基于三次NURBS 曲面插值的單點線嚙合齒輪副建模

摘要：【目的】點線嚙合齒輪齒廓方程是復雜的分段函數，運用齒輪齒廓方程建模誤差較大。為了更準確地研究齒輪副嚙合特性和傳動參數，建立了基于三次非均勻有理B 樣條（Non-Uniform RationalB-Spline， NURBS）曲面插值的單點線嚙合齒輪副模型。【方法】根據單點線嚙合齒輪副嚙合原理以及坐標系變換推導了齒面方程，利用齒面方程獲得離散的齒面數據，運用三次NURBS 求解離散數據插值而成的曲面控制點矩陣，利用UG二次開發和曲面的控制點矩陣對齒輪進行齒面重構，建立了齒輪副的有限元分析模型，獲得齒輪副的瞬時接觸線、齒面最大接觸應力以及最大彎曲應力的變化曲線，驗證了三維模型的準確性。【結果】結果表明，單點線嚙合齒輪副主動輪在進入和退出嚙合時都未出現邊緣接觸，且在整個周期內最大接觸應力變化比較平緩，最大彎曲應力出現在從動輪和主動輪的齒根過渡曲面附近。

關鍵詞：單點線嚙合齒輪副；齒面重構；嚙合特性；接觸應力

中圖分類號：TG712 DOI：10. 16578/j. issn. 1004. 2539. 2025. 02. 007

0 引言

點線嚙合齒輪是結合漸開線齒輪及圓弧齒輪特點的一種新型齒輪，具有制造工藝簡便、可分性好、凸齒廓貼合度高等特點，還具備較強的承載能力、低噪聲和平穩傳動等優勢[1]。學者們已利用刀具的范成加工和空間嚙合原理得出了點線嚙合齒輪的齒廓方程。由于單點線嚙合齒輪副齒廓方程是復雜的分段函數，為了減小建模誤差并降低齒輪副接觸應力，必須結合齒面數學模型對嚙合特性進行有限元分析。

近年來，學者們對單點線嚙合齒輪副嚙合特性進行了大量研究。厲海祥等[2]40-43提出了點線嚙合齒輪的基本概念，指出點線嚙合齒輪的主動輪是一個漸開線變位短齒輪；從動輪齒廓包含兩部分，上部為漸開線凸齒廓，下部為過渡曲線凹齒廓。楊帆等[3]對點線嚙合齒輪的三維建模、變位系數進行了研究，并給出了參數選擇封閉圖[4]。黃海等[5-6]對點線嚙合齒輪的齒根彎曲應力計算方法、彎曲疲勞強度、變位系數、螺旋角進行了研究，對從動輪齒根彎曲應力進行了修正。單點線嚙合齒輪副的齒形較為復雜，直接運用其齒廓表達式建模容易造成較大的模型誤差。本文根據空間嚙合原理求出齒輪的齒面方程，將齒面離散化的精確數據點，結合三次非均勻有理B樣條（Non-Uniform Rational B-Spline， NURBS）插值的齒面重構技術，實現點線嚙合齒輪的三維建模；建立了點線嚙合齒輪7齒對的有限元分析模型，分析了外加載荷條件下單點線嚙合齒輪副接觸應力的周期性變化規律，獲得了齒輪副的瞬時接觸線，驗證了其數學模型的準確性。

1 齒面方程

在已有研究基礎上，根據空間展成法推導出單點線嚙合斜齒輪副[7]的齒面方程，圖1所示為點線嚙合齒輪加工刀具的齒廓[2]42-43，點劃線S - S'為刀具中線，Q1、Q2 均為刀具圓弧段的圓心，ρ 為圓弧段半徑，坐標軸Y1 和刀具節線重合，刀具壓力角為αn，刀具節線和中線距離xm = xn Mn。其中，xn 為刀具變位系數；Mn 為刀具法面模數。

圖2為在刀具法平面以及端平面方向建立的坐標系關系示意圖。其中，S1 為法平面坐標系，S2 為端平面坐標系，坐標軸Y1 和Y2 之間的夾角為β（刀具螺旋角）。通過齒輪刀具的齒面方程和刀齒形成的空間嚙合原理，得到齒輪漸開線部分齒面方程，即

由于三次NURBS曲線的首末控制點P1 和Pn + 2 為首末型值點Q1 和Qn，即P0 = Q0，Pn + 2 = Qn[12]。根據插值要求[13]有

式（11）中有n + 1個方程，但方程組中含有n +3個未知數，若要求方程組有唯一解，需要補充2個邊界條件方程。采用切矢邊界條件獲取的兩個附加方程[9]386為

式中，p*0、p*n 分別為型值點首末端點的切矢；p0、p1表示第1、2個控制點；pn + 2、pn + 1 表示倒數第1、2個控制點。p*0 、p*n 可以利用型值點Q0 以及與之相鄰的兩點Q1、Q2， 型值點Qn 以及與之相鄰的Qn - 1、Qn - 2 進行拋物線插值， 即p*0 = Y '1 （0）， p*n = Y '2 （1），Y1、Y2 均為拋物線插值表達式。

將齒面方程離散化的數據點代入到方程組中，可以求得三次NURBS曲面v 方向的控制點。圖4所示為齒面上v 方向的多條擬合曲線。將求得的v 方向的控制點作為新的型值點，可以得到u 方向的擬合曲線和u 方向的控制點，此時得到的控制點即為整個齒面的總控制點。

得到插值曲面的總控制點之后，利用Matlab工具箱進行曲面插值，插值結果如圖5所示。

3 三維建模

進行單點線嚙合齒輪副齒面重構時，需要選取合適的參數進行三維建模。齒輪副的具體參數如表1所示。

將求得的總控制點矩陣以數據點的形式導入UG三維建模軟件中，利用UG二次開發中的grip語言進行曲面插值，齒面插值情況如圖6所示。其中，綠色的點表示Matlab中求出的總控制矩陣數據點，灰色曲面是依據總控制點矩陣插值得到的三次NURBS插值曲面。最終得到的點線嚙合齒輪主動輪及從動輪的三維模型裝配圖如圖7所示。

4 嚙合特性分析

將創建的三維模型導入到Hypermesh 軟件進行網格劃分，基于齒面接觸斑點連續性的網格尺寸要求[15]，在單齒面的過渡曲面部分劃分16層單元，齒高方向劃分32 層單元， 齒寬方向劃分120 層單元[16]33。綜合考慮有限元模型的計算時間以及收斂性和準確性，在本文中選擇點線嚙合齒輪7齒對進行有限元模型的齒輪副靜力學接觸分析。劃分好的單齒對網格模型如圖8（a）所示，7齒對劃分裝配模型如圖8（b）所示。

本文單點線嚙合齒輪副的主、從動輪采用的材料均為45號鋼，材料的彈性模量E=206 GPa，泊松比ν=0. 3，密度ρ=7. 85×10-9 t/mm3。為了保證在齒輪靜力學分析中齒輪副傳動的穩定性，將整個仿真過程分為以下3個分析步[16]34：①對主動輪施加微小轉動，使主、從動輪齒面相互接觸，減小齒輪副之間接觸時的沖擊；②釋放從動輪繞中心軸的旋轉自由度，并且添加一個緩慢增大的負載轉矩，負載轉矩為20 000 N·m；③賦予主動輪初始轉速，使主動輪驅動從動輪轉動。通過齒輪副有限元分析，得到了動態分析模型接觸應力和最大彎曲應力的云圖，如圖9所示。圖9（a）所示為齒輪副的瞬時接觸線，在a點處為點接觸，但在負載作用下點接觸受壓變形成了局部的面接觸，其他位置以線接觸的形式存在，符合點線嚙合齒輪的接觸形式，驗證了三維模型的準確性。圖9（b）和圖9（c）分別為從動輪和主動輪的最大彎曲應力云圖，可以看出，主、從動輪的最大彎曲應力都出現在各自齒面的過渡曲面部分。

記圖9（a）中正在退出嚙合的齒為第一齒，接觸線最長的為第二齒，正在進入嚙合的齒為第三齒，還未進入嚙合的為第四齒。為了能更直觀地顯示點線嚙合齒輪的嚙合特性，提取第三齒從嚙入到嚙出的1個嚙合周期內各個嚙合位置的最大接觸應力，并繪制了與主動輪轉角之間的變化曲線，具體結果如圖10所示。

在1個嚙合周期內，單點線嚙合齒輪副分別經歷了三齒對嚙合、雙齒對嚙合、三齒對嚙合、雙齒對嚙合、三齒對嚙合等5個階段，直至該單齒脫離接觸，其中在點a（a'）第三齒開始進入嚙合，在點f （ f '）第三齒恰好退出嚙合，單齒的嚙合周期結束。選擇合適的載荷綜合系數K，比較齒輪副在單齒對嚙合處齒面最大接觸應力的仿真值與理論值，其仿真值為1 327 MPa，理論值為1 274 MPa，仿真和理論值之間的誤差不超過5%，表明仿真結果準確。此外，在兩種不同負載載荷的作用下，其齒面最大接觸應力曲線的形狀大致相同，并且嚙合周期范圍一致，這是因為不同的外在載荷不會改變齒輪副的嚙合線長度以及變化趨勢。此外，齒輪副齒面最大接觸應力的變化比較平緩，表明齒輪副之間傳動比較平穩。

齒輪副的最大彎曲應力變化曲線如圖11（a）所示：在mn （m'n'）三齒嚙合區，由于第一齒的嚙出以及第三齒的嚙入，造成第一、三齒接觸線長度先變長后變短，導致最大彎曲應力先變小后變大；在np（n'p'）雙齒嚙合區，由于第二齒的嚙出以及第三齒的嚙入，造成整個齒輪副接觸線長度先變短后變長，導致最大彎曲應力先變大后變??；p（ p'）點之后的曲線是之前mp（m'p'）曲線的又一次周期性變化，其最大彎曲應力的變化原理大致相同，直至到達s（s'）點；而在點s（s'）之后則會進入下一個嚙合周期，其曲線的變化趨勢和第一個嚙合周期內的變化趨勢大致相同。圖11（b）所示為圖9中A、B 兩點處最大彎曲應力隨時間變化的曲線，其中，A、B 兩點的位置皆位于上一齒開始退出嚙合但仍未退出嚙合的位置點上。由圖11（b）可以看出，點A 和點B 在整個嚙合周期內只存在1個峰值，且嚙合位置幾乎出現在同一時刻。

5 結論

利用嚙合原理得到了點線嚙合齒輪的齒面方程；并通過離散點云數據，運用三次NURBS曲線對得到的點云數據進行插值，獲得了點線嚙合齒輪的精確模型；建立了7齒有限元動態分析模型齒輪對，研究了點線嚙合齒輪的嚙合特性，得出結論如下：

1） 齒輪副嚙合的同時存在點嚙合以及線嚙合，點嚙合在負載的作用下變成局部的面嚙合，面嚙合的位置出現在從動輪漸開線以及過渡曲面交點處，驗證了創建的三維模型的準確性。

2） 齒輪副相互嚙合時，主、從動輪之間并未產生邊緣干涉，齒輪副之間的最大接觸應力曲線沒有出現應力突變，并且在整個嚙合周期內曲線變化都比較平緩，齒輪傳動較為平穩。

3） 齒輪副的齒根最大彎曲應力的極大值點都出現在開始退出嚙合的單齒逐漸退出嚙合但仍未退出嚙合的齒輪副齒根位置上，且主、從動輪的彎曲應力極大值點幾乎出現在同一時刻。

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