類比推理在高中數學教學中的應用研究

摘 要：高中數學課程提倡類比推理。教師可以通過類比推理，豐富學生的探究學習過程，提升高中數學教學效果。文章參考人教版高中數學教材的部分教學內容，從原則、時機、技巧三個角度，分析類比推理在高中數學教學中的應用，提出在啟發、探究、多樣的前提下，讓類比推理覆蓋初始學習、知識生成、總結梳理、解決問題。同時，引導學生形成類比推理意識，提高學生的類比推理能力，培養學生的類比推理習慣，為學生自覺類比推理更多數學知識奠定堅實基礎。

關鍵詞：高中數學；類比推理；教學研究

類比推理是一種特殊的歸納推理，也是一種重要的數學思想。在數學的研究和發展過程中，人們逐漸發現一些事物存在相似性。進而，以兩個或兩類事物在某些屬性上的相似為依據，推導它們在其他屬性上的相似性，稱作類比推理。在高中數學教學中應用類比推理，讓數學思想促進探究學習，有效提升學生的思維水平，發展學生的學習能力和問題解決能力。教師應準確把握類比推理在高中數學教學中的應用時機，采取不同的類比推理方法，啟發學生深化探究學習。這也需要學生形成類比推理意識，具有一定類比推理能力，養成自覺類比推理的良好習慣。

一、類比推理在高中數學教學中的應用原則

類比推理在高中數學教學中的應用，是啟發學生探究學習的重要手段。并且，根據不同的探究學習需求，類比推理形式不唯一。教師應堅持啟發性原則、探究性原則、多樣性原則，協調類比推理在高中數學教學中的具體應用。

（一）啟發性原則

高中數學教學不應是簡單地傳授知識，而是應該啟發學生思維。類比推理引導學生從已知到未知、從熟悉到陌生，通過尋找不同信息的相似性和共通點建構新的概念，是啟發思維的一種手段。故而在高中數學教學中應用類比推理，應堅持啟發性原則，使學生從不同角度對比和分析問題，完成主動思考。此外，基于啟發性原則，在類比推理的過程中鼓勵學生提問，使學生避免盲目地接受他人觀點，形成批判思維。

（二）探究性原則

探究是高中數學教學的本質要求。研讀《普通高中數學課程標準》（2017年版2020年修訂，下面簡稱《課程標準》），其指出教師要把教學活動的重心放在促進學生學會學習上，引導學生獨立思考、動手實踐、自主探索、合作交流等。獨立思考、動手實踐等，都是探究學習的具體表現。類比推理在高中數學教學中的應用，同樣應注重學生的探究學習[1]。教師應通過類比推理，為學生提供自主探究知識的平臺，讓學生能基于已有知識和經驗，充分體會探究學習過程，實現核心知識的自主建構。

（三）多樣性原則

類比推理的形式具有多樣性。如基于生活情境、數學實物等，直觀落實類比推理，化抽象學習為形象探究；在數學圖形、數學思想等輔助下，抽象展開類比推理，將感性認識轉化為理性認識；整合關聯知識，在新舊知識的遷移中進行類比推理；舉一反三、建立模型，在解決問題中滲透類比推理。高中數學教學內容同樣具有多樣性，要求學生在掌握基礎概念的基礎上，感悟一些思想方法，能夠運用學習內容解決簡單的實際問題。為此，想要實現類比推理在高中數學教學中應用，還需要堅持多樣性原則。

二、類比推理在高中數學教學中的應用時機

高中數學教學的完整過程，包括認識基礎概念、掌握深層知識、建構知識框架、解決具體問題。為此，把握類比推理在高中數學教學中的應用時機，有必要根據教學內容的實際特點，讓類比推理覆蓋初始學習、知識生成、總結梳理、問題解決環節。

（一）在初始學習中類比推理，建立感性認識

在初始學習中類比推理，降低高中數學知識的理解難度，激發學生的學習興趣。具體而言，高中數學知識具有抽象性，從而使部分學生產生畏難情緒。而通過恰當的類比推理，能夠將抽象知識與具體事物聯系在一起，讓學生在直觀分析中快速建立感性認識，提高好奇心和求知欲。教師可以利用生活情境、數學實物等，打造生動的類比推理環境，讓學生在初始學習中，獨立落實直觀類比推理。

比如，人教版高一數學必修第一冊《集合間的基本關系》一課，教師可以在初始學習中，圍繞生活中的集合創設圖書管理情境，啟發學生由圖書管理中的集合類比推理數學中的集合。具體情境如下：圖書館中擁有海量的書籍，包括文學類書籍、科學類書籍、歷史類書籍、藝術類書籍等。管理員將這些書籍精心分類，擺放在不同書架上。如果你有機會體驗一日圖書管理員，你將怎樣為圖書分類？

按照一定規律將圖書分類，就是尋找圖書中的集合關系。比如，文學類書籍、科學類書籍、歷史類書籍、藝術類書籍等，都是圖書館總藏書籍的一部分。如果將圖書館的總藏書籍視作一個大集合，這些書籍就是圖書館總藏書籍的子集。現代文學、古代文學、外國文學都是文學類書籍分類之一，故而將其視作不同的小集合，每個集合都是文學類書籍的真子集。現代文學與外國文學還存在交叉關系，如現代外國文學。以集合的語言描述這一分類，現代外國文學即為現代文學與外國文學的交集。

教師可使學生自主討論情境，發現圖書分類與集合關系的內在聯系，實現子集、真子集、交集、并集等知識點的直觀類比推理。另外，通過生活化的類比推理，使學生認識到現實生活與數學知識的密切聯系，有助于學生在未來學習中，自覺觀察生活中的數學現象，深化生活化學習行為。

（二）在知識生成中類比推理，升華理性認識

在知識生成中類比推理，促進學生對新知識的深入理解，幫助學生將感性認識升華為理性認識。具體而言，高中數學的探究學習過程，應當是一個將感性認識不斷上升為理性認識的過程。類比推理作為一種有效的思維工具，也是幫助學生跨越知識鴻溝的重要手段。教師可以通過數形結合、挖掘相同的學習方法等，啟發學生進行更深層次的類比推理，讓學生由形象感知向抽象探究自然過渡[2]。

比如，人教版高一數學必修第一冊《對數函數》一課，需要使學生在了解對數函數概念的基礎上，掌握對數函數的基本性質，包括定義域、值域、對稱性、增減性。教師可以從對數函數的圖像切入，啟發學生類比推理。

首先，教師可以列舉常見的對數函數，使學生根據其表達式，討論和猜想相應的函數圖像。其次，教師可以引導學生自主列表、描點、繪制函數圖像，觀察和總結其主要信息。最后，教師可以鼓勵學生舉手發言，自主分享以下內容：當對數的“底”在0和1之間，函數圖像單調遞減。當對數的“底”大于1，函數圖像則單調遞增。無論對數的“底”為任何數，函數始終在其定義域內，經過定點（1，0），存在值域R。

通過“數”“形”類比推理，使學生自主經歷知識的生成過程，建立有關對數函數的理性認識。而這樣的類比推理方法，也是探究指數函數的主要方法。教師還可以在教學過程中，通過口頭語言提示學生回顧指數函數的學習過程，以此豐富其類比推理，使其感悟函數學習的共通性。

（三）在總結梳理中類比推理，建構知識框架

在總結梳理中類比推理，意在使學生強化記憶與關聯，提高理解深度，加強知識整合。高中數學知識具有嚴謹的知識框架，故而在總結梳理中類比推理，使學生不斷建構完整的知識框架，進一步提升高中數學教學水平。教師應特別重視總結梳理中的類比推理，啟發學生將零散的知識點串聯起來，建構層次分明、條理清晰的知識網絡。

比如，人教版高二數學選擇性必修第一冊《拋物線》一課，教師可挖掘拋物線的本質內涵，以“圓錐曲線”為線索，啟發學生縱橫分析關聯知識。具體而言，本課定位于教材第三章，全章共有“橢圓”“雙曲線”“拋物線”三節教學內容，任意一節教學內容都是圓錐曲線的重要組成部分，有助于其他兩節內容的探究學習。教師可在本課探究學習中，及時引導學生回顧舊知，啟發學生類比推理三種圓錐曲線的基本定義、標準方程、主要性質、幾何意義等。

通過類比推理可知，三種圓錐曲線都是平面上到定點（焦點）和定直線（準線）距離之比為常數（但拋物線的這個常數為1）的點的軌跡；三種圓錐曲線方程均可視為二次曲線，具有相似的解析表達結構；三種圓錐曲線都有頂點和對稱軸。進而，通過樹狀圖、網狀圖等，整理類比推理結果，歸納三種圓錐曲線的異同，建構圓錐曲線的完整知識框架，增強學生對全章知識的記憶效果。

（四）在問題解決中類比推理，深化實踐能力

在問題解決中類比推理，提高學生的解題效率，使學生能夠觸類旁通，深化實踐能力[3]。具體而言，《課程標準》指出：“數學的應用已滲透到現代社會及人們日常生活的各個方面”。數學的廣泛應用使其成為解決問題的重要工具，高中數學的教學過程應系統培養學生的問題解決能力，使學生能在日后靈活參與社會實踐，運用學習內容解決實際問題。此外，在解決問題的過程中，自覺總結相似方法，建立先進的問題解決模型。教師可以通過習題測驗、變式訓練等，啟發學生發散問題解決思維，在類比推理中深化實踐能力。

比如，人教版高一數學必修第二冊《復數的四則運算》一課，需要學生運用復數的加減運算和乘除運算，解決各種各樣的實際問題。教師可以多元開發習題，通過變式訓練滲透類比推理。具體以“復數的加、減運算及其幾何意義”為例，為使學生靈活運用復數的加、減運算及其幾何意義解決向量問題，教師可以教材例2為原型，收集更多習題資源，設置課堂訓練活動，啟發學生類比教材例2的解題思路，推理更多習題的解題方法。最后，細致講解錯題，引導學生整理錯題資源，并以典型錯題為切口，類比推理更多錯題的解題誤區和修正方法。

教材例題、課外習題、錯題資源相互促進，使學生從解決問題到反思錯題，進行大量的類比推理，建立復數的加、減運算及其幾何意義與向量問題的解題模型，深化實踐能力。

三、類比推理在高中數學教學中的應用技巧

類比推理在高中數學教學中的應用，需要教師對學生的指導，也需要調動學生的自覺意識[4]。為此，教師應帶領學生深入了解類比推理的內涵，幫助學生樹立正確的類比推理意識。緊接著，豐富類比推理訓練，加強類比推理反饋，持續提高學生的類比推理能力，使學生形成類比推理習慣。

（一）了解類比推理內涵，樹立類比推理意識

類比推理在高中數學教學中的應用，單單重視教師的啟發遠遠不夠。唯有使學生真正認識到類比推理的重要性，樹立類比推理意識，方能在更多高中數學教學中，順利應用類比推理。為此，教師應采取生動、直觀的方式，帶領學生了解類比推理內涵。

比如在高一初始教學中，先出示類比推理的真實案例，再討論類比推理的重要性。相較于直接向學生說明類比推理內涵，以真實案例為載體促進學生的自主分析和熱烈討論，更有助于學生多角度分析類比推理的重要性。進而，鼓勵學生大膽發言、相互說服，深刻認識到類比推理的探究學習作用，樹立正確的類比推理意識。在日后更多數學活動中，學生都能調動類比推理意識，自覺進行類比推理。

（二）豐富類比推理訓練，提高類比推理能力

從高一階段到高三階段，高中數學知識的難度系數不斷增加。故而將類比推理應用于高中數學教學，應基于學習內容的難度變化，不斷提高學生的類比推理能力[5]。這要求教師根據教學內容的實際特點，讓類比推理覆蓋學習活動，持續引導學生感受類比推理方法，總結類比推理經驗。

上述初始學習、知識生成、總結梳理、問題解決中的類比推理，即為豐富類比推理訓練的有效方案。此外，教師還可以設計類比推理的專項訓練活動，銜接課前預習、課堂學習、課后復習，擴大類比推理的教學空間，借助在線教學平臺發布微課視頻，特別引導學生學習類比推理方法。類比推理訓練豐富多樣，帶給學生充足的類比推理經驗，使學生循序漸進地提高類比推理能力，優化探究學習。

（三）加強類比推理反饋，培養類比推理習慣

在學生完成類比推理任務后，教師應及時給予評價，指出其推理過程中的亮點和不足。特別是對于正確的類比推理，要給予充分肯定和表揚，增強學生的自信心和成就感。通過及時反饋和充分肯定，使學生在類比推理期間不斷獲得正向的情感反饋，促進其類比推理習慣的培養。

此外，教師還可以設立類比推理之星、最佳類比案例等獎項，鼓勵學生積極參與類比推理活動，形成良性的競爭氛圍，以此培養學生類比推理習慣。久而久之，使學生“習慣成自然”，主動堅持以類比推理深化高中數學探究學習。

結束語

總而言之，類比推理在高中數學教學中的應用，首先需要堅持啟發性原則、探究性原則、多樣性原則。其次，準確把握類比推理時機，在初始學習、知識生成、總結梳理、問題解決中，廣泛應用類比推理，讓類比推理覆蓋高中數學教學。最后，幫助學生形成類比推理意識，使學生提高類比推理能力，形成類比推理習慣，能夠自覺運用類比推理方法，探究更加復雜的數學問題。

參考文獻

[1]孫啟柱.類比推理法在高中數學教學中的應用研究[J].數學學習與研究，2023（34）：134-136.

[2]呂雪梅.高中數學教學中類比推理應用研究[J].基礎教育論壇，2023（20）：92-94.

[3]王維芳，徐紀禮.類比推理在高中數學教學中的作用及應用方法[J].數理天地（高中版），2023（9）：51-53.

[4]熊麗麗.類比推理在高中數學教學中的作用及培養策略研究[J].數學學習與研究，2023（11）：38-40.

[5]洪云云.通俗易懂精準施教：類比推理在高中數學教學實踐中的應用[J].數理化解題研究，2023（6）：32-34.