基于矩形環(huán)境下的動態(tài)幾何

【摘要】矩形是學(xué)生從小學(xué)階段開始接觸幾何時(shí)就已經(jīng)進(jìn)行具體了解的圖形.但隨著學(xué)生的認(rèn)知程度加深，對于其的考查也逐漸多樣化.矩形可與動態(tài)幾何問題，因此在矩形問題中，動點(diǎn)問題的解決方法也很多變.這不僅是由于矩形本身的性質(zhì)特點(diǎn)，而且通過矩形進(jìn)行構(gòu)造的三角形性質(zhì)也可以使用，折疊等圖形的變化特征也是學(xué)生進(jìn)行解題突破的關(guān)鍵點(diǎn).其中題目中展現(xiàn)的數(shù)學(xué)思維也值得學(xué)生學(xué)習(xí).

【關(guān)鍵詞】矩形；動點(diǎn)問題；初中數(shù)學(xué)

1引言

矩形作為學(xué)生在小學(xué)階段開始學(xué)習(xí)的圖形之一，關(guān)于它的考查一直在進(jìn)行，從關(guān)注基礎(chǔ)的圖形特點(diǎn)開始，側(cè)重點(diǎn)逐漸向組合圖形轉(zhuǎn)移.通過不同圖形的相互組合或者構(gòu)造，尋找滿足題意的解決方法，最后達(dá)到解題目的.其中關(guān)于輔助線思想、分類討論思想均是在幾何問題中最常見的解題思路，為學(xué)生高中階段學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ).

2中考數(shù)學(xué)矩形綜合題解析

例題已知在矩形ABCD中，AB=6，BC=8.如圖1，點(diǎn)E是邊AB上的一個(gè)動點(diǎn)，將△BEC沿CE折疊，點(diǎn)B落在點(diǎn)F處，連接AF，DF，當(dāng)△ADF是等腰三角形時(shí)，求tan∠BCE的值.

解題指導(dǎo)

根據(jù)題意分析，由于△ADF是等腰三角形且相等的邊不確定，故需要分情況討論.

①AD=FD.

如圖2，過點(diǎn)F作FH⊥CD于點(diǎn)H，HF的延長線交AB于點(diǎn)G，

要求tan∠BCE的值，可以將其放在一個(gè)直角三角形中，根據(jù)銳角三角函數(shù)求解.

所以tan∠BCE=BEBC，

由矩形性質(zhì)可知，BC=AB=8，所以只需要求出EF的長度，嘗試將其放在不同的三角形中.

由于△CEF是△BCE折疊可得，

所以BC=CF=8，BE=EF，

FH⊥CD且HF的延長線交AB于點(diǎn)G，

所以FG⊥AB，

∠EGF=∠FHC=90°.

由矩形ABCD可知，∠EBC=∠EFC=90°，

所以∠EFG+∠CFH=90°.

在Rt△EFG中，∠EFG+∠GEF=90°，

所以∠CFH=∠GEF，

由此可得△CFH∽△FEG，

得到GFHC=EFCF，

AD=FD=CF=8，

根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)，可以得到HC=HD=12CD=3，

與此同時(shí)，GF=GH－FH，GH=8，

在Rt△FHD中，因?yàn)镠D=3，

FD=8，

AE=82－32=55，

所以GF=8－55

因此得到GFHC=EFCF=8－553，

故EF=64－8553

所以tan∠BCE=BEBC=8－553.

②AF=FD.

如圖3，過點(diǎn)F作FM⊥AD于點(diǎn)M，過點(diǎn)F作FN⊥ND交CD的延長線于點(diǎn)N.

因?yàn)锳F=FD，F(xiàn)M⊥AD，

所以MD=12AD=4，F(xiàn)N=MD=4.

在Rt△FCN中，

sin∠FCN=FNFC=48=12，

所以∠FCN=30°

由矩形ABCD可知，∠BCD=90°，且△CEF是△BCE折疊可得，

所以∠BCE=∠ECF=12∠BCF=12（90°－∠FCN）=30°，

所以tan∠BCE=33.

③AF=AD.

因?yàn)辄c(diǎn)E為邊AB上的一個(gè)動點(diǎn)，根據(jù)動點(diǎn)的移動范圍和三角形中兩邊之和大于等于第三邊，

所以AE+EF=AE+EB=AB=6，

即AF≤6，

所以AF≠AD恒成立，這種情況不滿足題意，舍去.

綜上所述，tan∠BCE的值為8－553或33.

分析解題時(shí)，學(xué)生可以發(fā)現(xiàn)當(dāng)題目中并未出現(xiàn)明顯的條件時(shí)，需要轉(zhuǎn)化思維或者分類討論進(jìn)行求解.另外在解題時(shí)，可以根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)利用邊長的比例求解，也可利用特殊角度的三角函數(shù)直接得出答案.

3結(jié)語

矩形類綜合題是學(xué)生在中考數(shù)學(xué)中常見的題型之一，平行四邊形也同樣重要，關(guān)鍵是在解題過程中，它們的內(nèi)部可以通過動點(diǎn)構(gòu)建出不同的圖形，再根據(jù)圖形的性質(zhì)或者相似三角形等轉(zhuǎn)化出現(xiàn)更多的隱含條件，需要學(xué)生進(jìn)行自主判斷，對學(xué)生的數(shù)學(xué)實(shí)踐能力要求較高，也因此成為熱點(diǎn)問題.學(xué)生在面對題目求解時(shí)，要做到眼中有圖心里不慌，對內(nèi)部圖形進(jìn)行詳細(xì)分析，找到所需要的條件，得出答案.