聚焦模型嵌套 促進思維生長

摘要：在教學中注重知識的關聯，承前啟后，通過模型的鑲嵌和精心設置的開放性問題，激發學習興趣，促進知識生長，提高課堂效率，同時樹立建模的思想，提升思維的深度、廣度和創新能力，培養創新意識，發展核心素養.

關鍵詞：模型嵌套；模型構建；整合性

《義務教育數學課程標準（2022年版）》在教學建議中提出要以核心素養的達成為目標促進教學的實施.核心素養具有高度的整體性、一致性和發展性.核心素養主要包括“三會”：會用數學的眼光觀察現實世界（抽象能力、幾何直觀、空間觀念），會用數學的思維思考現實世界（運算能力、推理能力），會用數學的語言表達現實世界（數據觀念、模型觀念）.教師在教學設計和實施時要堅持素養導向，充分關注核心素養在數學教學中的達成情況.近期筆者執教了一節“正方形對角線性質的應用”復習課，通過探究正方形性質的本質，由淺入深構建知識的整體關聯，現將這節課的教學及思考整理成文，與讀者分享.

1 教學背景分析

1.1 學情分析

學生已掌握正方形邊、角、對角線的特殊性質，本節課意在以正方形為背景，生長知識，引領學生構建模型，進一步完善正方形性質的延伸與拓展.

1.2 教學目標

（1）感悟研究幾何圖形的內容和方法，培養從數學角度發現問題和提出問題的能力，學習用數學的眼光觀察世界.

（2）通過精心設計的教學問題，透過現象看本質，在探究中積累經驗，學習用數學的思維去思考問題，嘗試用數學的語言去表達問題.

（3）回顧反思，體會知識之間的內在邏輯，完善結構，生長知識，構建模型.

1.3 教學重、難點

探究正方形中數學模型的構建、并感悟其中蘊含的數形結合、化未知為已知、分類討論的數學思想.

2 教學過程

2.1 復習舊知，引入新課

在本節課中，執教教師先復習和創設了如下兩個問題情境：

問題1 如圖1，兩對有相同垂足的線段（共垂足模型），你能得出圖形中的哪些數量關系？

問題2 如圖2，正方形ABCD的對角線AC，BD相交于點O，你能得出哪些性質？

①邊：四邊相等.

角：四個角都是直角.

對角線：對角線相等且互相平分，每一條對角線平分一組對角.

②△AOB，△BOC，△COD，△DOA都是等腰直角三角形且全等，S_△AOB=S_△BOC=S_△COD=S_△DOA=14S_{正方形ABCD}.

追問：如圖3，如果將點O移動到點P，你會得出什么結論？

教學說明：通過追問，發散思維，學生能夠得出△ADP≌△CDP，△ABP≌△CBP，AP=CP等結論.[KH-1]

變式 如圖4，你能求出AP與MN的數量關系嗎？

教學說明：在學生熟知模型的基礎上，基于學生的最近發展區量身設計的問題順應流程、符合邏輯.利用變式串聯思維，讓學生腦海中能夠自然而清晰地浮現出相關的解題方法，促進學生知識的生長，得出四邊形PMCN為矩形，而矩形的對角線相等，自然地引出輔助線，化未知為已知，學以致用.

2.2 提煉模型，生長思維

（1）一對垂線，構建模型

問題3 如圖5，PE⊥PC，點E在線段AD上，你能求出PE與PC的數量關系嗎？

思路1：由前面的模型，學生自然想到連接AP，且AP=PC，如圖6，自然而然地把問題轉化為求AP與PE的數量關系，進而轉化為求∠PAE與∠PEA之間的關系.

思路2：如圖7，過點P作MN分別與AD，BC垂直，垂足分別為N，M.易得△DNP，△BMP為等腰直角三角形，四邊形NMCD為矩形，可得△ENP≌△PMC（ASA），則PE=PC.

（2）兩對垂線，模型嵌套

思路3：學生很自然地進行模型嵌套，由PN⊥AD于點N，PM⊥CD于點M，得出∠NPE=∠MPC，四邊形NPMD為正方形，可得△ENP≌△CMP，從而PE=PC.

由此得出基本嵌套模型，如圖8所示.

追問2：點E還可以在哪里呢？你能得出PE=PC嗎？請同學們畫出圖形，自己嘗試.[KH-1]

教學說明：點E還可以在線段AD的延長線，能得出PE=PC，如圖9所示.

讓學生在熟知模型的基礎上，通過分類討論，提升思維的靈活性與深刻性.

2.3 釋疑點撥，拓展提升

問題4 如圖10，已知正方形ABCD，點P為對角線BD上一動點，連接PC，過點P作PC⊥PE，交于AD點E，以PE，PC為鄰邊作矩形PEGC，連接DG.

（1）求證：矩形PEGC為正方形.

（2）①DP與DG有怎樣的數量關系？請說明理由.

②DP+DG與BD有怎樣的數量關系？

教學說明：通過前面的模型構建，學生在看到題目后，立馬可得出PE=PC，所以矩形PEGC為正方形得證.由點C處的雙垂直模型，可得得出∠BCP=∠DCG，于是△BCP≌△DCG（SAS），則∠CBP=∠CDG=45°，BP=DG.所以DP⊥DG，DP+DG=DP+BP=BD.

追問3：點E只能在線段AD上嗎？點E還可以在哪里？你還能得出上面的結論嗎？

教學說明：點E還可以在AD的延長線上，通過前面的模型構建，學生在看到題目后，立馬反應出前面證明PE=PC的方法已不適用，所以選擇熟悉的輔助線，連接PA，如圖11，從而PA=PC，則可轉化為證PE=PA，即轉化為求兩底角∠PAE與∠PEA之間的關系.所以矩形PEGC為正方形得證.根據問題4的證明過程，學生能快速地遷移思路，解決問題.

2.4 思維導圖，回顧反思

問題5 同學們，通過今天這節課的學習，你有哪些收獲和體會？你能嘗試畫出思維導圖嗎？

筆者帶領學生一起畫出思維導圖，如圖12所示.

教學說明：通過收獲和體會，積極引導學生梳理本節課的脈絡，形成思維導圖，理解知識通常都是化未知為已知，從低層次到高層次生長.培養學生用數學的眼光觀察題目，用數學的思維去思考問題、用數學的語言去表達問題.

3 教學反思

3.1 以知識為核心，實現思維的生長

本節課旨在通過正方形對角線上的一點畫一對垂線，引領學生在復習正方形性質的基礎上，鞏固其基本知識.然后通過改變垂足的位置、增加垂線，幫助學生熟知模型，積累方法，形成經驗性的總結，提高課堂效率.在此過程中，留足時間讓學生思考，引領學生思維層層遞進，視野逐步拓展，促進思維生長.培養學生抽象能力，幾何直觀、模型觀念等核心素養.最后通過知識的整合與串聯、歸納，梳理和總結，完善學生思維體系，促進知識的再生長，讓學生會思考、會解題.

3.2 以探究為方法，注重知識的整合

數學教學體現在數學活動中，實質是一種提出問題和解決問題的思維活動.在教學設計中，從數學知識的生長過程和學生的認知特點出發，通過在合理的時間點提出有意義、恰當的問題，引導學生去發現知識點之間的聯系，積累經驗，發展核心素養.以問題引領課堂，喚醒學生化未知為已知的探究欲望，本節課從正方形對角線上的一點出發，開始用一個簡單的圖形，不斷添加條件，化未知為已知，形成經驗性的總結，豐富模型，激發學生探究的興趣.讓學生用數學的眼光觀察世界.

3.3 以模型為載體，落實核心素養的培養

以模型為載體，有利于探索各個知識點、各個環節之間的相互聯系，尋找解題的突破口，從而獲得最優解題方案，落實學生核心素養的培養.基于共垂足和正方形模型，促使學生從認識結構出發，充分體會模型構建的本質，引導學生感受數學思想整合的實質，培養學生看待問題的眼光和思考問題能力，以及數學抽象、幾何直觀和邏輯推理能力.

建立一種在小范圍內實用的“模型思維”.對于一些圖形復雜、難度較大或綜合程度較高的題目，建立模型，模型嵌合顯得尤為重要.從長遠來看，這符合促進學生數學核心素養的提升，具有較強的現實意義.這種課堂對我們老師也提出了更高的要求，需要我們不斷去探索.