含參二次函數壓軸題的求解策略

【摘要】二次函數是中考重點考查內容，且考查具有一定深度，一般設置成一題多問的壓軸題.此類問題既有“形”的性質，又有“數”的特征，要運用代數的知識進行代數推理，還需結合幾何知識進行邏輯推理，所含知識點豐富，思想方法繁多，考查學生的“四基”掌握情況，與解題能力及應變能力.本文以一道含參的二次函數壓軸題的分析與解答為例，希望有助于提升學生的綜合分析能力與推理的數學核心素養.

【關鍵詞】函數；初中數學；解題策略

1試題呈現

（2024元月調考，黃石）已知二次函數y＝ax2＋bx＋3的圖象與x軸交于點A（m，0），B（3，0），交y軸于點C.

（1）若m＝－1時，

①求二次函數的解析式；

②如圖1，若點H（－2，0），F（－2，－2），點P（－2＜xP＜1）在拋物線上，將△HPF繞點H逆時針旋轉90°至△HQO，當∠HOQ最小時，求點P的橫坐標；

（2）如圖2，經過點B的直線y＝12x＋n與二次函數的圖象交于點P，直線PO交線段BC于點D，若PD＝PB，求a的值.

2求解過程與策略

解（1）①當m＝－1時，

A（－1，0），B（3，0），

代入y＝ax2＋bx＋3，

得a－b+3=09a+3b+3=0，

解得a=－1b=2.

所以二次函數的解析式為y＝－x2＋2x＋3.

啟示要求二次函數解析式，只需將拋物線上的點的坐標代入含參的二次函數，再解方程組即可.

②由旋轉得△OHQ≌△FHP，

所以∠HOQ＝∠HFP.

又點H（－2，0），F（－2，－2），HF為定線段，點P為動點，只需∠HFP的度數最小.

因為－2＜xP＜1，則當直線FP與拋物線有唯一公共點（即直線FP與拋物線相切）時，∠HFP最小；

當點P在切點位置往下運動時，∠HFP度數越來越大；

當點P在切點位置往上運動時，∠HFP度數越來越大.

因為F（－2，－2），

設直線FP的解析式為y＝k（x＋2）－2，

聯立y=k（x+2）－2y=－x2+2x+3，

得x2＋（k－2）x＋2k－5＝0，

所以Δ＝（k－2）2－4（2k－5）＝k2－12k＋24，

又直線FP與拋物線有唯一公共點，

所以Δ＝0，

得k2－12k＋24＝0，

解得k＝6±23.

所以k＝6－23，

此時，x1＝x2＝－k－22＝3－2，

符合－2＜xP＜1；

所以k＝6＋23，

此時，x1＝x2＝－k－22＝－3－2＜－2，

不在－2＜xP＜1范圍內，舍去.

所以點P的橫坐標為3－2.

啟示此問實質是求直線FP的解析式中的參數k.要破解它有三個關鍵節點：（1）根據定點F（-2，-2）建立含參的一次函數；（2）建立直線FP與拋物線相切的模型；（3）將求切點坐標問題轉化為含參的一元二次方程問題.

（2）如圖3，過C作CE∥PD交x軸于點E，設BP交y軸于點G.

把B（3，0）代入y＝12x＋n，

得n＝－32，

所以G（0，－32）.

因為PD＝PB，

所以∠PBD＝∠PDB＝∠BCE，

因為B（3，0），C（0，3），

所以OB＝OC，∠OBC＝∠OCB＝45°，

所以∠OCE＝∠BCE－∠OCB＝∠BCE－45°，

∠OBG＝∠PBD－∠OBC＝∠PBD－45°；

所以∠OCE＝∠OBG，又OB＝OC，∠EOC＝∠GOB＝90°，

所以△COE≌△BOG（ASA），

所以OE＝OG＝32，E（－32，0）

由C（0，3），E（-32，0）得直線CE的解析式為y＝2x＋3，

所以直線PD為y＝2x，

聯立y=2xy=12x－32，

解得x=－1y=－2，

所以P（-1，-2）.

把P（-1，-2），B（3，0）代入，

得y＝ax2＋bx＋3，

得a－b+3=－29a+3b+3=0，

解得a＝-32.

啟示求二次函數解析式的參數，只需求得拋物線上點的坐標；又點B的坐標已知，只需求點P坐標.我們要挖掘圖形的幾何屬性，構造全等三角形求線段OE的長，得點E的坐標，再求直線解析式，再將求點的坐標問題轉化為方程組問題.