二次函數(shù)相關(guān)的動點(diǎn)問題解決

【摘要】初中數(shù)學(xué)二次函數(shù)知識的考查較為靈活，解題方式也十分多樣.本文以二次函數(shù)相關(guān)問題為例講解動點(diǎn)情形下如何使用不同領(lǐng)域的數(shù)學(xué)知識實(shí)現(xiàn)解題，體會在數(shù)形結(jié)合思想下的解題簡潔性.

【關(guān)鍵詞】初中數(shù)學(xué)；二次函數(shù)；動點(diǎn)

二次函數(shù)動點(diǎn)問題中，學(xué)生時常因?yàn)閯狱c(diǎn)位置不確定而無法進(jìn)行下一步的思考與解題，本文將通過二次函數(shù)與圖形的有關(guān)知識帶領(lǐng)學(xué)生觀察在數(shù)形結(jié)合過程中如何抓住動點(diǎn)的關(guān)鍵位置進(jìn)行解題[1].

1面積存在問題

例1在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O是坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線y=－x2+4x經(jīng)過點(diǎn)A（3，3），對稱軸為直線x=2.已知點(diǎn)B，C在拋物線上，點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為t，點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為t+1.過點(diǎn)B作x軸的垂線交直線OA于點(diǎn)D，過點(diǎn)C作x軸的垂線交直線OA于點(diǎn)E.

在拋物線對稱軸右側(cè)，是否存在點(diǎn)B，使得以B，C，D，E為頂點(diǎn)的四邊形的面積為32？若存在，請求出點(diǎn)B的橫坐標(biāo)t的值；若不存在，請說明理由.

分析學(xué)生在解題時可分為兩步，第一步表示出所有點(diǎn)的坐標(biāo)，第二步觀察圖形，利用圖形面積計算公式結(jié)合坐標(biāo)表示出含有未知數(shù)的四邊形面積，最后得到結(jié)果.

由題意可知，點(diǎn)B可能在點(diǎn)D上方或者下方，故分情形討論：

當(dāng)點(diǎn)B位于點(diǎn)D上方時，即2lt;tlt;3，依次畫出點(diǎn)B，D，C，E，如圖1所示.

可以利用兩個三角形的面積，得出整個四邊形的面積，從而反推出點(diǎn)B的位置.

所以S四邊形BDCE=S△BCD+S△BCE，

以BD為底邊可以表示出△BCD的面積為S△BCD=12BD·1，

同理，以CE為底邊，可以表示出△BCE的面積為S△BCE=12CE·1.

BD=yB－yD=－t2+3t，

CE=yC－yE=－（t+1）2+3（t+1）=－t2+t+2，

代入關(guān)系式，S四邊形BDCE=S△BCD+S△BCE=12（BD+CE）=12（－2t2+4t+2）=－t2+2t+1，

由題可知四邊形面積已知，即S四邊形BDCE=－t2+2t+1=32，解得t=52，

當(dāng)點(diǎn)B位于點(diǎn)D下方時，即tgt;3，依次畫出點(diǎn)B，D，C，E位置，如圖2.

由圖象可知四邊形面積為梯形面積，

即S梯形BDCE=12（BD+CE）·1=12（2t2－4t－2）=t2－2t－1，

令S梯形BDCE=32，

解得t=2±142lt;3，不滿足分類討論條件，舍去.

綜上所述，存在滿足題意的點(diǎn)B，t的值為52.

2動點(diǎn)角度問題

例2如圖3，二次函數(shù)y=－x2+4x+5的圖象與x軸交于A（－1，0），B（5，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，頂點(diǎn)為D，O為坐標(biāo)原點(diǎn).P是拋物線上的一點(diǎn)，且在第一象限內(nèi)，若∠ACO=∠PBC，求P點(diǎn)的坐標(biāo).

解根據(jù)題意作圖后，可以發(fā)現(xiàn)點(diǎn)P必定在直線BC上方，由二次函數(shù)解析式可知點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，5），所以O(shè)B=OC，所以∠OCB=∠CBO=45°.

因?yàn)椤螦CO=∠PBC，

所以∠ACO+∠OCB=∠PBC+∠CBO，

即∠ACB=∠PBO.

這是由已知可以推理出來的條件，此時關(guān)于角度相等的條件有兩個，嘗試將它放在不同的三角形中，但是由于題目條件中的兩個角所在三角形中部分角度未知，無法構(gòu)成相似三角形或全等三角形，所以使用推理的角度相等條件再次構(gòu)建三角形，此時可以發(fā)現(xiàn)通過構(gòu)造直角三角形得出兩個角度相等的條件，可以利用相似三角形繼續(xù)解題.

故過點(diǎn)A作AE⊥BC于點(diǎn)E，過點(diǎn)P作PF⊥AB于點(diǎn)F，如圖3.

因?yàn)锳E⊥BC，PF⊥AB，

所以∠AEC=∠PFB，

又因?yàn)椤螦CB=∠PBO，

所以△ACE∽△PBF，所以CEBF=AEPF.

因?yàn)辄c(diǎn)P在二次函數(shù)圖象上，

設(shè)P（t，－t2+4t+5），

所以PF=－t2+4t+5，BF=5－t，

在△ABC中，利用等面積法，

S△ABC=12BC×AE=12AB×OC，

可以求得AE=32.

在△ACE中，AE2+CE2=AC2，

所以CE=22，

所以BFPF=23，

即5－t－t2+4t+5=23，

解得t1=5，t2=12，

由于當(dāng)t取5時，為點(diǎn)B，所以t=12，

即點(diǎn)P的坐標(biāo)為12，274.

3結(jié)語

在二次函數(shù)相關(guān)的動點(diǎn)問題解決過程中，可以發(fā)現(xiàn)數(shù)形結(jié)合思想在其中的應(yīng)用十分廣泛，通過畫出大致圖象，尋找其中蘊(yùn)含的圖形關(guān)系，再通過二次函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)確定圖形中不同點(diǎn)的位置關(guān)系，從而找到滿足題意的動點(diǎn).在整個過程中，雖是以二次函數(shù)作為底色，但圖形的相似、等面積法等相關(guān)解題方式是二次函數(shù)的解題關(guān)鍵，啟發(fā)學(xué)生在解題時一定不能只拘泥于某一領(lǐng)域的數(shù)學(xué)知識，而不進(jìn)行綜合應(yīng)用，這樣是無法得到突破的.

參考文獻(xiàn)：

[1]高學(xué)賢.初中數(shù)學(xué)二次函數(shù)動點(diǎn)問題解題方法探究[J].數(shù)理天地（初中版），2023（17）：8-9.

[2]楊啟榮.一道中考壓軸題的解法探討——抓住不變的量，突破動點(diǎn)問題[J].科技風(fēng)，2024（10）：158-160.

[3]鄭利年，陳國玉.用角的關(guān)系，求動點(diǎn)的坐標(biāo)[J].中學(xué)數(shù)學(xué)研究（華南師范大學(xué)版），2023（14）：33-35.