結合，提高綜合思考和解決問題的能力.

通過這樣的教學設計，學生不僅能夠強化對相似三角形的理解，還能提升綜合應用能力，尤其是在復雜幾何問題中的解決能力.

2.2 拓展知識綜合運用：從單一到多元化的知識整合

從2023年和2024年試題的對比來看，知識的綜合運用能力在2024年的試題中有更高要求，特別是在結合三角函數、圓的性質及輔助線作圖等多方面內容的綜合應用.因此，在“相似三角形”復習課中，教師應注重知識點的整合，促使學生在理解單一知識點的基礎上，能夠靈活地將不同的數學知識結合起來，形成一個整體的解決問題的思維框架.基于此，設計復習課時應包括以下幾個方面內容的整合：

相似三角形的應用與其他幾何知識的結合：在講解相似三角形的性質時，可以設計復習題目，讓學生在解答過程中運用輔助線，結合相似三角形的性質進行證明.同時，針對不同的幾何知識進行有機結合，如利用平行線的性質推導相似三角形的結論，或通過全等三角形的性質來進一步鞏固相似三角形的應用.

數學知識的靈活運用：引導學生理解并運用不同的數學知識，如三角函數和圓的性質.設計具體的問題，讓學生在解決相似三角形問題時，能夠利用三角函數來求解角度或邊長比值，利用圓的性質來證明幾何圖形之間的關系，從而加深學生對這些知識之間的聯系和應用的理解.

解決復雜幾何問題的策略訓練：設計多步驟、跨領域的綜合問題，幫助學生在實際解題過程中提升綜合思考的能力.例如，可以設計一個問題，要求學生先通過三角函數求出相似三角形的邊長比值，再利用圓的性質和全等三角形的知識來證明某個結論.通過這種問題設計，學生能夠在復習過程中學會如何將多個知識點整合運用.

2.3 增強教學內容的系統性與層次性：從整體到局部的精細化指導

根據試題分析結果，2023年和2024年的試題在知識的運用深度和廣度上有所不同，特別是在知識點的層次性上.復習課的教學內容設計需要遵循系統性和層次性的原則，使學生能夠在整體框架的引領下，逐步深入到具體知識點的掌握，避免碎片化的知識呈現.

優化方案：在復習課中，教師應設計清晰的知識框架和逐步推進的教學環節.

知識框架的建立：在復習課開始時，首先構建清晰的知識框架，包括相似三角形的定義、判定定理、性質及應用.教師可以通過概念圖或思維導圖幫助學生梳理知識點，明確各個知識點之間的內在聯系，進而幫助學生在復習中形成整體的知識體系.

分層次的教學設計：教學內容應分為不同的層次，從基礎到提高，循序漸進.首先，復習相似三角形的基本性質和判斷方法，確保學生掌握基本的幾何推理能力；其次，通過設計逐步深化的問題，幫助學生在已掌握的基礎上進一步理解相似三角形與其他幾何知識的結合；最后，通過設計綜合性問題，幫助學生提高綜合運用的能力.

知識點的回顧與總結：在復習課的最后，進行知識點的總結和回顧，幫助學生梳理重要的幾何公式、定理和解題技巧，明確相似三角形知識的核心內容，并通過典型例題的解答，加深學生的理解和記憶.