S 型柔性結構的柔度建模與驗證分析

摘要：【目的】現有文獻對柔性鉸鏈的分析大多基于Euler-Bernoulli 梁模型，忽略了剪切撓度的影響。為進行更精確的柔度計算，基于Timshenko 梁模型和旋量變換理論，針對由直梁柔性單元組成的一般柔性機構建立了其柔度分析模型?！痉椒ā恳許 型柔性結構為例進行柔度分析，研究了柔性結構的尺寸參數對柔度的影響；然后，利用有限元分析和實驗測試平臺對樣件的平動柔度進行了測量?！窘Y果】結果表明，解析值、仿真值和實驗測量數據的符合性較好，最大相對誤差為7. 16%。以Timshenko 梁模型和旋量變換理論為設計依據，設計者可根據柔性結構的柔度等要求確定幾何參數。該柔性結構的研究對其他鉸鏈的結構設計提供了新思路。

關鍵詞：柔性機構；Timshenko 梁；旋量變換；柔度矩陣

中圖分類號：TH703 DOI：10. 16578/j. issn. 1004. 2539. 2025. 02. 017

0 引言

與剛性機構不同，柔性機構是指利用材料的彈性變形傳遞或轉換運動、力或能量的機構[1-2]。和傳統剛性機構相比，柔性機構具有可整體設計加工、結構緊湊、免裝配、無需潤滑、零摩擦、運動平穩等優點[3]。隨著機械裝置向著更精密的方向發展，柔性鉸鏈和柔性機構正被越來越多地應用于機器人、精密光學儀器、航空航天器等領域[4-5]。

梁是最基本的柔性單元。以梁為基礎，衍生出的柔性單元包括缺口型柔性單元、簧片型柔性單元、細桿型柔性單元等，這些單元又組合形成各種柔性機構[6-7]。國內外學者對柔性單元和柔性機構作了大量研究工作，并取得了一系列成果。LOBONTIU等[8]建立了圓形、橢圓形、拋物線和雙曲線4種類型柔性鉸鏈的柔度方程。董飛等[9]以Euler-Bernoulli梁模型為基礎，對變厚度柔性鉸鏈進行了深入研究，分析了鉸鏈結構參數和柔鉸轉動性能之間的關系。吳昊等[10]設計了交叉簧片柔性鉸鏈并推導出柔度計算公式。楊淼等[11]基于Euler-Bernoulli梁模型建立變截面交叉簧片柔性鉸鏈的力學模型，分析了截面系數與鉸鏈轉動性能之間的關系。來自血紅細胞的靈感，LING等[12]設計了具有可調節曲率的新型仿生凹口彎曲鉸鏈；基于Castigliano第二定理和Euler-Bernoulli梁模型，推導了仿生柔性鉸鏈的柔度和最大應力方程。王曉迪等[13]針對大口徑透鏡提出了一種新型混合柔性支撐結構，利用卡氏第二定理對各柔性鉸鏈進行分析，建立了支撐組件柔度模型 。劉小涵等[14]根據優化數學模型設計了圓弧懸臂梁式柔性鉸鏈結構，分析了重力工況下和溫度載荷工況下柔性支撐各參數對空間反射鏡面形精度的影響。LIN等[15]提出了一種新型的三角形雙軸柔性鉸鏈，基于Euler-Bernoulli梁模型建立力學模型，分析了鉸鏈尺寸參數和旋轉剛度間的關系。

綜上可知，目前對柔性鉸鏈的分析大多基于Euler-Bernoulli梁模型，該模型忽略剪切撓度影響，建模計算較簡便；但當柔性鉸鏈的長度l 和厚度t 比值較小，即l/tlt;5時，誤差顯著增大。為進行更精確的柔度分析，本文以考慮剪切變形的Timoshenko梁模型為基礎，結合旋量變換理論[16]，建立了一般柔性機構的柔度模型，并以實例分析了柔性結構關鍵尺寸參數對柔度的影響。通過有限元仿真與實物實驗，驗證了該柔度建模方法的準確性。

1 柔度建模理論

柔性結構一般由多個柔性單元串、并聯組成，其柔度由組成單元的柔度和連接關系決定。為求其柔度矩陣，通常需先求柔性單元在各自局部坐標系下的柔度矩陣，再將局部柔度矩陣轉化至全局坐標系下，而后根據單元的連接關系，即可求解出柔性結構的柔度 [17]。

1. 1 柔性單元的柔度

1. 1. 1 局部坐標系下的柔度

2. 2 柔性結構的柔度

為推導柔性結構的柔度CO，需先求S1、S2、S3在各自局部坐標系x1 y1 z1、xS2 yS2 zS2、xS3 yS3 zS3 下的柔度矩陣CSj（1≤j≤3）。而后根據S型柔鉸的連接關系和旋量變換理論，求得CO。柔性結構和S型柔鉸的坐標系選取如圖7所示。

表2所示為S1、S2、S3的局部坐標系相對于全局坐標系xyz 的位置關系。

柔性結構由3 個S 型柔鉸S1、S2、S3 并聯而成，故由式（4）可得其柔度矩陣CO表達式為

式中，Tj、Adj 分別為S 型柔鉸Sj （1≤j≤3）的平移矩陣和坐標變換伴隨矩陣；CSj 為柔鉸Sj在各自坐標系下的柔度矩陣。

3 實例結構的性能分析

為更好地設計出滿足要求的柔性結構，需明確柔性結構尺寸參數和柔度間的關系。實例柔性結構的柔度主要源于S型柔鉸，其形狀由7個尺寸參數控制，即l1、l2、l3、l4、l5、b、t。固定其中6個參數，在一定范圍內改變另一個參數，利用理論模型求出不同參數下柔度的大小，就可以得到某一參數對柔度的影響。

圖8～圖14 展示了柔度CZ-Fz 隨l1、l2、l3、l4、l5、b、t 的變化關系。當一個參數變化時，其他參數保持不變并等于：l1=7 mm、l2=3 mm、l3=7 mm、l4=7 mm、l5=7 mm、b=50 mm、t=3 mm。CZ-Fz隨l1、l2、l3、l4、l5的增大而增大，隨b、t 增大而減小。柔度值CX-Fx、CY-Fy也顯示了類似的變化趨勢。

4 實物驗證與分析

4. 1 有限元分析

為驗證以Timshenko 梁模型和旋量變換理論進行柔度建模的準確性更高，本文進行了有限元仿真驗證。計算與分析均選用LY12材料，材料參數E=68 GPa，μ=0. 33。如表3所示，柔性結構取3組不同尺寸參數。

將表3中各組結構參數分別代入柔度理論模型，可得計算結果。通過有限元軟件進行力學分析，其中，Fx=Fy=Fz=1 N。圖15 所示為第一組尺寸參數的有限元模型。

表4所示為3組不同尺寸參數柔性結構的柔度解析解與有限元分析結果對比。以Timshenko梁模型和旋量變換理論為基礎計算的柔度值與仿真結果相對誤差最大為6. 31%；以 Euler-Bernoulli梁模型為基礎求解的相對誤差最大為14. 45%。由此驗證了以Tim?shenko梁模型和旋量變換理論為基礎進行柔度分析具有更高的準確性。

4. 2 試驗驗證

為了進一步驗證以Timshenko梁模型和旋量變換理論為基礎進行柔度分析的準確性，搭建如圖16所示測試平臺。

具體實施方案：加工l1=7 mm、l2=3 mm、l3=7 mm、l4=7 mm、l5=7 mm、b=50 mm、t=3 mm的柔性結構樣件，所用材料為LY12。在柔性結構中心處施加豎直向下載荷Fz，載荷Fz 從500 N 至5 500 N 逐漸增加，每次增加500 N，測量柔性結構Z 向位移并計算其柔度值CZ-Fz。載荷施加和位移測量均采用萬能材料試驗機，位移值測量精度為1 μm。測試結果如圖17所示。

從試驗結果可知，柔性結構Z 向位移的理論值與實測值最大偏差為7. 16%，是一個可以接受的水平。該結果驗證了柔性結構理論建模和仿真分析的正確性。

5 結論

基于Timshenko梁模型和旋量變換理論，針對由直梁柔性單元組成的一般柔性結構，建立了其柔度分析模型；以S型柔性結構為例，研究了結構的尺寸參數對柔度的影響；而后進行有限元仿真分析，構建測試系統對柔性結構的Z 向平動柔度進行了測試。得到的理論值為4. 309×10-8 N-1·m，仿真值為4. 101×10-8 N-1·m，試驗測試柔度值為4. 567×10-8 N-1·m；理論值和仿真值最大相對誤差為6. 31%，理論值和試驗值最大相對誤差為7. 16%。上述結果說明， 以Timshenko梁模型和旋量變換理論為基礎，能快速、方便、準確地對由直梁單元組成的柔性結構進行分析設計；同時，S型柔性結構也為其他柔鉸的設計形式提供了新的思路。

［1］ 趙磊，鞏巖. 直梁圓角型柔性鉸鏈的回轉精度分析［J］. 中國機械工程，2013，24（6）：715-720.

ZHAO Lei，GONG Yan. Analysis of rotation accuracy of straightbeam round corner flexural hinge［J］. China Mechanical Engineering，2013，24（6）：715-720.

［2］ 李葉文. 空間大尺寸長條反射鏡輕量化及其柔性支撐技術研究［D］. 長春：中國科學院大學（中國科學院長春光學精密機械與物理研究所），2020：1-10.

LI Yewen. Research on lightweight and flexible support technologyof space large-size strip reflector［D］. Changchun：University ofChinese Academy of Sciences （Changchun Institute of Optics，Fine Mechanics and Physics，Chinese Academy of Sciences），2020：1-10.

［3］ WANG R Q，ZHOU X Q，ZHU Z W，et al. Development of a noveltype of hybrid non-symmetric flexure hinges［J］. Review of ScientificInstruments，2015，86（8）：085003.

［4］ 于靖軍，宗光華，畢樹生. 全柔性機構與MEMS［J］. 光學精密工程，2001，9（1）：1-5.

YU Jingjun，ZONG Guanghua，BI Shusheng. Fully compliantmechanisms and MEMS［J］. Optics and Precision Engineering，2001，9（1）：1-5.

［5］ 于靖軍，郝廣波，陳貴敏，等. 柔性機構及其應用研究進展［J］. 機械工程學報，2015，51（13）：53-68.

YU Jingjun，HAO Guangbo，CHEN Guimin，et al. State-of-art ofcompliant mechanisms and their applications［J］. Journal of MechanicalEngineering，2015，51（13）：53-68.

［6］ GON?ALVES L A，THESKA R，LEPIKSON H A，et al. Theoreticaland experimental investigation of performance characteristicsand design aspects of cross-spring Pivots［J］. International Journalof Solids and Structures，2020，185/186：240-256.

［7］ HOWELL L L，MAGLEBY S P，OLSEN B M. Handbook of compliantmechanisms［M］. WILEY，2013：17-35.

［8］ LOBONTIU N，PAINE J S N，GARCIA E，et al. Design of symmetricconic-section flexure hinges based on closed-form complianceequations［J］. Mechanism and Machine Theory，2002，37（5）：477-498.

［9］ 董飛，許勇，王艷，等. 新型變厚度柔性鉸鏈的設計與研究［J］. 機械科學與技術，2022，41（8）：1163-1168.

DONG Fei，XU Yong，WANG Yan，et al. Design and research onvariable thickness flexure hinge［J］. Mechanical Science and Technologyfor Aerospace Engineering，2022，41（8）：1163-1168.

［10］ 吳昊，李宗軒，張德福，等. 交叉簧片柔性鉸鏈設計［J］. 中國機械工程，2022，33（10）：1203-1209.

WU Hao，LI Zongxuan，ZHANG Defu，et al. Design of crossspringflexure hinges［J］. China Mechanical Engineering，2022，33（10）：1203-1209.

［11］ 楊淼，杜志江，陳依，等. 變截面交叉簧片柔性鉸鏈的力學建模與變形特性分析［J］. 機械工程學報，2018，54（13）：73-78.

YANG Miao，DU Zhijiang，CHEN Yi，et al. Static modelling andanalysis of cross-spring flexure Pivots with variable cross-section［J］. Journal of Mechanical Engineering，2018，54（13）：73-78.

［12］ LING M，YUAN L，ZHANG X. Bionic design of a curvature-adjustableflexure hinge inspired by red blood cells［J］. Precision Engineering，2023，81：124-134.

［13］ 王曉迪，曹玉巖，王富國，等. 大口徑透鏡混合柔性支撐結構優化設計［J］. 紅外與激光工程，2022，51（6）：280-290.

WANG Xiaodi，CAO Yuyan，WANG Fuguo，et al. Optimization designof hybrid flexible support structure for large aperture lenses［J］. Infrared and Laser Engineering，2022，51（6）：280-290.

［14］ 劉小涵，李雙成，李美萱，等. 離軸三反光學系統主三反射鏡支撐結構設計［J］. 紅外與激光工程，2021，50（8）：3788/IRLA20210025.

LIU Xiaohan，LI Shuangcheng，LI Meixuan，et al. Supportingstructure design for primary and tertiary mirror of off-axis TMAsystem［J］. Infrared and Laser Engineering，2021，50（8）：3788/IRLA20210025.

［15］ LIN J W，ZHAO Y，WU Q W，et al. Design and analysis of a triangularbi-axial flexure hinge［J］. Proceedings of the Institution ofMechanical Engineers Part C-Journal of Mechanical EngineeringScience，2023：1-4.

［16］ 李守忠，于靖軍，宗光華. 基于旋量理論的并聯柔性機構構型綜合與主自由度分析［J］. 機械工程學報，2010，46（13）：54-60.

LI Shouzhong，YU Jingjun，ZONG Guanghua. Type synthesis andprincipal freedom analysis of parallel flexure mechanisms based onscrew theory［J］. Journal of Mechanical Engineering，2010，46（13）：54-60.

［17］ 于靖軍. 柔性設計：柔性機構的分析與綜合［M］. 北京：高等教育出版社，2018：52-79.

YU Jingjun. Flexible design：analysis and synthesis of flexiblemechanisms［M］. Beijing：Higher Education Press，2018：52-79.

［18］ WANG S，HU J，LI C，et al. Design of flexure hinges in an H-driveprecision stage with a large span［C］//International Symposium onPrecision Engineering Measurements and Instrumentation （ISPEMI），2019：2511968.

基金項目：中國科學院青年創新促進會2021 會員項目（2021218）；中國科學院天基動態快速光學成像技術重點實驗室基金項目（CXJJ-22S040）