小包裝大問題

[摘" 要] 為了讓學生學會解決包裝中的數(shù)學問題，研究者開展了一堂綜合實踐課“包裝中的數(shù)學”：通過談話導入，讓學生初步感知重合的面越多越節(jié)約包裝紙;通過合作探究，讓學生感知組合圖形越接近正方體越節(jié)約包裝紙;通過應用拓展，讓學生感知包裝在數(shù)學與生活中的聯(lián)系和區(qū)別。

[關鍵詞] 包裝問題;綜合與實踐;小學數(shù)學

包裝問題是學生在生活中經(jīng)常遇到的問題。學生在學習了“長方體和正方體”后知道了長方體和正方體的特征，會正確計算長方體和正方體的表面積。在此基礎上，筆者增加了一節(jié)綜合實踐課“包裝中的數(shù)學”，引導學生探索多個長方體疊放后使其表面積最小的最優(yōu)策略，體驗策略的多樣性，以此發(fā)展學生的數(shù)學思維。

一、教學內(nèi)容

綜合實踐課“包裝中的數(shù)學”。

二、教學目標

1.讓學生結(jié)合具體的物品想出不同的包裝方案，能分別計算不同包裝的表面積，并選出最節(jié)約的包裝方案。

2.讓學生在活動中體驗解決問題的基本方法和過程，能用不同的方法解決簡單的實際問題。

3.讓學生在解決包裝問題中體會策略的多樣性和優(yōu)化思想，培養(yǎng)節(jié)約的意識，感知數(shù)學與生活的聯(lián)系。

三、教學過程

1. 談話導入，揭示課題

師：同學們，你們在哪里見到過包裝？

生1：給別人送禮物的時候，禮物的外面會有包裝盒，比如春節(jié)禮物外面的包裝盒。

師：包裝盒在我們生活中無處不在，也正因為有了禮物的包裝，才使我們的生活變得更加豐福多彩。看，老師帶來了幾盒茶葉，請給這幾盒茶葉包裝一下。此時我想知道究竟要用多少包裝紙，從數(shù)學的角度看實際上是求長方體的表面積。請大家回憶一下：長方體的表面積怎么計算？

生2：把長方體的六個面加起來。

師：現(xiàn)在我要送2盒茶葉，把這2盒茶葉先拼成一個長方體，再進行包裝。可以怎樣拼呢？

生3：我覺得有三種不同的拼法，第一種是我們可以把最小的兩個面合在一起;第二種是我們可以把兩個中面合在一起;第三種是我們可以把最大的兩個面合在一起。

師：把兩個小面、兩個中面和兩個大面合在一起后，所拼得新長方體的重合面是怎樣的？分別重合了什么？

生4：第一個重合了兩個小面，第二個重合了兩個中面，第三個重合了兩個大面。

師：你們能不能快速找到哪一種包裝方式最節(jié)約紙，哪一種包裝方式最浪費紙，為什么？

生5：第三種最節(jié)約紙，因為他把兩個最大的面重合了起來。第一種最浪費紙，因為它重合的是最小的兩個面。

師：換句話說重合兩個小面，露在外面的表面積最大;重合兩個大面，露在外面的表面積最小。這節(jié)課我們就一起來研究包裝中的數(shù)學問題。

設計意圖：教師開門見山地引導學生從生活角度思考“你在哪里見到過包裝”，不僅讓學生感受到數(shù)學學習就在自己身邊，還讓學生感受到數(shù)學知識可以用來解決生活實際問題，充分調(diào)動了學生的學習主動性。在師生談話中，教師自然地提出“如果要包裝2盒茶葉，怎樣包裝最節(jié)約紙”這個問題，讓學生將生活問題轉(zhuǎn)變成數(shù)學問題“求組合圖形的表面積”。教師引導學生一起分析2盒茶葉包裝會有三種不同的拼法，從每一種拼法重合幾個面的角度比較三種不同拼法后物體的表面積，讓學生初步感知重合的面越大越節(jié)約包裝紙。同時，教師為了方便學生表達和交流，與學生約定“最大的面叫作大面，最小的面叫作小面，中間的面叫作中面”。

2. 合作探究，發(fā)現(xiàn)規(guī)律

（1）利用結(jié)論研究3盒茶葉的最優(yōu)包裝方案

師：如果你要把3盒這樣的茶葉先拼成一個長方體，然后進行包裝，可以怎樣拼呢？請用學具先擺一擺，再把你們認為最節(jié)約包裝紙的拼法記錄在學習單中。

生6：可以把三個大面拼在一起，重合了三個大面。

生7：（借助學具操作）不對，把四個大面拼在一起，是重合了四個大面;把四個中面拼在一起，是重合了四個中面;把四個小面拼在一起，是重合了四個小面。

師：請你們仔細想一想哪一種包裝最節(jié)約紙，為什么？

生8：重合大面的包裝最節(jié)約紙。因為重合的面積越大，拼出的長方體的表面積就越小。

設計意圖：在這個環(huán)節(jié)中，學生應用了上一個環(huán)節(jié)中的結(jié)論“重合的面越大包裝最節(jié)約紙”。當學生在計算組合圖形有多少個重合面出現(xiàn)錯誤時，教師引導學生借助學具來觀察和數(shù)數(shù)，直觀地數(shù)出有多少個重合面。

（2）利用比較研究4盒茶葉的最優(yōu)包裝方案

師：你們覺得怎樣包裝4盒茶葉，使得它的表面積最小、包裝最節(jié)約紙呢？把你們的想法說出來，到底哪一種更節(jié)約包裝紙呢？請把你們認為最節(jié)約紙的拼法記錄在學習單里，四人小組合作交流探討。

生9：我們小組認為六個大面重合的那種包裝方法最節(jié)約紙，因為六個大面的面積比四個大面和四個中面的面積大。

生10：我們小組以前也認為六個大面重合的那種包裝最節(jié)約紙，但是現(xiàn)在我們改變想法了，認為二乘二的包裝最節(jié)約紙。豎著放重合了六個大面，二乘二的包裝則重合了四個大面和四個中面，這時我們只要比較兩個大面和四個中面誰大就可以了，其實是比較一個大面和兩個中面的大小。我們用了設數(shù)的方法，把大面看作3，中面看作2，小面看作1。

師：你們用設數(shù)的方法，確實是一種好方法，但是大面、中面和小面不一定是這樣的關系。在沒有數(shù)據(jù)的情況下，我們還可以怎么比較一個大面和兩個中面的大小？

生11：我們還可以借助具體的實物比較，將兩個中面放在一個大面上，以此觀察誰更大。

師：我們在生活中碰到包裝這樣的四個長方體時，到底該用哪種包裝方法呢？

生12：兩個中面加起來比一個大面大，就用二乘二的包裝方法;兩個中面加起來比一個大面小，就用大面重合的包裝方法。

師：你們能從生活中找出兩個中面比一個大面小的例子嗎？

生13：包裝餅干、面膜、書。

設計意圖：在這個環(huán)節(jié)中，教師注重培養(yǎng)學生的直覺思維，讓學生在基于結(jié)論“重合的面越大包裝最節(jié)約紙”的認知基礎上，先猜一猜怎樣包裝4盒茶葉最節(jié)約紙，再讓學生借助學具驗證自己的想法。這時，有的學生保持原來的猜想，有的學生改變原來的猜想，他們發(fā)現(xiàn)有“豎著放”和“二乘二”這兩種情況。此時，學生在比較這兩種情況時將“六個大面”轉(zhuǎn)化為“四個大面和兩個大面”，與“四個大面和四個中面”進行比較，從而將比較的內(nèi)容聚焦為比較一個大面和兩個中面誰大誰小，并通過設數(shù)比較和實物比較得出結(jié)論。

（3）利用計算研究4盒茶葉的最優(yōu)包裝方案

師：用眼睛看得出的數(shù)學結(jié)論并不能讓人信服，我們需要運用數(shù)據(jù)來驗證。現(xiàn)有學具長方體的長是10厘米，寬是6厘米，高是4厘米，請大家動手算一算組合圖形的三條邊和表面積，并填寫表1。

學生邊匯報邊出示組合圖形的各種數(shù)據(jù)（如表2）。

師：同學們，仔細觀察組合圖形和各種數(shù)據(jù)，你有什么發(fā)現(xiàn)？

生14：當組合圖形拼擺越接近正方體時，它的表面積就越小。

師：組合圖形越接近正方體，實際上與圖形的長寬高就越有關。我們來算一算組合圖形長寬高這三條棱長兩兩之差的和分別是多少？

生15：第一組34+2+36=72，第2組14+20+6=40，第3組8+8+16=32，第4組14+2+12=28，第5組4+10+6=20，第6組2+4+2=8。

師：組合圖形長寬高兩兩之差的和越小，它越接近正方體，表面積也越小。

設計意圖：在這個環(huán)節(jié)中，教師讓學生通過具體的數(shù)據(jù)計算再次驗證4盒茶葉的最優(yōu)包裝方案。在計算過程中，學生不僅復習了長方體的表面積，還通過數(shù)據(jù)比較發(fā)現(xiàn)“當組合圖形拼擺越接近正方體，它的表面積就越小”的結(jié)論。為了更具體地讓學生通過數(shù)據(jù)看到組合圖形越來越接近正方體，教師組織學生計算長寬高這三條棱長兩兩之差的和。學生在計算中更加清晰地看到組合圖形越接近正方體，它的表面積就越小，包裝就最節(jié)約紙。

3. 應用拓展，提升能力

師：如果要包裝6盒茶葉，你們覺得怎樣包裝最節(jié)約紙？

生16：橫著放3盒，往上疊2層。

生17：不對，應該是橫著放2盒，往上疊3層。生16的方法重合了6個大面和8個中面，我的方法重合了8個大面和6個中面，重合大面越多就越節(jié)約包裝紙。

師：如果要包裝8盒茶葉，怎樣包裝最節(jié)約紙呢？

生18：橫著放2盒，往上疊4層，這樣重合了12個大面和8個中面。

師：如果要包裝9盒茶葉，怎樣包裝最節(jié)約紙呢？

生19：橫著放3盒，往上疊3層，重合了12個大面和12個中面。

師：如圖1，重合大面和中面越多，組合圖形越接近正方體。現(xiàn)在老師這里有零散的10包紙巾，怎樣包裝最節(jié)約？（學生動手擺圖形）看，這是我從超市里買來的10包紙巾的包裝，這種包裝的大面都露在外面肯定不是最節(jié)約紙的，誰來猜測下商家的想法？

設計意圖：為了幫助學生鞏固和應用前面得到的結(jié)論，教師設計了挑戰(zhàn)性任務：（1）如果要包裝6盒茶葉，怎樣包裝最節(jié)約紙？（2）如果要包裝8盒茶葉，怎樣包裝最節(jié)約紙？（3）如果要包裝9盒茶葉，怎樣包裝最節(jié)約紙？（4）如果要包裝10包紙巾，怎樣包裝最節(jié)約紙？挑戰(zhàn)性任務不僅有利于學有余力的學生不斷超越自我，提升數(shù)學思維;也有利于其他學生在比較重合大面和中面的過程中，對上一環(huán)節(jié)中“組合圖形越接近正方體包裝最節(jié)約紙”這個結(jié)論有更深刻的理解。在教學最后，教師借助包裝10包零散的紙巾，將數(shù)學中的包裝與生活中的包裝進行聯(lián)系，引導學生猜測商家對包裝紙巾的想法。

總之，數(shù)學從生活中來，要回到生活中去。“包裝中的數(shù)學”涉及長方體的表面積計算、包裝方案的比較和優(yōu)化、重合面積的大小比較等知識，學生在學習中經(jīng)歷了討論解決包裝問題的思路、包裝有哪些方案、利用結(jié)論或計算知道哪種方案最節(jié)約包裝紙等過程，探討了如何包裝2盒茶葉、3盒茶葉、4盒茶葉、6盒茶葉、8盒茶葉、9盒茶葉、10包紙巾最節(jié)約包裝紙的問題，對“重合大面和中面”與“越接近正方體”的認識有了拓展和深化。同時，教師結(jié)合數(shù)學和生活中的具體包裝方案，為學生的綜合學習留下了思考的空間。

作者簡介：華悅（1995—），本科學歷，小學一級教師，從事小學數(shù)學教學與研究工作。