經歷形成過程，促進自然生成

在初中數學法則教學中，“重結果輕過程”的現象普遍存在，大多數教師選擇直接將運算法則告知學生，然后讓學生硬記、套用.這樣學生雖然能夠通過模仿和套用解決問題，但是因為缺少思考、探究、歸納等過程，不僅不能真正理解法則、掌握法則，而且會影響學習的興趣，進而影響思維能力的發展.教學中，若想改變這一局面，教師應重視引導學生經歷法則的生成與構建，將直接告知和模仿套用變為自然生成和合作探究，幫助學生真正理解法則的本質，提高綜合能力.筆者在教學“多項式的乘法”時，立足學生的已有知識和經驗，創造機會讓學生經歷知識的形成過程，在發展學生數學能力、提升學生素養等方面取得了較好的效果，現將教學過程整理成文，供參考.

1 教學實錄

1.1 追根溯源，探尋知識的生長點

師：前面我們學習了單項式乘法，請大家口算下面的題目，并給出運算依據.（課件出示題目）

（1）（-2a²c）（-3bc）；

（2）a（b+c）；

（3）-2c5（c³-3bc+1）.

待學生思考片刻，教師點名讓學生回答.

生1：問題（1）是單項式的乘法，利用單項式乘法法則可得（-2a²c）（-3bc）=6a²bc².

師：非常好，表述非常完整.下一題呢？

生2：a（b+c）=ab+ac，它是單項式與多項式相乘，其理論依據是乘法分配律.

師：很好，下一題.

生3：問題（3）也是單項式與多項式相乘，其結果為-2c⁴+6bc²-2c.

師：大家非常棒，不僅沒有遺漏，而且對符號的處理非常到位.以問題（2）為例，如果將a換成一個多項式，比如將其換成（a+d），它屬于哪一類運算？

生：（齊）多項式與多項式相乘.

師：非常好，今天我們一起走進“多項式的乘法”.

教學說明：教學中以單項式與單項式相乘、單項式與多項式相乘為知識的生長點，以便學生在探索新知的過程中自然地與舊知相類比，這樣安排不僅可以讓學生通過自主探索得到多項式乘法法則，而且可以幫助學生建構知識體系.同時，從學生已有知識和經驗出發，更易于調動學生參與課堂的積極性，從而通過有效的類比構建“前后一致，邏輯連貫”的教學.

1.2 合作探究，經歷知識的形成過程

師：（a+d）（b+c）該如何計算呢？請嘗試寫出計算結果.

教學中，教師讓學生先獨立思考，然后組內交流，接下來各小組展示匯報.

生4：將（a+d）看成一個整體，這樣就將多項式乘多項式轉化為單項式乘多項式，所以有（a+d）（b+c）=b（a+d）+c（a+d），接下來運用分配律轉化成單項式乘單項式.

師：非常好，這樣從整體視角出發，將問題轉化為我們已經理解并掌握的單項式乘多項式問題，運用分配律解決了問題.還有其他解決方案嗎？

生5：也可以將（b+c）看成一個整體，即（a+d）×（b+c）=a（b+c）+d（b+c）=ab+ac+db+dc.

師：能否利用我們熟悉的長方形或正方形的面積來詮釋結果是否正確呢？

教師適時啟發、指導，并預留時間讓學生動手操作，然后與學生互動交流.

生6：如圖1，構造一個長為（a+d）、寬為（b+c）的長方形，則長方形的面積為（a+d）（b+c）.將長方形按照圖1所示的方法進行分割，由此可以將大長方形分割成4個小長方形，它們的面積分別為ab，ac，db，dc，所以（a+d）（b+c）=ab+ac+db+dc.

師：非常好，這樣用圖形面積直觀形象地詮釋了以上結果.

師：如果用文字語言來描述多項式乘多項式，你想如何描述呢？

生7：多項式乘多項式就是先用一個多項式的每一項與另一個多項式的每一項相乘，然后相加.

師：如何用符號語言來描述呢？

生8：（a+d）（b+c）=ab+ac+db+dc.

教學說明：本環節體現以學生為本，將探究新知的主動權交給學生，讓學生通過自主探究獲得多項式乘法的法則，促進學生思維的自然生長.教學中，引導學生主動類比，親歷知識的形成過程，對運算發展形成清晰的認識，進而加深知識理解，完善個體知識結構.同時，學生從數的角度得到計算結果后，教師又鼓勵學生從形的角度加以詮釋，從而使抽象的知識變得更加生動化、形象化，讓學生充分感悟等積構造恒等式的妙處，有利于培養學生的數形結合意識，激發學生的數學探究興趣.最后，教師引導學生利用不同的數學語言進行描述，以此在加深知識理解的同時，鍛煉學生的數學抽象和歸納概括能力，促進學生數學核心素養的落實.

[HJ1.2mm]

1.3 應用法則，完善個體的知識體系

師：結合以上探究經驗，請完成下列計算.（課件出示題目）

（1）（a+2b）（c+d）；

（2）（3x-4）（x+1）；

（3）（2a-b）2.

問題給出后，教師沒有直接讓學生動手操作，而是讓學生先標記、后計算，即先畫出多項式的每一項，然后計算.教師帶領學生邊分析邊板書，師生合作完成問題（1）.接下來，問題（2）和問題（3）讓學生獨立完成，然后師生交流.

師：誰來說說問題（2）的計算結果？

生9：（3x-4）（x+1）=3x²+3x-4x-4=3x²-x-4.

師：這里3x²，3x這兩項的符號為什么是正？-4x，-4這兩項的符號為什么是負？

教師讓學生動口說，并進行歸納總結：積的符號由這兩項的符號來確定，即同號得正、異號得負.

師：問題（3）是多項式乘多項式嗎？它可以看成什么？

生：（齊）是多項式乘多項式，可以看成是（2a-b）與（2a-b）相乘.

師：結果是？

生10：4a²-4ab+b².

師：通過以上問題的解答，你認為多項式與多項式相乘時，需要注意什么？

教師預留時間讓學生歸納總結，并組織學生互動.

生11：計算時要按照一定的順序進行，做到不重復、不遺漏.

生12：兩個單項式相乘時要注意符號，同號得正，異號得負.

生13：相乘后，若有同類項，需要合并.

師：總結得非常好！接下來請同學們自行編寫幾個多項式與多項式相乘的題目，然后同桌互答.

活動中，教師預留充足的時間讓學生編題、做題、改題，教師巡視，并選擇幾個典型的題目集中演練.

師：我看到有的同學編寫的一道題為（a-b）×（2c+b-1），它是多項式與多項式相乘嗎？

生：（齊）是.

師：在不考慮同類項的情況下，乘開后有幾項？

生14：六項.

師：你是怎么想的？

生15：將（2c+b-1）看成一個整體，則（a-b）×（2c+b-1）=a（2c+b-1）-b（2c+b-1），利用分配律，得到六項.

師：你們還有其他想法嗎？

生16：也可以直接運用多項式乘法法則判斷，先用第一個多項式的第一項與第二個多項式各項相乘，得到三項，再用第一個多項式的第二項與第二個多項式各項相乘，又得到三項，所以共得到六項.

師：非常好，如果是三項多項式與三項多項式相乘呢？初次乘開得到幾項？

生：（齊）九項.

師：我們再看看，下面這道題該如何計算呢？（教師繼續出示題目）

（2a-3）（3a+1）-（6a+1）（a-4），其中a=2/17.

問題給出后，教師讓學生獨立求解，有的學生直接將a=2/17代入計算，有的學生選擇先化簡，再計算.教師投影展示兩種不同的計算過程，并讓學生對比分析，由此得出“對于此類問題，先化簡再求值更快捷”.接下來教師又給出幾道練習幫助學生鞏固、強化.

教學說明：練習是鞏固知識、強化技能的必要手段.本課教學中，教師沒有采用題海戰術，而是邊操作、邊分析、邊總結、邊設計，不僅達到了鞏固和強化的效果，而且活躍了課堂氣氛，有利于培養學生的實踐能力和創新意識，提升學生的綜合學力.

2 教學思考

在新課改的推動下，教師的教學理念、教學策略、教學手段等發生了顯著的變化，初中數學教學更加關注學生的主體作用，關注數學思想方法的滲透，關注學生數學核心素養的落實.在本課教學中，教師從學生已有知識和經驗出發，引導學生經歷完整的認知過程，不僅幫助學生理解并掌握了新知，而且讓學生在類比探究中明晰了問題的本質.同時，通過類比將零散的、碎片化的知識有效地聯系在一起，有利于優化學生的知識結構，提升學生的數學能力.