一元二次方程根的再認識

一元二次方程是最基本的一類方程，學生不僅要掌握一元二次方程的四種解法，能求出方程的根，而且如果已知方程根的情況，如兩個方程的根互為相反數、兩個方程的根相同、探索方程根的規律等，如何解答相關問題呢？一方面要求學生能夠解含字母系數的一元二次方程，另一方面要求學生具有靈活處理問題的能力，有助于培養學生的思維品質，發展學生的核心素養.

1 用“換根法”求新方程

評注：利用換根法還可得到其他關系根的一元二次方程，如所求方程的根比原方程的根大2，所求方程的根是原方程根的2倍少1等.此外，換根法不僅可以在一元二次方程中使用，還可以在其他類型的方程中使用.

2 根據一元二次方程求代數式的值

可求得未知數與其倒數的和，未知數的平方與未知數平方的倒數的和、未知數的立方與未知數立方的倒數的和以及未知數的四次方與未知數四次方的倒數的和.

3 一元二次方程根的規律探索

公式法、直接開平方法、配方法、因式分解法是求一元二次方程根的常用方法.但對于系數間存在一定規律的一組一元二次方程，它們的根也存在一定的規律，由此，我們可依據規律寫出同一類方程的根.

4 有相同根的一元二次方程

當一元二次方程有實數根時，它一定有兩個實數根，所以當兩個一元二次方程有相同的根時，這兩個一元二次方程可能有一個根相同，另一根不同，也可能兩個根都相同.兩個含字母系數的一元二次方程有相同的根時，如何求字母的值呢？下面結合實例進行探討.

評注：本題中兩個一元二次方程相減后得到的一元一次方程，它的系數為什么可以為0？這是因為當兩個一元二次方程有兩個相同的根時，這兩個一元二次方程實際上就是同一個一元二次方程，所以它們系數相減一定為0.把一元一次方程系數為0時字母的值代入兩個一元二次方程，發現它們就是相同的方程，再一次驗證了解題思路的正確性.

綜上，以上與一元二次方程的根有關的四類問題，是在教材內容的基礎上開發的新內容，有利于促進學生對一元二次方程根的再認識，進而拓寬學生的思維路徑，提升學生的核心素養.