巧用二次函數(shù)的對稱性解題

【摘要】二次函數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)中的重要內(nèi)容，其對稱性具有廣泛的應(yīng)用．本文通過實(shí)例詳細(xì)闡述如何巧妙利用二次函數(shù)的對稱性，解決各類數(shù)學(xué)問題，包括確定函數(shù)解析式、解決最值問題等，旨在幫助讀者更好的理解和運(yùn)用這個(gè)數(shù)學(xué)工具．

【關(guān)鍵詞】初中數(shù)學(xué)；二次函數(shù)；對稱性

二次函數(shù)在數(shù)學(xué)中占據(jù)著重要的地位，它不僅是函數(shù)知識(shí)的重要部分，也是解決數(shù)學(xué)問題的有力工具．二次函數(shù)的對稱性是其重要的性質(zhì)之一，巧妙地利用這一性質(zhì)可以使一些復(fù)雜的問題變得簡單明了，從而提高解題的效率．

1利用對稱性確定函數(shù)解析式

例1如圖1，小李同學(xué)設(shè)計(jì)的一個(gè)動(dòng)畫示意圖，光點(diǎn)從點(diǎn)P2，1發(fā)出，其經(jīng)過的路徑為拋物線 G：y=ax－h(huán)2+k的一部分，并落在水平臺(tái)子上的點(diǎn)Q4，1處，其達(dá)到的最大高度為2，光點(diǎn)在點(diǎn)Q處被反彈后繼續(xù)向前沿拋物線L：y=－2x2+bx+c的一部分運(yùn)行，已知臺(tái)子的長AB=4，AQ=1，點(diǎn)M是AB的中點(diǎn)．

（1）求拋物線G的對稱軸及函數(shù)表達(dá)式；

（2）若光點(diǎn)被彈起后，落在臺(tái)子上的BM之間（不含端點(diǎn)），求b所有的整數(shù)值．

解析（1）點(diǎn)P2，1，點(diǎn)Q4，1是拋物線上的一對對稱點(diǎn)，所以，對稱軸為直線x=3.

因?yàn)閽佄锞€G達(dá)到的最大高度為2，

設(shè)解析式為y=ax－32+2.

將點(diǎn)P2，1代入，得1=a×2－32+2，

解得a=－1，

所以拋物線G的函數(shù)表達(dá)式為y=－x－32+2.

（2）因?yàn)锳B=4，AQ=1，

所以BQ=3，

又Q4，1，

所以點(diǎn)B7，1，點(diǎn)M5，1，

所以當(dāng)點(diǎn)Q4，1與點(diǎn)M5，1是拋物線上的一對對稱點(diǎn)時(shí)，－b2×－2=4+52=92，

所以b=18.

當(dāng)點(diǎn)Q4，1與點(diǎn)B7，1是拋物線上的一對對稱點(diǎn)時(shí)，－b2×－2=4+72=112，

所以b=22，

所以18lt;blt;22.

所以b所有的整數(shù)值為19、20、21.

點(diǎn)評(píng)本題考查二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，拋物線的對稱軸．（1）根據(jù)題意得出對稱軸為直線x=3，進(jìn)而求得頂點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)解析式為y=ax－32+2，將點(diǎn)P2，1代入，待定系數(shù)法求解析式，即可求解；（2）根據(jù)拋物線的對稱性，求得QM，QB的中點(diǎn)進(jìn)而求得b的范圍，即可求解．

2利用對稱性解決最值問題

例2已知二次函數(shù)y=－14x2+bx+c的圖象經(jīng)過原點(diǎn)O和點(diǎn)A8+t，0，其中t≥0．

（1）當(dāng)t=0時(shí)，

①求y關(guān)于x的函數(shù)解析式；求出當(dāng)x為何值時(shí)，y有最大值？最大值為多少？

②當(dāng)x=a和x=b時(shí)a≠b，函數(shù)值相等，求a的值．

（2）當(dāng)tgt;0時(shí)，在0≤x≤8范圍內(nèi)，y有最大值18，求相應(yīng)的t和x的值．

解析（1）①當(dāng)t=0時(shí)，A8，0.

把A8，0、O0，0代入y=－14x2+bx+c，

得－16+8b+c=0c=0，

所以b=2c=0，

所以二次函數(shù)為y=－14x2+2x.

因?yàn)閥=－14x2+2x=－14x－42+4，

所以當(dāng)x=4時(shí)，y有最大值，最大值為4.

②因?yàn)閤=a和x=b時(shí)a≠b，函數(shù)值相等，

所以－14a2+2a=－14×22+2×2，

整理得a2－8a+12=0，

解得a=2（不合，舍去）或a=6，

所以a=6.

（2）因?yàn)槎魏瘮?shù)y=－14x2+bx+c的圖象經(jīng)過原點(diǎn)O，

所以c=0，

所以二次函數(shù)y=－14x2+bx，

所以對稱軸為直線x=2b.

因?yàn)槎魏瘮?shù)y=－14x2+bx+c的圖象經(jīng)過原點(diǎn)O和點(diǎn)A8+t，0，

所以2b=8+t2=4+12t（t＞0）.

當(dāng)t≤8時(shí)，對稱軸x=2b≤8.

因?yàn)?≤x≤8，

所以x=2b時(shí)，y有最大值18，

即－14×2b2+b×2b=18，

整理得b2=18，

所以b=－32或b=32.

因?yàn)?lt;2b≤8，

所以2lt;b≤4，

所以b=－32或b=32不合，舍去；

當(dāng)tgt;8時(shí)，對稱軸x=2bgt;8，因?yàn)椋?4lt;0，所以在對稱軸的左側(cè)，y的值隨x的增大而增大，

因?yàn)?≤x≤8，

所以當(dāng)x=8時(shí)，y有最大值18，

即－14×82+8b=18，

解得b=174，

所以4+12t=2×174，

所以t=9.

綜上t=9，x=8．

點(diǎn)評(píng)本題主要考查了二次函數(shù)的對稱性和最值，掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．本題第（1）問中，①當(dāng)t=0時(shí)，求出點(diǎn)A坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法即可求出函數(shù)解析式，根據(jù)函數(shù)解析式即可求出二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而解答問題；②根據(jù)x=a和x=b時(shí)a≠b，函數(shù)值相等，列得方程－14a2+2a=－14×22+2×2，解方程即可求解.本題第（2）問中，求出二次函數(shù)y=－14x2+bx的對稱軸x=2b，由二次函數(shù)圖象經(jīng)過原點(diǎn)O和點(diǎn)A8+t，0，可得2b=8+t2=4+12t，分t≤8和tgt;8兩種情況，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)解答即可求解．

3結(jié)語

二次函數(shù)的對稱性是解決二次函數(shù)相關(guān)問題的重要工具．通過巧妙地運(yùn)用對稱性，可以簡化計(jì)算過程，快速準(zhǔn)確地確定函數(shù)解析式、解決最值等問題．在學(xué)習(xí)和應(yīng)用二次函數(shù)的過程中，深入理解和熟練掌握其對稱性的性質(zhì)和應(yīng)用方法，將有助于提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力和解題能力，為進(jìn)一步學(xué)習(xí)和解決更復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題奠定堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)．

總之，二次函數(shù)的對稱性在數(shù)學(xué)解題中具有不可忽視的重要作用，學(xué)生應(yīng)充分認(rèn)識(shí)并善于利用這一性質(zhì)，以提升解決數(shù)學(xué)問題的能力和水平．

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