以例題為載體活化數(shù)學(xué)教學(xué)思維

【摘要】勾股定理翻折題常見于中考，備受出題者關(guān)注.解此類題，應(yīng)重隱含條件，翻折圖形全等導(dǎo)致線段相等、角度相同.矩形翻折現(xiàn)直角三角形與線段交織.翻折具備軸對(duì)稱性，折痕垂直平分對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線且并平分兩角.把握隱含條件并結(jié)合知識(shí)，即可破題.

【關(guān)鍵詞】初中數(shù)學(xué)；勾股定理；翻折問題

處理勾股定理應(yīng)用中的圖形折疊計(jì)算問題，通用策略為：在圖形里明確一個(gè)直角三角形.設(shè)某未知量為x，用數(shù)值或代數(shù)式表示三角形三邊.借勾股定理到方程，求解線段長(zhǎng).此幾何與代數(shù)相結(jié)合，益于提升數(shù)學(xué)思維.

1折痕與對(duì)角線重合的折疊問題

解涉折痕（為圖形對(duì)角線）幾何題，關(guān)鍵在察圖形隱匿相等線段，隨后，梳理其邏輯關(guān)系框架.最終，再巧用勾股定理設(shè)解方程式，精準(zhǔn)作答，盡顯數(shù)學(xué)思維嚴(yán)謹(jǐn).

例1如圖1，現(xiàn)有矩形ABCD，邊長(zhǎng)BC=6，將△ABC沿對(duì)角線AC折疊，得到△AEC，AE與DC交于點(diǎn)F，∠BAC=30°，則EF=（）.

（A）23. （B） 3. （C）33. （D）6.

解因?yàn)锽C=6，∠BAC=30°，所以AB=63，∠ACB=60°，折痕為對(duì)角線AC，則有BC=CE=6，AB=AE=63，∠BAC=∠CAE=30°，∠ACB=∠ACE=60°，

因?yàn)椤螧AC=∠CAE=30°，所以∠CAF=∠ACF，所以AF=CF=63－EF，

所以在Rt△CEF中，通過勾股定理可知CF2=CE2+EF2，

所以（63－EF）2=62+EF2，解得EF=23，故答案為A.

2折痕過一頂點(diǎn)的折疊問題

折疊問題常見于幾何，如以矩形的頂點(diǎn)起，沿其邊某點(diǎn)與該頂點(diǎn)連線折疊.根據(jù)折疊后頂點(diǎn)位置分三類：落于矩形內(nèi)；恰在矩形邊上；在矩形外.此類題要解題者具備較強(qiáng)思維與幾何推理力.

例2如圖2所示，有一個(gè)矩形ABCD，邊長(zhǎng)AB=10，BC=8，點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，沿著BC邊向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的過程中，沿折線AP翻折△ABP，形成以下四種情況，設(shè)BP=x，△ABP與矩形重疊部分面積為y，則

（1）如圖5，此時(shí)P點(diǎn)與C點(diǎn)重合，則重疊面積y為？

（2）如圖3，此時(shí)B點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)B′在DC邊上，則重疊面積y為？

解（1）如圖5所示，由題意可得∠BAC=B′AC，折痕為對(duì)角線，

所以AE=EC，

設(shè)AE=EC=n，則BE=10-m，

在Rt△ADE中，n2=82+（10－n）2，解得n=8.2，所以y=12×8.2×8=32.8.

（2）如圖3所示，由題意可得△BAP≌△B′AP，所以AB′=AB=10，PB′=BP=x，

在Rt△AB′D中

因?yàn)锳B′=AB=10，所以DB′=102－82=6，所以CB′=4

在Rt△PCB′中，x2=42+（8－x）2=5，此時(shí)y=12×AB×BP=12×10×5=25，

所以當(dāng)BP=5時(shí)，點(diǎn)B′恰好落在DC邊上，此時(shí)y=25.

3折痕過任意兩點(diǎn)的折疊問題

解矩形翻折題，應(yīng)細(xì)辯三類情境：一是翻折點(diǎn)位于矩形內(nèi)，考量翻折線與各邊的交點(diǎn)及角度變化；二是翻折點(diǎn)于矩形邊上，翻折影響相鄰邊與對(duì)角線；三是翻折點(diǎn)在矩形外，需空間想象，翻折線對(duì)整體的影響.各情境均需詳析，確保解題的全面.

例3如圖6，ABCD是一個(gè)矩形紙片，其中AB和CD為短邊，AD和BC為長(zhǎng)邊.現(xiàn)在，沿著折線EF將矩形紙片進(jìn)行折疊，使得頂點(diǎn)B與頂點(diǎn)D重合.在折疊過程中，點(diǎn)A在矩形外的對(duì)應(yīng)位置變?yōu)辄c(diǎn)A′.若AB=6，BC=9，則△AA′E的面積為.

解析根據(jù)長(zhǎng)方形得到AB=CD=6，∠B=∠C=∠BAD=∠ADC=90°，AD∥BC，根據(jù)折疊性質(zhì)得到A′D=AB=6，∠A′DF=∠B=90°，∠DAE=∠BAD=90°，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到DE=DF，A′E=CF，由勾股定理得到DF=132，根據(jù)三角形的面積公式即可得到結(jié)論.

解因?yàn)榧埰珹BCD為矩形，所以AB=CD=6，∠B=∠C=∠BAD=∠ADC=90°，AD∥BC，

因?yàn)閷⒓埰谽F折疊，頂點(diǎn)B與頂點(diǎn)D重合，

所以A′D=AB=6，∠A′DF=∠B=90°，∠DAE=∠BAD=90°，

所以∠A′DE=∠CDF，AD=CD，∠DAE=∠C.

所以根據(jù)全等三角形邊角邊性質(zhì)，則有△A′DE≌△CDF，所以DE=DF，A′E=CF，

所以CD2+CF2=DF2，所以62+（9-DF）2=DF2，解得DF=132，

所以DE=DF=132，所以過A′作A′H⊥AD于H，所以A′H=A′E·A′DDE=3013，所以△AA′E的面積為12A′E·A′D=12×52×3012=7526.故答案為：7526.

圍繞勾股定理在翻折問題中的應(yīng)用，通過例題詳細(xì)剖析，活化數(shù)學(xué)教學(xué)思維.從識(shí)別直角三角形到代數(shù)求解，展現(xiàn)了幾何與代數(shù)的深度融合.分類探討過對(duì)角線、頂點(diǎn)及任意兩點(diǎn)折痕的翻折問題，掌握解題技巧.不僅傳授數(shù)學(xué)知識(shí)，更強(qiáng)調(diào)思維訓(xùn)練，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)解決問題能力.未來教學(xué)應(yīng)繼續(xù)探索此類方法，豐富學(xué)習(xí)體驗(yàn)，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)發(fā)展.