初中數(shù)學解題教學中逆向思維的應用策略

【摘要】數(shù)學知識體系具有顯著的內在邏輯性，因此數(shù)學學習過程中，思維方式?jīng)Q定了學生的解題思路及學習效果.逆向思維屬于創(chuàng)造性思維的范疇，其與常規(guī)的正向思維模式是相輔相成、對立統(tǒng)一的關系，在正向思維的基礎上發(fā)展逆向思維，可以引導學生從不同角度、不同層次思考問題，拓展思維的寬度與廣度，促進其創(chuàng)造性思維的發(fā)展.本文探討初中數(shù)學解題教學中逆向思維的應用策略.

【關鍵詞】逆向思維；初中數(shù)學；解題教學

常規(guī)正向思維與知識體系的生成方向一致，而逆向思維則是反向探索解決問題方法的思維模式，正向思維呈現(xiàn)出大眾認知的普遍性，而逆向思維則屬于創(chuàng)造性思維.在初中數(shù)學教學中發(fā)展學生的逆向思維可以拓展學生思維路徑，優(yōu)化思維模式，促進其創(chuàng)新意識的發(fā)展.

1逆向思維在初中數(shù)學解題教學中的應用價值

首先，逆向思維可以強化學生對知識的記憶與理解.初中階段數(shù)學科目涉及很多概念、定理及公式，這些復雜的知識內容需要學生深入理解與記憶，才能在解題過程中靈活應用.逆向思維從知識形成的反方向進行分析，學生在了解問題的解決方法后反推知識的形成過程，可有效加強學生對相關理論知識的記憶，且逆向思維可幫助學生從不同層面理解知識點，幫助學生提高知識應用能力.

其次，驅動學生想象力與創(chuàng)造力的發(fā)展.正向思維主要講解知識的形成過程，按部就班的講解方式對學生來說比較枯燥，而數(shù)學知識復雜且抽象，學生采用傳統(tǒng)的正向思維模式不利于對知識的理解與記憶.逆向思維可以引導學生從不同角度思考問題，激發(fā)其想象力、創(chuàng)造力，通過逆定理、逆運算等訓練提高其知識應用能力.

再次，打破學生思維局限.學生在學習數(shù)學時思維受到局限，無法掌握有效的學習方法，會增加其學習數(shù)學的難度.而逆向思維可以幫助學生打破思維定式，引導學生從反向角度思考問題、解決問題，激發(fā)學生學習的興趣，降低數(shù)學學習難度.

最后，促進學生全面發(fā)展.逆向思維不僅僅是一種解決數(shù)學問題的方法，還是一種解決其他問題的思維方式，培養(yǎng)學生的逆向思維，可以使學生更加全面地了解問題，形成批判性思維，不斷提升學生的自主學習能力.

2逆向思維在初中數(shù)學解題教學中的具體應用

逆向思維的培養(yǎng)需要經(jīng)過大量的練習，教師在教學過程中要有意識地將逆向思維培養(yǎng)融入各類數(shù)學解題教學中，幫助學生通過不同形式的練習，掌握應用逆向思維解題的方法，促進其逆向思維的發(fā)展.為更好分析逆向思維在初中數(shù)學解題教學中的應用，本研究針對不同題型分別論述：

2.1逆向思維在幾何問題中的應用

幾何題目是初中數(shù)學中的常見題型，學生在解題時通常會從題干中分析已知條件，再根據(jù)已知條件求解.但實際解題中學生采用正向思維解題很難從已知條件中得出結論，這種情況下教師就可以引導學生采用逆向思維，以結論為出發(fā)點推導出解題思路.比如采用補集法，所謂補集法是指取集合的補集來解決問題，通過證明補集的特點逆推集合特征及性質.補集法適用于幾何題目，在解題過程中結合題目中圖形的特點進行補圖，使得圖形變得更加具體，以降低推導難度.

例1已知下圖1中△ABC，∠BAC=45°，AD⊥BC于D點，如BD=2，CD=1，則△ABC面積是多少？

求三角形面積需要知道底、高等條件，上圖中BD、DC的長度為已知條件，可得出三角形底邊的長度，AD為三角形的高，未知；但題干中有另外一個條件，即∠BAC=45°，根據(jù)這一已知條件進行補充，在AC右邊再做出∠CAE =45°，如圖2.

使AE=AB，且∠BAC+∠EAC=45°，可知△ABC和△AEC為全等三角形，則CE=BC=3，再根據(jù)全等三角形的條件構建正方形，再將所有面積問題轉化即可完成題目.這道題看似條件簡單、易懂，但是45°角的運用卻是其中關鍵點，利用逆向思維在現(xiàn)有圖形中添加輔助線，通過構造圖形將新圖形的特點直觀地呈現(xiàn)出來.這個過程就是采用了補集法，利用45°補充出正方形，通過逆向思維的轉化完成題目.

2.2逆向思維在方程問題中的應用

方程問題的重點在于方程知識的運用及計算，在解答方程問題時，學生的思維方式、計算能力差異較大，對于部分學生而言，解答方程問題時存在一定困難.針對這種情況，可以在解題教學中融入逆向思維，幫助學生拓展解題思路，提高其解題能力.

例2解以下方程：320×40%=（320-x）（1-20%）+20%.

在該題目中按照常規(guī)的解題思路，需要先將方程進行變形、移項轉換為80%x=320×40%+20%，這種轉換計算繁瑣，不僅降低解題效率，而且易出現(xiàn)計算錯誤.而采用逆向思維進行分析后，可在方程兩邊同時除以20%，得到以下算式：4x=320×2+1.

經(jīng)過轉換后的算式簡單易算，大大提高了解題效率及正確率.正是由于逆向思維可以提高解題過程的靈活性，所以其在方程問題中的應用十分普遍.

例3已知x，y滿足方程組x－5y=20224x－2y=2023，求x+y的值.

在上式中利用正向思維解題，需先求解二元一次方程組計算x、y值.但這種解題思路過于繁瑣，利用逆向思維分析該題可知，x+y=134x－2y－x－5y，從問題入手，可分析出問題與條件的關系，大大簡化了解題過程.由上述兩個例題可知轉換思維模式可減少計算步驟，優(yōu)化解題過程，在提升解題速度的同時，提升解題正確性.

2.3逆向思維在不等式問題中的應用

初中階段的不等式內容主要包括一元一次不等式，但還有一些特殊的不等式問題采用常規(guī)的解題思路很難計算出正確答案，這種情況下就需要學生打破思維局限，采用逆向思維模式分析題目.

例4已知 x－mlt;07－2x≤3是關于x的一元一次不等式組，且該不等式組共有4個整數(shù)解，解不等式求出未知數(shù)m的取值范圍.

在普通的一元一次不等式組解題思路中，需先求解不等式組中各個不等式的解集，將其分別表示在數(shù)軸上，再利用數(shù)軸求解不等式組的解集，這是典型的正向思維解題思路.但是該式的特殊點在于，第一個不等式中包含了另外一個未知數(shù)，因此無法求解不等式的解集.針對這一情況可以應用逆向思維，先將第二個不等式的解集計算出來，再根據(jù)題干中的另外一個條件“該不等式組共有4個整數(shù)解”做出逆向推理.根據(jù)第二個不等式的解題答案x≥2，逆向推理出該式的4個整數(shù)解分別為2、3、4、5；根據(jù)第一個不等式x-m＜0可知，x＜m，由上述推理得出x最大值不超過5，證明m至少大于5，并在5～6之間，假設m=6，則第一個不等式中的x為：x＜6，該條件下不等式組滿足4個整數(shù)解的條件；如m＞6則會增加不等式組的整數(shù)解數(shù)量，無法滿足題干中的條件，由此可得出5＜m≤6.在上述題目中很難采用常規(guī)的不等式組求解步驟計算出正確答案，而采用逆向思維先分析已知不等式組的解集，再將不等式組解集與不等式未知數(shù)、未知參數(shù)的聯(lián)系逆向推導出來，將不等式組的參數(shù)問題作為解題思路的關鍵，降低不等式題目的解題難度，提升學生的解題能力.

2.4逆向思維在函數(shù)問題中的應用

函數(shù)問題在初中階段的內容分布呈螺旋上升趨勢，學生在接觸一次函數(shù)后，再學習反比例函數(shù)及二次函數(shù).函數(shù)問題抽象、復雜，相當一部分學生學習起來十分困難，一次函數(shù)基礎薄弱，后續(xù)反比例函數(shù)、二次函數(shù)的學習也會受到影響，在解題時不可避免地會遇到困難.針對這種情況，教師要視實際情況適時、適當?shù)夭捎媚嫦蛩季S引導學生反向推理函數(shù)關系，幫助學生從根本上理解函數(shù)的相關知識，打牢函數(shù)基礎.比如下面例題五就是關于反比例函數(shù)的題目：

例5平面直角坐標系中，反比例函數(shù)關系式為y=2x，現(xiàn)有一個一次函數(shù)y=-x，將一次函數(shù)圖象至少向上平移幾個單位長度，才能使其與反比例函數(shù)圖象在第一象限產(chǎn)生交點？

上述題目不僅涉及一次函數(shù)，還涉及反比例函數(shù)，相比普通的函數(shù)題目更加復雜，若按照常規(guī)的解題思路進行分析具有一定難度.按照題目給出的條件，已知反比例函數(shù)與一次函數(shù)關系式，由此可推理出兩幅圖象在平面直角坐標系中的位置；題目要求向上平移一次函數(shù)圖象，使反比例函數(shù)與一次函數(shù)圖象相交于第一象限，此時教師就可以采用逆向思維，由問題入手，引導學生先針對“向上平移幾個單位長度”的問題做假設，再根據(jù)假設的“答案”進行逆向推理：假設向上平移一次函數(shù)的圖象n個單位長度時，可使其在第一象限與反比例函數(shù)相交，則聯(lián)立y=-x+n（n＞0）與y=2x，應有關于x的實數(shù)解；根據(jù)上述推理，-x+n=2x，-x2+nx-2=0，Δ=n2-4×2≥0，通過計算可知，n≥22，故可得出至少將一次函數(shù)向上平移22個單位長度，才能使反比例函數(shù)與一次函數(shù)圖象相交于第一象限.該題是典型的應用逆向思維解題的方法，先假設出問題的答案，再將答案逆向代入函數(shù)關系式，通過驗證答案求解題目.

3結語

總之，在初中數(shù)學教學過程中，需要引導學生形成正確的思維方式、梳理數(shù)學知識的內在規(guī)律，以此為基礎應用教科書中的理論知識解決實際問題，幫助學生更好地掌握數(shù)學知識、應用數(shù)學知識，培養(yǎng)其運用數(shù)學思維解決現(xiàn)實問題的能力.逆向思維是新課程標準中一種有效的教學實踐，也是一種先進的教學理念，其可以強化學生對數(shù)學知識的理解與記憶，驅動學生想象力的發(fā)展，打破思維局限，促進學生綜合素質的發(fā)展.本研究分析了逆向思維在幾何問題、方程問題、函數(shù)問題以及不等式問題中的具體應用，選擇了經(jīng)典的例題類型，旨在探討逆向思維在初中數(shù)學解題教學中的具體應用.當然，實際教學中教師要有意識地將逆向思維培養(yǎng)滲透在數(shù)學教學的各個環(huán)節(jié)，進一步促進學生邏輯思維及創(chuàng)造力的發(fā)展.

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