分類討論思想在初中數學解題中的應用

【摘要】新課程改革以來，越來越重視對學生數學思維的培養.分類討論思想作為常見的數學解題思想之一，對學生的邏輯性與嚴謹性的發展具有重要作用.在初中數學的各類題型中，分類討論思想幾乎涵蓋各個領域，把握好這種思想，學生才能做到讀懂題，做對題，進而真正提高自己的解題能力.

【關鍵詞】初中數學；分類討論；解題能力

1函數中的分類討論

例1已知m為實數，如果函數y=2mx2+（m+2）x+1的圖象與x軸有且只有一個交點，那么m的值為.

分析題目中告訴我們“函數”y=2mx2+（m+2）x+1的圖象與x軸有且只有一個交點，并沒有明確是什么函數，無論是二次函數還是一次函數都有可能成立，因此需要我們就這一不確定情況進行分類討論.

解析（1）當函數y=2mx2+（m+2）x+1為一次函數時，

m=0，此時函數為y=2x+1，通過函數圖象可以發現，與x軸交于點（-12，0），滿足函數圖象與x軸有且只有一個交點.

（2）當函數y=2mx2+（m+2）x+1為二次函數時，m≠0，此時，當函數圖象與x軸有且只有一個交點時，△=b2－4ac=0，代入數據可得（m+2）2－4×2m=0，化簡可得（m－2）2=0，解得m=2.

綜上所述，當函數y=2mx2+（m+2）x+1為一次函數時，m的值為0，當函數y=2mx2+（m+2）x+1為二次函數時，m的值為2.

評析函數是中學數學的必考知識點之一，對于這類問題，往往需要考慮其含有的參數的意義，從函數的意義出發，明確題目中存在的不確定因素，然后有邏輯的依次進行分類討論，做到不重復不遺漏，這樣復雜的問題就可迎刃而解了.

2幾何中的分類討論

例2在一張矩形紙片ABCD中，AB=3，BC=5，點M在AD邊所在的直線上，且DM=1，將矩形紙片ABCD折疊，使得點M與點B重合，折痕與AD、BC分別交于點E、F，則線段EF的長度為.

分析本題中一個不確定且易錯的點在于“點M在AD邊所在的直線上”，很多學生會下意識以為點M是在矩形紙片ABCD中的AD邊上，從而忽略點M在矩形紙片外的情況，這也是本題中需要分類討論的關鍵點.

解析因為點M在AD邊所在的直線上，所以可能存在兩種情況，具體分析如下：

（1）點M是在矩形紙片ABCD外

因為EF與BM是矩形紙片ABCD折疊所得的兩條折痕，

所以EF⊥BM，OB=OM，∠BOE=∠MOE.

所以∠BOF=∠MOE=90°.

在Rt△BOF與Rt△MOE中，∠BOF=∠MOE∠OBF=∠OME

所以Rt△BOF≌Rt△MOE，

所以OE=OF.

在Rt△BAM中，AM=AD+DM=6，

BM=AM2+AB2=35，

所以OM=352，

因為∠MAB=∠MOE=90°，∠AMB=∠OME，

所以Rt△ABM∽Rt△OEM，

所以AMAB=OMOE，

所以OE=354，

所以EF=2OE=352.

（2）點M是在矩形紙片ABCD內

因為EF與BM是矩形紙片ABCD折疊所得的兩條折痕，

所以EF⊥BM，OB=OM，∠BOE=∠MOE.

所以∠BOF=∠MOE=90°.

在Rt△BOF與Rt△MOE中，∠BOF=∠MOE∠OBF=∠OME，

，所以Rt△BOF≌Rt△MOE，

所以OE=OF.

在Rt△BAM中，AM=AD－DM=4，

BM=AM2+AB2=5，

所以OM=52，

因為∠MAB=∠MOE=90°，∠AMB=∠OME，

所以Rt△ABM∽Rt△OEM，

所以AMAB=OMOE，

所以OE=158，

所以EF=2OE=154.

綜上所述，當點M是在矩形紙片ABCD外時，線段EF的長度為352，當點M是在矩形紙片ABCD內時，線段EF的長度為154.

評析幾何圖形的折疊問題是初中數學中常見的分類討論問題之一，圖形折痕的不確定性從而產生多種情況，解決這類問題需要學生找到分類討論的對象，繼而分析可能存在的情況范圍，最后總結得出最終結果.

3結語

綜上例題可以發現，分類討論產生的根本原因是題目中的不確定性，當學生完整經歷在讀題中發現這種不確定因素，知其分類討論的范圍標準，并結合題目依次不遺漏的進行分析討論，最后總結歸納得出最終結論的全過程，就會發現，分類討論是簡化難題的重要思想，熟練掌握這種思想，學生的解題能力將大幅提升.