借助對稱激活解題靈感

對稱是初中數學知識體系的重要構成部分，也是一種解決數學問題的常用方法.事實上，運用對稱解決數學問題，因習題創設的情境不同，解題的思路存在一定的差別.一般情況下，都需要作出輔助線，構造對應的幾何圖形，通過靈活運用幾何圖形的性質，迅速找到突破口.

1 最值問題

最值問題是初中數學日常測試以及中考常考常新的一類習題.解題思路因題而異，其中通過對稱，運用三角形的三邊關系，可以迅速獲得解題的靈感.解題的過程中，根據題干情境，確定對稱的對象（一般是點），分析出點、線段的特殊位置尤為關鍵，可以聯系所學及解題經驗，積極嘗試.

點評：明確四邊形ADEB的周長由哪幾條線段構成，作出輔助線，利用對稱性進行等量代換，巧妙地將線段AD和BE轉化到一個三角形之中，容易得出當D，A，M三點共線時，四邊形ADEB的周長最短.

2 參數范圍問題

求參數的取值范圍一般運用不等式、函數知識進行分析.然而對于部分與幾何圖形相關的問題則需要另辟蹊徑，通過對稱構造出新的圖形，運用對稱的性質及幾何圖形性質，深入研究構造出的新圖形，確定對應參數的上下限，得出最終的取值范圍.

點評：該題難度較大，作出對稱圖形后，需要證明四邊形ACHD為平行四邊形，運用相似三角形構造比例關系.同時，需要充分挖掘隱含條件，運用三角形的三邊關系構造不等式，進行線段關系的轉化.

3 面積問題

初中數學中求解面積問題時主要運用規則幾何圖形的面積計算公式，對于不規則的幾何圖形，可以通過分割、補形轉化成規則的幾何圖形后進行處理.但是對于部分習題，需要通過對稱及聯系所學判斷出幾何圖形的輪廓，明確幾何圖形可以分成幾個規則的圖形，借助所給的已知條件計算出最終結果.

點評：該題的難點在于判斷線段CC1掃過區域的輪廓，選取點P和點A、點D重合的特殊位置作點C關于直線BP的對稱點.同時，運用已知條件、幾何圖形的性質判斷線段CC1掃過的區域由哪些幾何圖形構成，逐一計算后求和.

4 角度問題

求解角度一般通過幾何圖形（等腰三角形、直角三角形、等邊三角形）的性質、外角定理進行角度的轉化、計算.但是對于部分習題，需要滿足一定的條件，這就需要具體問題具體分析，尤其當題干中涉及最值問題時，可以通過對稱，化抽象為直觀，找到點的特殊位置后進行計算.

點評：解答該題需要突破兩個關鍵點.其一，通過對稱，作出輔助線，確定|PA-PB|最大時點P的位置，判斷△A′BC為等邊三角形；其二，靈活運用三角形的內角和、角度之間的關系進行角度間的正確計算.

綜上所述，通過對稱可以構造出新的幾何圖形，實現角度、線段間的等量代換，更快地找到解題思路，提高解題效率.其中對哪個對象作對稱，關于哪條直線進行對稱是難點.為有效地切入相關習題，需要扎實掌握與對稱相關的基礎知識，并在做題中不斷積累經驗，總結技巧，從而少走彎路.