一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系引入方式的比較研究

摘要：對(duì)于同一個(gè)概念，每位教師的引入方式不盡相同.比較一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系的兩種不同引入方式，設(shè)計(jì)更合理、更自然的概念引入方式.

關(guān)鍵詞：情境；根與系數(shù)的關(guān)系；引入方式

初中教師普遍忽視一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系的教學(xué).《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》中將這部分內(nèi)容作為選學(xué)內(nèi)容，不在考試范圍之內(nèi)，蘇教版《（義務(wù)教育教科書(shū)）教師教學(xué)用書(shū)》也建議在教學(xué)上不必做過(guò)多的拓展和探究，僅供部分學(xué)生選學(xué)和探究.《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（以下簡(jiǎn)稱《標(biāo)準(zhǔn)》）中在內(nèi)容要求上去掉了“”，調(diào)整為了解一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系[1]，在教學(xué)提示上明確要求了要教到什么程度，附錄例67中還以實(shí)例呈現(xiàn)，為一線教師怎么教指明方向.

從知識(shí)的完整性角度出發(fā)，該內(nèi)容要求能通過(guò)系數(shù)表示方程的根，當(dāng)然也能用方程的根表示系數(shù)，承上啟下作用明顯；從初高中銜接角度，高中不會(huì)涉及一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系的發(fā)現(xiàn)、探究、證明過(guò)程，更多的是用其解決相關(guān)問(wèn)題.因此，初中如何開(kāi)展一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系的教學(xué)就顯得尤為重要.

1 “根與系數(shù)關(guān)系”的不同情境引入方式

1.1 教學(xué)設(shè)計(jì)一

問(wèn)題1 已知矩形的長(zhǎng)和寬分別是方程x²-123x+456=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，求這個(gè)矩形的周長(zhǎng)和面積.

設(shè)計(jì)意圖：公元前1600年的古巴倫數(shù)學(xué)泥板BM13901上，就記載了這樣的問(wèn)題——正方形的面積減去邊長(zhǎng)等于870，求邊長(zhǎng).我國(guó)的《九章算術(shù)》中也有關(guān)于城池大小的“邑方問(wèn)題”的求解.現(xiàn)如今，教者又賦予其新的生長(zhǎng)點(diǎn)和立足點(diǎn)，符合《標(biāo)準(zhǔn)》中強(qiáng)化情境設(shè)計(jì)與問(wèn)題提出的要求.學(xué)生已學(xué)習(xí)過(guò)一元二次方程的解法，可此方程的系數(shù)較大，不能快速求出方程的根，也就解決不了情境問(wèn)題，由此引發(fā)學(xué)生思考，能否不解方程直接求矩形的周長(zhǎng)和面積，即直接求兩根之和與兩根之積.在引入本節(jié)內(nèi)容的同時(shí)，讓學(xué)生理解“數(shù)學(xué)來(lái)源于生活”，又激發(fā)學(xué)生對(duì)本節(jié)內(nèi)容的探究興趣.

問(wèn)題2 填寫(xiě)表1并觀察，猜想二次項(xiàng)系數(shù)為1時(shí)，方程的根與系數(shù)的關(guān)系.

設(shè)計(jì)意圖：由于問(wèn)題1的方程計(jì)算難度大，因此問(wèn)題2中設(shè)置兩個(gè)二次項(xiàng)系數(shù)為1的方程，讓學(xué)生去探究發(fā)現(xiàn)根與系數(shù)的特殊結(jié)論，再推廣到形如x2+px+q=0的一般情況，滲透從特殊到一般的數(shù)學(xué)思想.教者始終著眼于學(xué)生的“最近發(fā)展區(qū)”，給學(xué)生創(chuàng)造生長(zhǎng)的平臺(tái)，讓學(xué)生的思維活起來(lái).

問(wèn)題3 填寫(xiě)表2并觀察，猜想二次項(xiàng)系數(shù)不為1時(shí)，方程的根與系數(shù)的關(guān)系.

設(shè)計(jì)意圖：?jiǎn)l(fā)學(xué)生用系數(shù)表示兩根之和與兩根之積的一般規(guī)律，培養(yǎng)大膽猜想、歸納推理的能力，引導(dǎo)學(xué)生感悟符號(hào)表達(dá)對(duì)于數(shù)學(xué)發(fā)展的作用，為后面的證明做鋪墊.從二次項(xiàng)系數(shù)為1的的方程到一般式方程，體現(xiàn)從具體到抽象、從特殊到一般的數(shù)學(xué)思維方法，都是積累數(shù)學(xué)抽象的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)、培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的很重要教學(xué)素材[2].

1.2 教學(xué)設(shè)計(jì)二

問(wèn)題1 解方程：x²-5x-6=0.

設(shè)計(jì)意圖：根據(jù)蘇科版九年級(jí)上冊(cè)（2013版）教材的編排，一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系在一元二次方程的解法之后，此方程用配方法、公式法、因式分解法都可以解決，兼顧不同層次的學(xué)生，激活學(xué)生思維，活躍課堂氣氛.讓學(xué)生根據(jù)不同的解法體會(huì)幾種解法之間的相互聯(lián)系和區(qū)別，厘清解一元二次方程的本質(zhì)是通過(guò)“降次”將一元二次方程“轉(zhuǎn)化”為一元一次方程求解，從式的結(jié)構(gòu)上講是將ax²+bx+c=0（a≠0）轉(zhuǎn)化為A×B=0（或A²=m）的形式，為下面的學(xué)習(xí)做好鋪墊.

問(wèn)題2 已知關(guān)于x的方程x²+bx+c=0兩根分別為2+1，2-1，求b，c的值.

設(shè)計(jì)意圖：?jiǎn)栴}2選自蘇科版教材本節(jié)的習(xí)題.學(xué)生的求解方式基本上是直接代入構(gòu)造方程組求解，由于兩根分別為2+1，2-1，代入求解計(jì)算量較大.從求根公式可以得到一元二次方程的根是由方程的系數(shù)決定的，反之亦然.學(xué)生已經(jīng)有這方面的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，如（a+b）（a-b）=a²-b²，從左到右是整式乘法，從右到左是因式分解，再如5³=125是已知底數(shù)和指數(shù)求冪，3125=5是已知冪和指數(shù)求底數(shù).現(xiàn)在已知方程的兩根，未知的是一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)，那么根與系數(shù)會(huì)存在怎樣的關(guān)系？由于兩根的的特殊性，學(xué)生容易觀察、猜想得到x₁+x₂=-b，x₁x₂=c，然后根據(jù)不同形式的一元二次方程進(jìn)行探究，課堂自然生長(zhǎng).學(xué)生也可根據(jù)方程的式結(jié)構(gòu)，構(gòu)造方程比較系數(shù)即可得到b，c的值.事實(shí)上，代入計(jì)算各項(xiàng)系數(shù)的過(guò)程，也是韋達(dá)代入方程兩根利用相減法證明根與系數(shù)關(guān)系的精髓.問(wèn)題2的引入，不僅能夠體現(xiàn)研究根與系數(shù)關(guān)系的必要性，也為后續(xù)根與系數(shù)關(guān)系的證明、高次方程根與系數(shù)關(guān)系的研究提供了思路.

2 兩種引入方式的比較分析

2.1 同中辨異

創(chuàng)設(shè)情境是課堂教學(xué)中最常見(jiàn)的環(huán)節(jié).

教學(xué)設(shè)計(jì)一從生活實(shí)際構(gòu)造問(wèn)題情境，學(xué)生在感受解方程的局限性中體會(huì)研究根與系數(shù)的關(guān)系的必然性和合理性，再通過(guò)探究二次項(xiàng)系數(shù)為1到系數(shù)不為1的一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，得到根與系數(shù)關(guān)系的一般結(jié)論.

教學(xué)設(shè)計(jì)二從知識(shí)內(nèi)部構(gòu)造問(wèn)題情境，通過(guò)研究解方程的本質(zhì)，由根來(lái)逆向求解系數(shù)，打破學(xué)生固有的思維模式，突破常態(tài)進(jìn)行思考和解決問(wèn)題.突出根與系數(shù)有著密不可分的關(guān)系，加深學(xué)生對(duì)本節(jié)內(nèi)容的理解.

教學(xué)設(shè)計(jì)一是在將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題的過(guò)程中，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)化的能力.教學(xué)設(shè)計(jì)二著力于培養(yǎng)學(xué)生的方程意識(shí)，滲透研究數(shù)學(xué)對(duì)象的遷移方法，幫助學(xué)生建立知識(shí)間的聯(lián)系.可以說(shuō)，兩種引入方式，各有千秋，各有各的作用.

2.2 異中求同

通常來(lái)說(shuō)，對(duì)于“一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系”的教學(xué)，最便捷的教學(xué)方法是快速找到一元二次方程兩根之和、兩根之積與系數(shù)的關(guān)系，然后以較多的實(shí)踐來(lái)進(jìn)行形成性、鞏固性、拓展性的練習(xí)和強(qiáng)化訓(xùn)練[3]，蘇科版教材也是這樣呈現(xiàn)的.知識(shí)的發(fā)現(xiàn)和發(fā)展過(guò)程容易被忽視，從而造成教學(xué)重難點(diǎn)的轉(zhuǎn)移.

這兩種情境引入的設(shè)計(jì)都充滿探究性，由一個(gè)問(wèn)題到另一個(gè)問(wèn)題，制造學(xué)生的認(rèn)知沖突，體現(xiàn)研究根與系數(shù)關(guān)系的必要性；都以問(wèn)題串的形式呈現(xiàn)，層層遞進(jìn)，設(shè)計(jì)具有生活性、探究性和思維性；都經(jīng)歷了新概念的發(fā)生發(fā)展過(guò)程，即通過(guò)具體的根與系數(shù)關(guān)系抽象出一般結(jié)論.基于學(xué)生為主體的理念，引導(dǎo)學(xué)生積極主動(dòng)地參與課堂，促進(jìn)素養(yǎng)的落地生根.

3 教學(xué)思考

3.1 創(chuàng)設(shè)真實(shí)情境，指向有效教學(xué)

數(shù)學(xué)情境首先應(yīng)該是數(shù)學(xué)的.一個(gè)好的生活化教學(xué)情境，它的價(jià)值不應(yīng)僅局限于引出課題，還在于讓學(xué)生在思考解決這個(gè)情境所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)問(wèn)題的過(guò)程中，經(jīng)歷由生活化問(wèn)題抽象出數(shù)學(xué)問(wèn)題的數(shù)學(xué)化過(guò)程，感悟抽象思想與模型思想，以提高發(fā)現(xiàn)問(wèn)題與提出問(wèn)題的能力，感受數(shù)學(xué)與生活的緊密聯(lián)系，更在于激發(fā)學(xué)生運(yùn)用已有的知識(shí)及經(jīng)驗(yàn)去努力解決所得到的數(shù)學(xué)問(wèn)題的興趣，以提高分析問(wèn)題與解答問(wèn)題的能力.在分析問(wèn)題與解答問(wèn)題的過(guò)程中，當(dāng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)所學(xué)習(xí)過(guò)的知識(shí)、所具有的經(jīng)驗(yàn)均無(wú)法順利解答時(shí)，則被迫學(xué)習(xí)新的知識(shí)與方法.此時(shí)的新知，是在“憤”與“悱”狀態(tài)下去學(xué)習(xí)的，因而其學(xué)習(xí)的興趣被激發(fā)，學(xué)習(xí)的主動(dòng)性就會(huì)提高，學(xué)習(xí)的效率自然提升.

教學(xué)設(shè)計(jì)一中，問(wèn)題1的方程，人為設(shè)計(jì)的痕跡明顯，真實(shí)性有待考證.《標(biāo)準(zhǔn)》也多次提及“真實(shí)情境”.可以做如下嘗試：已知矩形的長(zhǎng)和寬分別是方程x2-8x+2=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，求這個(gè)矩形的周長(zhǎng)和面積.設(shè)置兩個(gè)層次，第一層次：將方程變?yōu)閤²-8x+3=0，x²-8x+4=0，x²-8x+5=0……方程在變化，解也在變化，但矩形的周長(zhǎng)與一次項(xiàng)系數(shù)不變，即兩根之和與一次項(xiàng)系數(shù)有關(guān)系；第二層次：將方程變?yōu)閤²-8x+10=0，x²-9x+10=0，x²-10x+10=0……方程在變化，解也在變化，但矩形的面積與常數(shù)項(xiàng)不變，即兩根之積與常數(shù)項(xiàng)有關(guān)系.這樣的問(wèn)題情境更自然、合理.

3.2 激活已有經(jīng)驗(yàn)，助推目標(biāo)達(dá)成

數(shù)學(xué)情境除了來(lái)自現(xiàn)實(shí)生活外，還可以根據(jù)數(shù)學(xué)知識(shí)的內(nèi)在邏輯聯(lián)系，通過(guò)“以舊引新”的形式被創(chuàng)設(shè)出來(lái).這里的舊知，并不是簡(jiǎn)單的復(fù)習(xí)舊知，而是要深入挖掘新知與舊知間的內(nèi)在邏輯關(guān)系，運(yùn)用已有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)主動(dòng)探索新知的自我認(rèn)同的學(xué)習(xí)過(guò)程，是對(duì)已有數(shù)學(xué)知識(shí)及認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)的同化與順應(yīng).

教學(xué)設(shè)計(jì)二的問(wèn)題2中，提供的兩根雖然有聯(lián)系，但有一定難度，學(xué)生不容易想到.教學(xué)中可以將問(wèn)題2分解，做如下嘗試：寫(xiě)出一個(gè)一元二次方程使得兩根分別是-1，2；兩根分別是x₁，2；兩根分別是x₁，x₂.學(xué)生基于對(duì)問(wèn)題1解方程的認(rèn)識(shí)，可以根據(jù)方程的式結(jié)構(gòu)將ax²+bx+c=0（a≠0）化為a（x-x₁）5（x-x₂）=0（a≠0），從而解決問(wèn)題的同時(shí)，也能通過(guò)比較系數(shù)法得到根與系數(shù)關(guān)系的一般規(guī)律.這樣的分層設(shè)計(jì)，由數(shù)到式，由簡(jiǎn)到繁，逐層深入，順勢(shì)而為.

3.3 重溫發(fā)展歷史，多元概念引入

數(shù)學(xué)作為一門(mén)具有悠久歷史的學(xué)科，具有自身獨(dú)特的豐富數(shù)學(xué)史、數(shù)學(xué)美的文化價(jià)值.教學(xué)時(shí)，利用這些資源來(lái)創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境，可以讓學(xué)生從數(shù)學(xué)發(fā)展的歷程上去整體認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)，加深對(duì)當(dāng)下學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)知識(shí)及方法的整體性理解.更重要的是讓他們從中體驗(yàn)數(shù)學(xué)家概括數(shù)學(xué)概念的心路歷程，領(lǐng)悟用數(shù)學(xué)的觀點(diǎn)看待和認(rèn)識(shí)世界的思想真諦[4].

根與系數(shù)的關(guān)系從起源、發(fā)現(xiàn)、完善、證明到推廣跨越了幾百年，許多數(shù)學(xué)家都為它的證明作出了貢獻(xiàn).教學(xué)時(shí)可以從不同視角對(duì)情境引入進(jìn)行再設(shè)計(jì).如可以讓學(xué)生收集、閱讀相關(guān)的歷史文獻(xiàn)資料，課堂以匯報(bào)或短視頻的形式展示；按照歷史上證明“一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系”的幾種方法的順序進(jìn)行教學(xué)，由易到難地引導(dǎo)學(xué)生開(kāi)展探究式數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng).只有了解根與系數(shù)關(guān)系的“前世今生”，才能更好地揭示其產(chǎn)生的合理性和必然性，經(jīng)歷其探究發(fā)現(xiàn)、證明完善的歷史演化進(jìn)程，有助于形成動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)觀，賞析多元數(shù)學(xué)文化.

參考文獻(xiàn)：

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