借空間動態(tài)問題 培養(yǎng)直觀想象能力

近期，以“關(guān)注學(xué)教評，迎接新挑戰(zhàn)”為主題的教學(xué)研討活動在某兄弟學(xué)校舉辦，筆者受邀面向該校高三學(xué)生開設(shè)了一節(jié)微專題課.考慮到一輪復(fù)習(xí)接近尾聲，學(xué)生已經(jīng)掌握了立體幾何的基本知識，于是就以“立體幾何中的動態(tài)問題”為課題，編制學(xué)案并提前發(fā)給學(xué)生預(yù)習(xí).下面將這節(jié)課的教學(xué)過程整理如下，并結(jié)合課例談?wù)勚庇^想象能力的培養(yǎng)問題.

1 教學(xué)分析

本節(jié)課研究立體幾何中的動態(tài)問題，包括動點(diǎn)形成的軌跡、運(yùn)動過程中的位置關(guān)系和最值等.

教學(xué)目標(biāo)如下：

（1）熟悉立體幾何中的動態(tài)問題，會求長度、面積、體積等的最值，培養(yǎng)直觀想象與數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng).

（2）熟練運(yùn)用函數(shù)思想、軌跡思想，培養(yǎng)應(yīng)用數(shù)學(xué)知識解決動態(tài)問題的能力.

（3）熟悉多媒體技術(shù)的輔助作用，形成數(shù)學(xué)直觀，培養(yǎng)認(rèn)識客觀事物本質(zhì)的能力.

教學(xué)重點(diǎn)：分析動態(tài)圖形的形成原因以及運(yùn)動規(guī)律，會求相應(yīng)度量的最值.

教學(xué)難點(diǎn)：發(fā)揮空間想象能力，探求并證明動點(diǎn)的軌跡.

2 教學(xué)過程

2.1 先溫故，再入新

上課前，筆者已布置學(xué)生完成如下兩道小題：

（1）如圖1所示，正三棱錐S-ABC的底面邊長為2，E，F(xiàn)，G，H分別是SA，SB，CB，CA的中點(diǎn)，則四邊形EFGH的面積的取值范圍是（" ）.

A.（0，＋∞）

B.33，＋∞

C.36，＋∞

D.12，＋∞

（2）（多選題）如圖2所示，在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中，P為棱CC1上的動點(diǎn)（點(diǎn)P不與點(diǎn)C，C1重合），過點(diǎn)P作平面α分別與棱BC，CD交于M，N兩點(diǎn)，若CP＝CM＝CN，則下列說法正確的是（" ）.

A.A1C⊥平面α

B.存在點(diǎn)P，使得A1C∥平面α

C.存在點(diǎn)P，使得點(diǎn)A1到平面α的距離為53

D.用過點(diǎn)P，M，D1的平面去截正方體，得到的截面一定是梯形

上課后，筆者請學(xué)生口述解題思路及結(jié)果.

生1：第（1）題，根據(jù)正三棱錐對棱垂直可得SC⊥AB，結(jié)合三角形的中位線，可推出四邊形EFGH是矩形，所以其面積為EF·FG=12SC.當(dāng)正三棱錐的高趨近于0，即點(diǎn)S趨近于△ABC的中心時，SC趨近于233，所以四邊形EFGH面積的最小值趨近于33.故選：B.

生2：第（2）題，對于選項A，根據(jù)條件可以證明平面BDC1∥平面α，而正方體中A1C⊥平面BDC1，所以A1C⊥平面α，因此選項A正確.對于選項B，A1C與平面α相交，因此選項B錯誤.對于選項C，當(dāng)點(diǎn)P趨近于點(diǎn)C時，點(diǎn)A1到平面α的距離趨近于3，當(dāng)點(diǎn)P趨近于點(diǎn)C1時，點(diǎn)A1到平面α的距離趨近于233，所以點(diǎn)A1到平面α的距離的范圍是233，3，因此選項C正確.對于選項D，

經(jīng)過點(diǎn)P，M，D1的完整截面是梯形PMAD1（如圖3），因此選項D正確.故選：ACD.

點(diǎn)評：這兩道小題屬于“開胃小菜”，是立體幾何中比較簡單的動態(tài)問題，涉及到圖形的面積、形狀.第（1）題常規(guī)解法是引入變量，將四邊形面積表示為函數(shù)形式，但這種解法顯然不適用于小題，所以用極限思想可以多想少算，從而解決問題.第（2）題抓住平面α始終與平面BDC1平行，就可以迅速判斷前三個選項的正誤，選項D考查學(xué)生作出幾何體完整截面的能力.

設(shè)置這兩道題目旨在復(fù)習(xí)空間中平行與垂直關(guān)系的判斷，以及相關(guān)面積與距離的計算，培養(yǎng)學(xué)生用運(yùn)動的視角處理動態(tài)問題，激發(fā)學(xué)生靈活思考問題的能力，為新課做好鋪墊.

2.2 剖析新題，揭示動態(tài)本質(zhì)

（1）動點(diǎn)保持定長條件下的最值問題

例1" 如圖4所示，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，BA⊥BC，AB=AA1=4，BC=43，若動點(diǎn)P在側(cè)面AA1C1C內(nèi)運(yùn)動，且PB1=13，則線段BP長的最小值為.

生3：首先，需要探索點(diǎn)P在平面AA1C1C內(nèi)的軌跡.因為線段PB1的長度是定值13，所以點(diǎn)P在空間內(nèi)的軌跡是以B1為球心，13為半徑的球.而點(diǎn)P又在側(cè)面AA1C1C內(nèi)，所以點(diǎn)P在側(cè)面AA1C1C的軌跡就是球面與該側(cè)面的交線（即一段圓?。?

如圖5，過點(diǎn)B1作B1F⊥A1C1，利用等面積法可以推得B1F=A1B1·B1C1A1C1=23.在直三棱柱ABC-A1B1C1中，由于A1A⊥平面A1B1C1且B1F平面A1B1C1，則A1A⊥B1F.由此可證得B1F⊥平面AA1C1C，所以B1F⊥PF.所以截面圓半徑r=PF=PB21－B1F2=（13）2－（23）2=1.

得到點(diǎn)P的軌跡后，接下來構(gòu)造直角三角形計算線段BP的長度.作BE⊥AC于點(diǎn)E，同理可證BE⊥平面AA1C1C，則BE⊥EP，故BP=BE2+EP2=12+EP2.又EF∥AA1，所以線段EP的最小值為4－r=3，故BPmin=12+EP2min=12+9=21.

點(diǎn)評：此題難點(diǎn)在于根據(jù)定長PB1=13探索點(diǎn)P在側(cè)面AA1C1C內(nèi)的軌跡.生3把點(diǎn)P的軌跡看成球面與側(cè)面AA1C1C的交線，體現(xiàn)了他能夠深刻理解動點(diǎn)的運(yùn)動規(guī)律，具有良好的空間想象能力.

（2）動點(diǎn)保持平行或垂直條件下的最值問題

例2" （1）如圖6，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB＝3，AD＝AA1＝4，E，F(xiàn)，G分別是棱AB，BC，CC1的中點(diǎn)，P是底面ABCD內(nèi)一動點(diǎn)，若直線D1P與平面EFG平行，則△BB1P的面積最小值是.

（2）如圖7，已知正四面體ABCD的棱長為2，E是棱CD上一動點(diǎn)，若BF⊥AE于點(diǎn)F，則線段CF長度的最小值為.

生4：對于第（1）題，首先我們要畫出平面EFG與長方體的完整截面，即平面EFGHQR1（如圖8）.因為D1A∥QR1，D1C∥HG，所以可以證明平面ACD1∥平面EFGHQR1，所以P∈AC.由BB1⊥平面ABCD可得BB1⊥BP，所以S△BB1P=12BB1·BP=2BP.在平面ABCD內(nèi)作BR⊥AC于點(diǎn)R，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)R重合時，BP最短為125，則△BB1P的面積最小值為245.

生5：對于第（2）題，首先根據(jù)BF⊥AF可知，點(diǎn)F在以AB為直徑的球面上，球心是線段AB的中點(diǎn)O，又因為點(diǎn)F也在平面ACD內(nèi)，所以球O與△ACD的交線（應(yīng)該是一段圓?。┚褪莿狱c(diǎn)F的軌跡.但是接下來就沒有思路了.

掃碼看動畫

師：我們一起看動畫課件（掃碼看動畫），然后再想一想，當(dāng)平面截球時，怎么找截面圓的圓心呢？

生5：過點(diǎn)O作OQ⊥平面ACD于點(diǎn)Q，那么Q就是上述圓弧對應(yīng)的圓心（如圖9所示）.取線段CD的中點(diǎn)M，根據(jù)正四面體的性質(zhì)可知，點(diǎn)Q在線段AM上.

因為正四面體的棱長為2，所以它的高h(yuǎn)=263，從而OQ=12h=63.所以圓Q的半徑r=1－OQ2=33.而CQ=1+MQ2=213，所以CF≥CQ－r=21－33.因此線段CF長度的最小值為21－33.

點(diǎn)評：這兩小題是在動點(diǎn)滿足平行或垂直的條件下研究相應(yīng)的動點(diǎn)軌跡.生4抓住D1P∥平面EFG，想到過點(diǎn)D1作一個輔助平面D1AC與平面EFG平行，那么平面D1AC與平面ABCD的交線就是點(diǎn)P的軌跡.生5的分析過程，體現(xiàn)了垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化，把點(diǎn)F的軌跡看成是球面與平面的交線.由此可見，這兩位學(xué)生抓住了空間動態(tài)問題的本質(zhì)，學(xué)會了如何運(yùn)用空間想象和邏輯推理來探索數(shù)學(xué)，解決數(shù)學(xué)問題.

（3）圖形翻折過程中的最值問題

例3" 如圖10，矩形ABCD中，AB＝3，AD＝1，AF⊥平面ABC，且AF＝3.E為線段DC上一點(diǎn)，沿直線AE將△DAE翻折成△D′AE，M為BD′的中點(diǎn)，則三棱錐M-BCF體積的最小值是.

生6：本題的目標(biāo)是求解三棱錐M-BCF體積的最小值.為達(dá)到這一目標(biāo)，我們需要弄清如何翻折矩形ABCD才能使三棱錐M-BCF的體積最小.由于M為BD′的中點(diǎn)，所以當(dāng)點(diǎn)M到平面BCF的距離最小時，三棱錐M-BCF的體積也將是最小的.也就是說，

我們需要找到使點(diǎn)D′到平面BCF的距離最小的翻折方式.在△D′AE翻折的過程中，點(diǎn)D′在以點(diǎn)A為球心，半徑為1的球面上運(yùn)動.如圖11所示，過點(diǎn)A作AH⊥BF，則AH⊥平面BCF.在Rt△ABF中，AH＝32，所以點(diǎn)D′到平面BCF的距離的最小值為AH－AD′＝12，此時點(diǎn)M到平面BCF的距離為14.最終，我們可以通過體積公式計算出三棱錐M-BCF體積的最小值，所以三棱錐M-BCF的體積的最小值為13×14×3＝312.

點(diǎn)評：平面圖形的翻折問題是典型的動態(tài)問題，本題引導(dǎo)學(xué)生掌握解決圖形翻折過程中的最值問題的方法，強(qiáng)調(diào)動態(tài)問題中的幾何變換與最值關(guān)系.學(xué)生不僅能夠求出三棱錐M-BCF體積的最小值，還能夠深入理解翻折問題中幾何體體積變化的動態(tài)過程.

2.3 總結(jié)方法，掌握解題策略

師生一起歸納解決立體幾何動態(tài)問題的要點(diǎn)：

第一，準(zhǔn)確識圖，根據(jù)圖形把握空間幾何元素的位置關(guān)系并想象它們的動態(tài)過程；

第二，在動態(tài)過程中尋找動點(diǎn)軌跡、函數(shù)關(guān)系式、不變因素以及極限位置等，找到關(guān)鍵幾何元素的運(yùn)動規(guī)律；

第三，要善于運(yùn)用降維思想把空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題，從而提高思維的精準(zhǔn)度.

3 教有所得

首先，培養(yǎng)學(xué)生的直觀想象素養(yǎng)需要借助多種有效載體.就立體幾何來說，可以用實物模型，也可以借助GGB軟件演示三維模型，直觀地反映立體幾何中切、接、截等問題（如例2的第二小題），幫助學(xué)生認(rèn)識空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征以及空間點(diǎn)線面的位置關(guān)系.這些載體能夠幫助學(xué)生直觀地感知數(shù)學(xué)概念的形成過程，也有助于提升學(xué)生數(shù)學(xué)抽象思維水平.其次，本節(jié)課以動態(tài)問題為背景，例題和習(xí)題體現(xiàn)了典型性，學(xué)生在探究和解決的過程中分析引起圖形動態(tài)變化的因素，體悟到數(shù)學(xué)思想方法的作用.因此，空間動態(tài)問題有利于展現(xiàn)學(xué)生的思維過程，實現(xiàn)強(qiáng)化直觀想象能力的教學(xué)目標(biāo).最后，在解決空間動態(tài)問題時，學(xué)生既要能想象出幾何體中元素的位置關(guān)系，更要能說出動態(tài)過程中動點(diǎn)的運(yùn)動規(guī)律，即學(xué)生的語言描述能力更能體現(xiàn)他們真實的數(shù)學(xué)思維水平.在教學(xué)過程中，筆者都是盡可能地讓學(xué)生說思路和解法，必要時讓學(xué)生走上講臺，一邊作圖一邊講述解題過程，這樣能讓學(xué)生的思維自然地流淌.因此，教學(xué)要及時捕捉學(xué)生的思維火花，實現(xiàn)學(xué)生直觀想象能力的再成長.