核心素養(yǎng)引領(lǐng)下的“函數(shù)單調(diào)性”教學(xué)設(shè)計(jì)

摘"要：隨著我國(guó)教育領(lǐng)域的深入改革與不斷演進(jìn)，學(xué)校對(duì)于學(xué)生綜合能力的全面發(fā)展給予了前所未有的重視。在這一背景下，核心素養(yǎng)的培育成為課堂教學(xué)的重要導(dǎo)向。特別是在數(shù)學(xué)學(xué)科中，基于核心素養(yǎng)的教學(xué)設(shè)計(jì)不僅能夠轉(zhuǎn)變教學(xué)理念，更能優(yōu)化教學(xué)模式，從而更有效地提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。以高中數(shù)學(xué)人教A版必修一第三章第二節(jié)《函數(shù)的單調(diào)性》為例，我們可以從教學(xué)目標(biāo)、教學(xué)流程、教學(xué)檢測(cè)等方面深入探索如何將單調(diào)性等數(shù)學(xué)知識(shí)內(nèi)化為學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的過(guò)程與方法。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)；單調(diào)性；教學(xué)設(shè)計(jì)

數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)包括數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)據(jù)分析六個(gè)方面。［1］一線教師長(zhǎng)久以來(lái)秉持的教學(xué)理念，即詳盡講解知識(shí)點(diǎn)、課后精心操練以及要求學(xué)生認(rèn)真聽(tīng)講，這確實(shí)在一定程度上提升了教學(xué)質(zhì)量。然而，隨著課堂教學(xué)改革的深化與教育理念的更新，這種傳統(tǒng)的教學(xué)思維與方式逐漸暴露出局限性，無(wú)法滿足當(dāng)前時(shí)代對(duì)學(xué)校教育的多元要求，尤其是對(duì)于發(fā)展學(xué)生的核心素養(yǎng)這一目標(biāo)而言。核心素養(yǎng)的培育不單純是對(duì)知識(shí)的傳遞和技能的訓(xùn)練，更多的是對(duì)于能力的培養(yǎng)與情感的激發(fā)，它要求學(xué)生在掌握基礎(chǔ)知識(shí)的同時(shí)，能夠形成獨(dú)立思考、創(chuàng)新實(shí)踐、團(tuán)隊(duì)協(xié)作等多方面的能力。因此，以核心素養(yǎng)為導(dǎo)向進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)，成為課堂教學(xué)改革的重要方向。這種教學(xué)設(shè)計(jì)有助于推動(dòng)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)在教學(xué)理念、教學(xué)模式等方面的深刻轉(zhuǎn)變，使教學(xué)更加符合學(xué)生發(fā)展的需要，更加貼近實(shí)際生活的需求。

一、核心素養(yǎng)下的教學(xué)目標(biāo)設(shè)計(jì)

課程標(biāo)準(zhǔn)提出：函數(shù)是貫穿高中數(shù)學(xué)課程的主線，在解決實(shí)際問(wèn)題中發(fā)揮重要作用，要重點(diǎn)提升數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象和邏輯推理等核心素養(yǎng)本設(shè)計(jì)，將遵循以學(xué)生為中心的理念體現(xiàn)在如下幾個(gè)方面：

（1）情景教學(xué)：從生活中某城市的GDP走勢(shì)圖出發(fā)，增強(qiáng)學(xué)生的情景體驗(yàn)感，回顧高中所學(xué)知識(shí)，幫助學(xué)生在新知和舊知之間搭建橋梁，形成系統(tǒng)的知識(shí)觀，提高學(xué)生應(yīng)用意識(shí)。

（2）探究教學(xué)：以學(xué)生為中心，通過(guò)思維過(guò)程的優(yōu)化、探究問(wèn)題的巧妙設(shè)置多樣化教學(xué)方式的應(yīng)用以及注重概念的多角度理解，提高學(xué)生的探究能力和創(chuàng)新思維，促進(jìn)學(xué)生深度學(xué)習(xí)。

（3）單元整體教學(xué)：從知識(shí)的整體性和系統(tǒng)性出發(fā)，通過(guò)用符號(hào)語(yǔ)言來(lái)刻畫(huà)初中對(duì)“遞增”和“遞減”的描述，幫助學(xué)生體會(huì)利用數(shù)形結(jié)合、歸納類比等思想方法來(lái)整體銜接和統(tǒng)領(lǐng)奇偶性、周期性等函數(shù)性質(zhì)的學(xué)習(xí)，為未來(lái)利用導(dǎo)數(shù)探究函數(shù)的單調(diào)性做好鋪墊。

教學(xué)目標(biāo)是教學(xué)活動(dòng)的出發(fā)點(diǎn)和希望達(dá)到的結(jié)果，表述為：（1）理解函數(shù)單調(diào)性的概念；借助函數(shù)圖象，會(huì)用符號(hào)語(yǔ)言表達(dá)函數(shù)的單調(diào)性；能根據(jù)單調(diào)性的定義證明函數(shù)的單調(diào)性。（2）經(jīng)歷函數(shù)圖象變化的過(guò)程，發(fā)展由形思數(shù)的思維意識(shí)；通過(guò)將自然語(yǔ)言抽象成符號(hào)語(yǔ)言的過(guò)程，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、直觀想象以及邏輯推理的素養(yǎng)。（3）在教學(xué)中，通過(guò)引導(dǎo)學(xué)生深入探究知識(shí)的過(guò)程，可以培養(yǎng)他們的細(xì)心觀察以及嚴(yán)謹(jǐn)論證的良好思維習(xí)慣。這樣的教學(xué)過(guò)程不僅有助于學(xué)生掌握知識(shí)本身，更能提升他們的思維能力和認(rèn)知水平。

二、核心素養(yǎng)下的教學(xué)流程設(shè)計(jì)

教學(xué)流程是落實(shí)教學(xué)目標(biāo)的具體行動(dòng)步驟，在培養(yǎng)核心素養(yǎng)的背景下，我們必須始終確保學(xué)生在教學(xué)過(guò)程中的核心地位。整個(gè)教學(xué)過(guò)程應(yīng)圍繞問(wèn)題展開(kāi)，通過(guò)不斷提出和解決問(wèn)題，建立起師生之間行為與思維的良性互動(dòng)。具體的教學(xué)流程設(shè)計(jì)如下：

（一）環(huán)節(jié)1：創(chuàng)設(shè)情境，引入課題

［教師］：展示生活中函數(shù)圖象，引導(dǎo)學(xué)生用成語(yǔ)分別來(lái)描述函數(shù)圖象的變化趨勢(shì)。

［學(xué)生］：通過(guò)觀察，用成語(yǔ)來(lái)描述函數(shù)圖象，體會(huì)函數(shù)圖象的變化趨勢(shì)，通過(guò)成語(yǔ)體會(huì)函數(shù)圖象的分類。

設(shè)計(jì)意圖：從生活中的函數(shù)圖象出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生用成語(yǔ)描繪函數(shù)圖象，讓學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)來(lái)源于生活，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，同時(shí)滲透數(shù)學(xué)中分類討論的數(shù)學(xué)思想。

（二）環(huán)節(jié)2：逐步引導(dǎo)，探究定義

［教師］：展示上升的函數(shù)圖象，讓學(xué)生從圖形中觀察，并且引導(dǎo)學(xué)生思考因變量y與自變量x之間的關(guān)系。

［學(xué)生］：回憶初中所學(xué)習(xí)的知識(shí)，觀察圖象的變化趨勢(shì)，并回答函數(shù)y隨著x的變化關(guān)系。

［教師］：給出函數(shù)y=x+1x，讓學(xué)生判斷它的單調(diào)性。引導(dǎo)學(xué)生深入思考除了根據(jù)函數(shù)圖象可以直觀判斷函數(shù)的單調(diào)性外，是否還有其他方法？

設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生回憶初中所學(xué)習(xí)的函數(shù)的性質(zhì)，通過(guò)設(shè)置問(wèn)題，形成沖突，理解需要從新的高度來(lái)認(rèn)識(shí)函數(shù)的單調(diào)性，促進(jìn)學(xué)生用數(shù)學(xué)的思維解決問(wèn)題。

問(wèn)題1：遞增的性質(zhì)是一個(gè)整體的性質(zhì)？還是局部的性質(zhì)？

［教師］：引導(dǎo)學(xué)生觀察某城市GDP變化趨勢(shì)圖（圖1）。

［學(xué)生］：學(xué)生通過(guò)“跌宕起伏”的函數(shù)圖象，觀察函數(shù)在不同區(qū)間上變化趨勢(shì)不同，體會(huì)遞增和遞減是局部的性質(zhì)。

［教師］：小組合作舉出在整個(gè)定義域內(nèi)是單調(diào)遞增的函數(shù)例子，以及在某些區(qū)間上遞增但在另一些區(qū)間上單調(diào)遞減的函數(shù)例子［2］。

［學(xué)生］：回憶初中所學(xué)舉出例子，進(jìn)一步體會(huì)區(qū)間的概念。

設(shè)計(jì)意圖：以問(wèn)題串的形式引領(lǐng)學(xué)生進(jìn)行一系列連續(xù)的思維活動(dòng)，使學(xué)生的思維逐步達(dá)到新的高度，逐步加深對(duì)問(wèn)題本質(zhì)的認(rèn)識(shí)。［3］

問(wèn)題2：如何用符號(hào)語(yǔ)言描述“增加”？

［教師］：引導(dǎo)學(xué)生從生活實(shí)際出發(fā)，如何判斷這個(gè)城市的GDP是否有所增加？

［學(xué)生］：聯(lián)系生活實(shí)際，將今天與昨天的GDP進(jìn)行比較。

［教師］：類比“該城市GDP增加”，引入兩個(gè)時(shí)間量x1和x2，比較兩個(gè)量的大小。

［學(xué)生］：通過(guò)判斷該城市GDP是否有所增加，自然抽象出“增加”的概念，將“x增大”和“f（x）增大”符號(hào)化。

（三）環(huán)節(jié)3：探究新知，引出“任意”

問(wèn)題3：能否通過(guò)幾組特殊值的比較，判定函數(shù)圖象為遞增的？（“遞增”的充分性）

［教師］：如果僅取兩點(diǎn)，滿足x1＜x2，f（x1）＜f（x2），能否僅憑借兩點(diǎn)判斷函數(shù)圖象是上升的？

［學(xué)生］：給出自己的判斷結(jié)論并說(shuō)明理由。

［教師］：根據(jù)學(xué)生判斷“不能”的理由，評(píng)價(jià)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，并展示學(xué)生的思路。

［學(xué)生］：僅取兩點(diǎn)無(wú)法判斷函數(shù)圖象是上升的。

［教師］：增加到無(wú)限多個(gè)點(diǎn)，滿足x1＜x2＜x3＜…＜xn＜…，f（x1）＜f（x2）＜f（x3）＜…＜f（xn）＜…，是否能判斷函數(shù)圖象是上升的？以小組為單位，合作探究，請(qǐng)同學(xué)上臺(tái)板演，培養(yǎng)學(xué)生合作探究的意識(shí)。

［學(xué)生］：進(jìn)一步探究，通過(guò)數(shù)形結(jié)合體會(huì)和感悟直觀想象的核心素養(yǎng)。

［教師］：表?yè)P(yáng)學(xué)生運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的意識(shí)，直觀展示圖象。

［學(xué)生］：通過(guò)作圖發(fā)現(xiàn)取無(wú)數(shù)點(diǎn)也不能判斷圖象是上升的，而應(yīng)該要考慮所有點(diǎn)，從而抽象出“任意”的概念，體會(huì)所有的點(diǎn)的表達(dá)形式，體會(huì)“遞增”的充分性。

設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生借助于圖象研究性質(zhì)，培養(yǎng)學(xué)生的直觀想象能力。

問(wèn)題4：在上升函數(shù)圖象上隨意選擇兩點(diǎn)，比較兩點(diǎn)的坐標(biāo)，有怎樣的規(guī)律？（“遞增”的必要性）

［教師］：在上升的函數(shù)圖象上，兩個(gè)量相比，會(huì)有怎樣的規(guī)律？讓學(xué)生運(yùn)用幾何畫(huà)板任意拖動(dòng)點(diǎn)A和點(diǎn)B，觀察A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)變化。

［學(xué)生］：通過(guò)親自動(dòng)手實(shí)踐以及觀察，找到規(guī)律。

［教師］：表?yè)P(yáng)學(xué)生的觀察以及抽象能力，運(yùn)用幾何畫(huà)板探究出“遞增”的必要性。

設(shè)計(jì)意圖：從正反兩方面體會(huì)“遞增”的充分性和必要性，讓學(xué)生更好地掌握“任意”。同時(shí)，借助信息技術(shù)幾何畫(huà)板，通過(guò)觀察、動(dòng)手實(shí)踐，逆向思維、舉反例來(lái)克服這樣一個(gè)難點(diǎn)，從而把握這一不變的本質(zhì)。

（四）環(huán)節(jié)4：抽象定義，嘗試類比

［教師］：展示問(wèn)題串。

（1）遞增的性質(zhì)是一個(gè)整體的性質(zhì)？還是局部的性質(zhì)？

（2）如何用符號(hào)語(yǔ)言描繪“增加”？

（3）能否通過(guò)兩點(diǎn)和無(wú)限多點(diǎn)判斷函數(shù)遞增？“遞增”的充分性和必要性是什么？引導(dǎo)學(xué)生抽象出單調(diào)遞增的定義，并板書(shū)。

［學(xué)生］：歸納抽象出單調(diào)遞增的定義，體會(huì)數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng)。

［教師］：插入我國(guó)著名的數(shù)學(xué)家華羅庚先生的名言，引導(dǎo)學(xué)生除了通過(guò)符號(hào)語(yǔ)言描述單調(diào)遞增的定義以外，嘗試說(shuō)出它的圖形語(yǔ)言以及文字語(yǔ)言。

［學(xué)生］：自然抽象出單調(diào)遞增的圖形語(yǔ)言和文字語(yǔ)言，由此貫徹?cái)?shù)形結(jié)合的思想，進(jìn)一步感知三種語(yǔ)言。

［教師］：展示該城市GDP走勢(shì)圖，引導(dǎo)學(xué)生嘗試根據(jù)2003年以后GDP的圖像，類比單調(diào)遞增，嘗試說(shuō)出單調(diào)遞減的定義。

［學(xué)生］：類比單調(diào)遞增，自然說(shuō)出單調(diào)遞減的符號(hào)語(yǔ)言、圖形語(yǔ)言以及文字語(yǔ)言。

［教師］：以爬山為引入，單調(diào)遞增形似“上坡”，抽象出自變量與因變量的改變值都大于0，比值fx1－f（x2）x1－x2＞0，而單調(diào)遞減形似“下坡”，比值小于0，引出在之后斜率和導(dǎo)數(shù)的學(xué)習(xí)中將會(huì)介紹第三種判斷函數(shù)單調(diào)性的方法，引發(fā)思考，為導(dǎo)數(shù)的學(xué)習(xí)埋下伏筆。

［教師］：讓學(xué)生歸納出增函數(shù)以及減函數(shù)的定義。

［學(xué)生］：通過(guò)表格更直觀簡(jiǎn)潔地體會(huì)所學(xué)知識(shí)，并說(shuō)出增函數(shù)和減函數(shù)的定義。

［教師］：數(shù)學(xué)與生活緊密相聯(lián)，設(shè)置擂臺(tái)賽，以小組為單位，找出生活中隱藏的“單調(diào)性”。

［學(xué)生］：學(xué)生以小組為單位開(kāi)始搶答，尋找生活中所隱藏的“單調(diào)性”。

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)漸進(jìn)式的問(wèn)答和探究，實(shí)現(xiàn)了函數(shù)單調(diào)性的圖形語(yǔ)言以及文字語(yǔ)言向符號(hào)語(yǔ)言的轉(zhuǎn)化，加強(qiáng)學(xué)生對(duì)“任意”的理解。鍛煉學(xué)生歸納類比的能力，對(duì)應(yīng)在表格進(jìn)行知識(shí)建構(gòu)以及類比歸納，鞏固所學(xué)知識(shí)，從而鍛煉思維，提高學(xué)生提出問(wèn)題、應(yīng)用知識(shí)解決問(wèn)題的能力。設(shè)置搶答，增強(qiáng)趣味性，感受生活中隱藏的單調(diào)性，進(jìn)一步理解數(shù)學(xué)來(lái)源于生活，又服務(wù)于生活。

三、核心素養(yǎng)下的教學(xué)檢測(cè)設(shè)計(jì)

核心素養(yǎng)下的數(shù)學(xué)教學(xué)檢測(cè)設(shè)計(jì)應(yīng)遵守“形散而神不散”的原則，以“數(shù)學(xué)知識(shí)”之形，鑄“核心素養(yǎng)”之魂，以單調(diào)性為例，圍繞核心素養(yǎng)設(shè)計(jì)2個(gè)教學(xué)檢測(cè)題［4］，第1題考查用定義法證明函數(shù)單調(diào)性；第2題以現(xiàn)實(shí)生活為背景，助推數(shù)學(xué)抽象的內(nèi)化；

（1）證明函數(shù)y=x+1x在（1，+∞）上單調(diào)遞增。

（2）根據(jù)圖象，簡(jiǎn)要說(shuō)明近150年來(lái)人類消耗能源的結(jié)構(gòu)變化情況，并對(duì)未來(lái)100年能源結(jié)構(gòu)的變化趨勢(shì)做出預(yù)測(cè)。

設(shè)計(jì)意圖：對(duì)于第1題，學(xué)生在教師的幫助下嘗試用定義法證明開(kāi)頭所遇到的函數(shù)y=x+1x的單調(diào)性，進(jìn)一步體會(huì)符號(hào)語(yǔ)言刻畫(huà)單調(diào)性后解決問(wèn)題的便利。第2題可以直接利用圖象判斷函數(shù)的單調(diào)性，體會(huì)單調(diào)性的作用。

核心素養(yǎng)引領(lǐng)下的教學(xué)設(shè)計(jì)，應(yīng)當(dāng)著重培養(yǎng)學(xué)生終身發(fā)展的關(guān)鍵能力和思維品質(zhì)。在這個(gè)過(guò)程中，學(xué)生的自主發(fā)展和合作參與同樣不可忽視，它們共同構(gòu)成了教學(xué)設(shè)計(jì)的核心要素。教師通過(guò)精心設(shè)計(jì)教學(xué)思路和問(wèn)題，可以為學(xué)生提供更加豐富、多元的學(xué)習(xí)體驗(yàn)，促進(jìn)他們的全面發(fā)展。

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作者簡(jiǎn)介：吳琳（1991—"），女，漢族，陜西咸陽(yáng)人，碩士研究生，研究方向：學(xué)科教學(xué)（數(shù)學(xué)）；李向有（1976—"），男，漢族，陜西延安人，碩士研究生，副授授，研究方向：最優(yōu)化理論。