剖析見(jiàn)本質(zhì) 策略促提高

摘要：在初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的旅程中，二次函數(shù)占據(jù)了核心地位，其中，最值問(wèn)題尤為關(guān)鍵.它不僅考驗(yàn)學(xué)生們將數(shù)與形巧妙結(jié)合的思維能力，還著重訓(xùn)練他們對(duì)問(wèn)題進(jìn)行分類討論的技巧.這一知識(shí)點(diǎn)在初中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用極為廣泛，是學(xué)生必須掌握的重點(diǎn)內(nèi)容.掌握求解二次函數(shù)最值的策略，能夠顯著提升學(xué)生的數(shù)學(xué)解題技巧，為其將來(lái)步入高中進(jìn)一步探索更復(fù)雜更深?yuàn)W的有關(guān)函數(shù)知識(shí)打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ).

關(guān)鍵詞：二次函數(shù)；數(shù)形結(jié)合；最值

1 對(duì)稱軸定且自變量范圍定

對(duì)于有些二次函數(shù)的最值求解，若該函數(shù)的解析式及定義域均已明確或可通過(guò)條件推導(dǎo)得出，則就需緊密結(jié)合二次函數(shù)的圖象與其性質(zhì).具體而言，就是要根據(jù)給定的自變量x的取值范圍，在二次函數(shù)的圖象上定位，并據(jù)此分析出該函數(shù)在此區(qū)間內(nèi)的最大值或最小值.這一過(guò)程不僅要求學(xué)生熟練掌握二次函數(shù)的圖象特征，還需靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)分析的方法，以確保求解的準(zhǔn)確性和解題效率的提高.

例1 （2024·河南周口初三聯(lián)考）在探討單向道路上汽車(chē)行駛的規(guī)律時(shí)，可以將車(chē)流視為一種連續(xù)的介質(zhì)，利用流量、速度和密度這三個(gè)核心概念來(lái)描繪其基本特性.具體而言，車(chē)流量q（單位：輛/時(shí)）代表單位時(shí)間內(nèi)穿越道路某一特定橫截面的車(chē)輛數(shù)目，而車(chē)流速度v（單位：千米/時(shí)）則反映穿越該橫截面車(chē)輛的行進(jìn)速度，車(chē)流密度k（單位：輛/千米）則是指單位長(zhǎng)度的道路上所存在的車(chē)輛數(shù)目.為了配合大數(shù)據(jù)技術(shù)在交通擁堵治理中的應(yīng)用，我們針對(duì)某一路段進(jìn)行了詳細(xì)的觀測(cè)，并記錄下某路段車(chē)流量q與車(chē)流速度v之間關(guān)系的部分?jǐn)?shù)據(jù)，如表1.

（1）根據(jù)已知信息寫(xiě)出q關(guān)于v的函數(shù)解析式（不用寫(xiě)原因）.

（2）已知q，v，k滿足q=vk（v≠0）.

①求當(dāng)車(chē)流量q取得最大值時(shí)車(chē)流密度k的值；

②若根據(jù)以往的路況統(tǒng)計(jì)信息，當(dāng)42≤vlt;48時(shí)道路會(huì)有輕微擁堵現(xiàn)象，試求當(dāng)車(chē)流密度k滿足什么條件時(shí)，該路段將出現(xiàn)輕微擁堵.

解析：（1）根據(jù)表中信息可知q與v滿足二次函數(shù)關(guān)系，

由拋物線過(guò)點(diǎn)（20，1 600），（40，1 600），可知其對(duì)稱軸是直線v=20+40/2=30，故可設(shè)拋物線為q=a（v-30）2+b.

把點(diǎn)（10，1 000），（20，1 600）代入q=a（v-30）2+b，可得a（10-30）2+b=1 000，a（20-30）²+b=1 600.

解得a=-2，b=1 800，所以q關(guān)于v的函數(shù)解析式為q=-2（v-30）²+1 800.

（2）①由q=-2（v-30）²+1 800可知，當(dāng)v=30時(shí)，q取得最大值1 800.

因?yàn)閝=vk，所以k=qv=1 800/30=60.

②當(dāng)v=42時(shí)，q=1 512，此時(shí)k=36；

當(dāng)v=48時(shí)，q=1 152，此時(shí)k=24.

故當(dāng)24lt;k≤36時(shí)，道路出現(xiàn)輕度擁堵.

點(diǎn)評(píng)：本題是一道綜合應(yīng)用題，主要考查二次函數(shù)的應(yīng)用，特別是通過(guò)待定系數(shù)法求解二次函數(shù)的解析式，以及探索二次函數(shù)在固定區(qū)間內(nèi)的最值問(wèn)題.解題的關(guān)鍵在于深入理解二次函數(shù)的性質(zhì)，包括其開(kāi)口方向、對(duì)稱軸、頂點(diǎn)坐標(biāo)等核心要素.為了找到二次函數(shù)在給定自變量取值范圍內(nèi)的最值，學(xué)生首先需要準(zhǔn)確繪制或構(gòu)想該函數(shù)的圖象，隨后根據(jù)圖象信息，確定在指定區(qū)間內(nèi)的最大值或最小值.

2 對(duì)稱軸動(dòng)且自變量范圍定

“軸動(dòng)區(qū)間定”問(wèn)題，是在已知二次函數(shù)解析式的基礎(chǔ)上，針對(duì)題目給定的自變量的取值范圍，求解該函數(shù)的最值.這類問(wèn)題的特點(diǎn)是，雖然自變量的取值范圍不變，但二次函數(shù)解析式中的參數(shù)變化會(huì)導(dǎo)致函數(shù)的開(kāi)口方向和對(duì)稱軸發(fā)生變化，進(jìn)而影響函數(shù)的最值.因此，解題時(shí)需要首先明確二次函數(shù)的解析式，然后仔細(xì)分析參數(shù)變化如何影響函數(shù)的開(kāi)口方向和對(duì)稱軸，最后根據(jù)這些變化，結(jié)合給定的自變量的取值范圍，求解函數(shù)的最值.這就需要學(xué)生深入理解二次函數(shù)的圖象和有關(guān)，并具備解決二次函數(shù)有關(guān)較為復(fù)雜的問(wèn)題能力.

例2 （2024·河北石家莊初三檢測(cè)）已知二次函數(shù)y=ax2-4ax+3a（alt;0）的圖象與x軸交于如圖1所示的兩點(diǎn)A，B，與y軸交于點(diǎn)C，且OB=OC.

（1）求二次函數(shù)的解析式；

（2）將該二次函數(shù)的圖象進(jìn)行平移，使平移后的二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（m，m²+2）（m≥0），若當(dāng)-1≤x≤2時(shí)函數(shù)的最大值為7，求m的值.

解析：（1）由ax²-4ax+3a=a（x²-4x+3）=0時(shí)，

得x₁=1，x₂=3.

所以點(diǎn)A（1，0），B（3，0）.

當(dāng)x=0時(shí)，y=3a.

所以C（0，3a）.

因?yàn)镺B=OC，

所以-3a=3，解得a=-1.

故二次函數(shù)的解析式為y=-x²+4x-3.

（2）y=-x²+4x-3=-（x-2）²+1.

因?yàn)閷⒑瘮?shù)圖象平移后頂點(diǎn)坐標(biāo)為（m，m²+2），

所以平移后的函數(shù)解析式為y=-（x-m）²+m²+2，

則平移后函數(shù)圖象的對(duì)稱軸為直線x=m.

若0≤mlt;2，則當(dāng)x=m時(shí)函數(shù)取得最大值7，

即m2+2=7，解得m=-5或m=5，均不符合題意，舍去.

若m≥2，則當(dāng)x=2時(shí)函數(shù)取得最大值7，

即-（2-m）²+m²+2=4m-2=7，解得m=9/4，符合題意.

綜上所述，m的值為9/4.

點(diǎn)評(píng)：在處理二次函數(shù)中的“軸動(dòng)區(qū)間定”問(wèn)題時(shí)，首要步驟是從函數(shù)解析式中提取關(guān)鍵信息，這些信息是繪制函數(shù)基本圖象的基礎(chǔ).圖象繪制完成后，應(yīng)根據(jù)題目要求畫(huà)出固定的自變量的取值范圍對(duì)應(yīng)的區(qū)間.同時(shí)，

關(guān)注開(kāi)口方向和對(duì)稱軸，因?yàn)樗鼈兪菦Q定函數(shù)最值的關(guān)鍵因素.接下來(lái)，根據(jù)分類討論思想，要對(duì)參數(shù)變化導(dǎo)致的對(duì)稱軸位置的的不同情況進(jìn)行詳細(xì)討論.通過(guò)這種方法，我們可以準(zhǔn)確地求解出在不同參數(shù)下函數(shù)的最值.

3 對(duì)稱軸定且自變量范圍動(dòng)

求解“軸定區(qū)間動(dòng)”最值問(wèn)題，常規(guī)思路是依據(jù)題目信息找出二次函數(shù)的解析式，同時(shí)根據(jù)題意和有關(guān)性質(zhì)等確定自變量的范圍，然后繼續(xù)探索函數(shù)的最值問(wèn)題.自變量的取值范圍具有不確定性，這意味著我們截取的二次函數(shù)圖象也會(huì)相應(yīng)地發(fā)生變化.因此，解決這類問(wèn)題的關(guān)鍵在于，對(duì)參數(shù)的不同取值進(jìn)行分類討論，以確保能夠準(zhǔn)確地找到在各種情況下函數(shù)的最值.這需要學(xué)生掌握有關(guān)二次函數(shù)基礎(chǔ)知識(shí)點(diǎn)，并具備靈活的數(shù)學(xué)解題方法和對(duì)問(wèn)題的深入分析能力.

例3 （2024·浙江金華初三開(kāi)學(xué)檢測(cè)）已知函數(shù)y=x2+bx+c（b，c為常數(shù)）的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（0，3），（6，3）.

（1）求b，c的值；

（2）當(dāng)-2≤x≤k時(shí)，求y的最小值（可用含k的代數(shù)式表示）.

解析：（1）因?yàn)楹瘮?shù)y=x²+bx+c（b，c為常數(shù)）的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（0，3），（6，3），則

c=3，3=62+6b+c，所以

b=-6，c=3.

（2）由（1）知y=x²-6x+3=（x-3）²-6.

若k≤3，則當(dāng)-2≤x≤k時(shí)，y隨x的增大而減小.

故當(dāng)x=k時(shí)，y有最小值，且最小值為y=k2-6k+3.

若kgt;3，則當(dāng)-2≤x≤k時(shí)，拋物線的頂點(diǎn)處于最低點(diǎn)，

故當(dāng)x=3時(shí)，y有最小值，且最小值為-6.

綜上所述，當(dāng)k≤3時(shí)，y的最小值為k2-6k+3；當(dāng)kgt;3時(shí)，y的最小值為-6.

點(diǎn)評(píng)：本題是一道綜合性較強(qiáng)的題目，主要考查二次函數(shù)的最值問(wèn)題.解題的關(guān)鍵在于熟練掌握二次函數(shù)的特點(diǎn)，并運(yùn)用分類討論思想進(jìn)行分析和計(jì)算.在求解有關(guān)“軸定區(qū)間動(dòng)”類型的二次函數(shù)最值問(wèn)題時(shí)，需要采用數(shù)形結(jié)合的方法.首先，根據(jù)題目要求畫(huà)出固定的對(duì)稱軸對(duì)應(yīng)的直線.其次，根據(jù)題目給出的二次函數(shù)信息，分析該函數(shù)隨自變量范圍的不同而最值的變化情況.這樣，就可以確定函數(shù)在動(dòng)態(tài)區(qū)間內(nèi)的最值.最后，通過(guò)分類討論，可以求解出各種情況下的函數(shù)最值.