聯想構圖尋法 多解優化提能

1 試題呈現

試題 （節選）在平面內，先將一個多邊形以自身的一個頂點為位似中心放大或縮小，再將所得多邊形沿過該點的直線翻折，我們稱這種變換為自位似軸對稱變換，變換前后的圖形成自位似軸對稱.例如：如圖1，先將△ABC以點A為位似中心縮小，得到△ADE，再將△ADE沿過點A的直線l翻折，得到△AFG，則△ABC和△AFG成自位似軸對稱.

（1）略.

（2）如圖2，已知△ABC經過自位似軸對稱變換得到△ADE，Q是DE上一點.用直尺和圓規作點P，使P與Q是該變換前后的對應點（保留作圖痕跡，寫出必要的文字說明）.

2 題目評析

原試題有3小問，此處呈現的是第（2）問作圖的要求.整題立足幾何核心知識，以“圖形變化”為載體，建立“自位似軸對稱變換”的新定義，考查學生的空間觀念、幾何直觀、模型觀念和推理能力等數學核心素養.題目中的“新定義”其實是“舊相識”，結合了“位似變換”和“軸對稱變換”兩種熟知的圖形變換進行定義.學生可以從軸對稱變換、位似變換的性質、中位線性質和平行線判定等去思考.本題將幾何變換中的圖形關系、局部元素關系梳理了一遍，真正考查了“幾何是看出來”的能力以及“數學是講道理的”的理性精神.

3 解法探尋

結合對第（2）問的理解，進行分析：這一問可以分為在△ABC的邊BC上確定點P和在△ABC關于點A成中心對稱的圖形△AB′C′的邊B′C′上確定點P兩種情況.下面僅以第一種情況為例進行分析展示.

3.1 聯想全等，構圖位似

本題可以通過先構造全等再位似對應來作圖，即在△ABC內部先構造與△ADE全等的三角形（或在△ADE外部構造與△ABC全等的三角形），然后根據位似對應來確定點P.

作法1：如圖3，分別在AB，AC上截取AF，AG，使AF＝AD，AG＝AE.由△ABC自位似軸對稱變換得到△ADE，則∠DAE＝∠FAG，于是有△AFG≌△ADE.以A為圓心，AQ為半徑畫弧，與FG交于點M，延長AM交BC于點P.

作法2：如圖4，分別在AD，AE的延長線上截取AF，AG，使AF＝AB，AG＝AC.由△ABC自位似軸對稱變換得到△ADE，則∠DAE＝∠FAG，于是有△AFG≌△ABC.延長AQ交FG于點M，以A為圓心，AM為半徑畫弧，交BC于點P.

3.2 聯想概念，構圖對稱

本題定義了“自位似軸對稱變換”，在解決問題的過程中聯想概念，也可以通過構造軸對稱得到點P.

作法3：如圖5所示，作∠DAB的角平分線l，則l為△ABC和△ADE成自位似軸對稱變化的對稱軸.作Q關于l的對稱點M，連接AM，并延長交BC于點P.

3.3 聯想對應，構圖平行

作圖的本質即是推理.本題中，點Q的位置是確定的，因而點Q在△ADE中相對于其他元素的位置關系也是確定的，比如AQ，EQ，DQ等長度.根據題目中的定義，對應點P的位置是確定的，如AP，BP，CP等長度.由此可以構圖平行，根據自位似圖形對應線段的比與相似比相等確定點P.

作法4：如圖6，過點Q作QF∥AE，交AD于點F，在AB上截取BM＝DF，MN＝AF，連接CN，作MP∥CN，交BC于點P.

從以上三種思路四種作法的對比來看，聯想全等是學習中對已有活動經驗的遷移，聯想概念是對數學概念的即時學習能力的體現，聯想對應則需要學生有較強的邏輯推理能力.三種思路的本質都是圖形變化中“對應”思想的體現.

4 教學啟示

4.1 從“聯想”到“構圖”，夯實幾何推理的基礎

我們看美景，如若詞窮，見美景也只能感慨“好看”二字，難以想到更美詞句.其實，解題亦如是，沒有可聯想的知識基礎，思維也會“貧窮”.本題的解題過程需要學生對軸對稱變化與相似變化等基礎知識、相關概念、基本圖形等有深刻的理解，這些知識在幾何推理的學習中，給人的感覺是“死”的，其實“無死不活”，沒有這些牢固的基礎，就沒有幾何推理思路中層出不窮的“活”.故而幾何推理的教學需要關注基礎知識、基本圖形之間的關系，需要從“聯想”到“構圖”，將概念、基本事實以及定理的教學和圖形結合起來，從基本圖形出發認識基礎推理，在依據的幾何語言轉化上下功夫，以多種形式幫助學生鞏固這些基礎知識和基本圖形.

4.2 從“整體”到“局部”，認識圖形變化的性質

圖形變化是培養幾何推理能力的主要載體，初中階段圖形變化的學業要求指出“要理解軸對稱、旋轉、平移這三類基本圖形運動，知道三類運動的基本特征，會用圖形的運動認識、理解和表達現實世界中相應的現象”.這一要求具體到教學中，就是要引導學生深度理解圖形變化，從整體到局部認識圖形變化中的“變中不變”“變中有序”等性質，從整體的變化要素切入，研究圖形局部元素之間的數量、位置等關系.這種從整體看局部的觀點形成之后，有利于學生自主探索圖形變化的相關規律，逐步形成“動靜結合”的眼光.

4.3 從“多解”到“優化”，培養學生發散性思維

本題的素材價值的發掘是多方面的，而圍繞多解和優化來培養學生發散性思維，提升幾何推理能力是其重要體現.有利于學生圍繞一題從“廣度”進行思考，將相關知識和方法建立聯系，從而感受“學到的不再是孤立的專題，而是知識的有機整體”[1].如以本題為教學素材，可以幫助學生通過“多解”達成培養發散思維的目的.當然，在關注一題多解的同時，也要關注多解優化，優化的過程是培養發散思維的深度體現，是以發散為基礎的集中，需要學生對多樣的方法進行“比較”.“這里的所說的比較，既是指找出對象的共同點，也可以指集中于對象的不同之處，或同時關注它們的同與不同”[2].這有助于學生在思維發散的同時聚焦，關注不同思路之間的關系，認識不同思路、方法的異同點，尋找其本質，形成更優化、更簡潔的思考路徑.

一題一系統，一法一風景.以題為載體探尋幾何推理能力的培養只是幾何學習的一種主要方式，其中聯想構圖、多解優化的學習方式應在幾何概念、定理等教學中予以更多關注，從而更好地幫助學生提升幾何推理能力，發展數學核心素養.

參考文獻：

[1]馬立平.小學數學的掌握和教學[M].李士锜，吳穎康，等，譯.上海：華東師范大學出版社，2011：116.

[2]鄭毓信.數學深度教學的理論與實踐[M].南京：江蘇鳳凰教育出版社，2020：196.