探索網格作圖與圓的結合

摘要：以湖北省武漢市2023年全市二月調考為例，結合學生所學知識通過案例循序漸進地探究，探索網格作圖與圓結合的解題思路.立足于課本，主動從本質上去理解與掌握.

關鍵詞：網格作圖；圓；圓心;等弦;弦中點

近三年的武漢市元月調考試題在以往考查線段的平行、垂直、中點、長度或對稱性的基礎上增加了圓的相關內容，能夠更加多元化地考查學生對于幾何知識的應用能力，考查了學生的直觀想象、邏輯推理、數學運算、數學建模等核心素養.本文旨在通過湖北省武漢市2023年全市二月調考第21題來探索如何幫助學生探究問題的本質，引導學生加強對解題規律和方法的總結與提煉.

1 試題呈現

試題 如圖1、圖2是由小正方形組成的7×6網格，每個小正方形的頂點叫做格點.僅用無刻度的直尺在給定網格中完成畫圖.

（1）在圖1中，A，B，C三點是格點，畫經過這三點的圓的圓心O，并在該圓上畫點D，使AD＝BC；

（2）在圖2中，A，E，F三點是格點，⊙I經過點A.先過點F畫AE的平行線交⊙I于M，N兩點，再畫弦MN的中點G.

2 思路探究

試題以網格與圓為背景，考查對圓的有關性質的理解和掌握.同時也通過線段的平行、垂直、中點、長度或對稱性進一步考查學生的直觀想象、邏輯推理、數學運算、數學建模等核心素養.

在第（1）問中有兩個問題：一是如何在網格中尋找到圓的圓心？尋找的核心是對于圓的相關概念以及性質的理解.二是如何在網格中畫出等長線段？主要考查學生對于弧、弦、圓心角以及圓周角之間的關系和轉換的掌握情況.

在第（2）問中也有兩個問題，一是過格點作平行線，二是畫出弦的中點，主要考查學生對垂徑定理以及圓的軸對稱性的理解.

3 解法探究

3.1 圓心O的解法探究

3.1.1 從課本出發，揭開問題實質

課本對于圓心有兩個主要結論：①圓上各點到定點（圓心O）的距離都等于定長（半徑R）；②經過圓心的弦叫做直徑.因此可以通過下面兩個思路得到圓心：①找到直徑，取得直徑的中點即為圓心O；②兩條直徑的交點即為圓心O.尋找圓心的實質就是找直徑，而通過課本可以發現直徑具有以下兩個性質：①90°的圓周角所對的弦是直徑；②圓是軸對稱圖形，任何一條直徑所在直線都是圓的對稱軸.因此可以建立思路：①通過頂點在格點的90°圓周角來找到直徑;②可以利用圓的軸對稱性找到對稱軸也就是直徑.

3.1.2 回歸網格，探究問題解法

網格內畫圓的直徑的一般方法，如圖3，因為網格中的每個小正方形的內角是90°，所以通過圓經過網格的格點，利用“90°的圓周角所對的弦是直徑”來畫出直徑.

如圖4，利用圓的軸對稱性，通過平行弦所夾的弧與弦是成軸對稱的兩個圖形畫直徑.由于成軸對稱的兩個圖形，它們的兩對對稱點交叉相連的交點在對稱軸上，因此可以借助這個交點畫出對稱軸也就是直徑.

思路1：圓心是直徑的中點，在確定直徑后，可以如圖5和圖6利用平行線分線段成比例求得直徑的中點;也可以如圖7和圖8利用三角形的三條中線交于一點求得直徑的中點.

思路2：兩條直徑的交點即為圓心O，如圖9～11，只需要將圖3、圖4作直徑的兩種方法任意組合起來就可以得到圓心.

3.2 圓上作等弦的解法探究

3.2.1 從課本出發，揭開問題實質

課本對于弧、弦、圓心角以及圓周角之間的關系有以下兩個描述：①在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦也相等.②一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半.因此可以推得在同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧相等，所對的弦也相等.

垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對的兩條弧.因此由垂徑定理可以得到等弧，進而也可以得到等弦.

3.2.2 回歸網格，探究問題解法

思路1：相等的圓周角所對的弧相等，所對的弦也相等.

如圖12，作CD∥AB，由∠ABD=∠CDB，得AD=BC.如圖13，作BD∥AC，由∠ABD=CAB，得AD=BC.作平行線在這里可能會出現問題，

通常作一條間隔為“橫a，縱b”的線段的平行線，只需要過點再作一條間隔為“橫a，縱b”的線段即可.線段AC是“橫4，縱3”，所以平行線BD也應該是“橫4，縱3”，但是此時會出現網格不夠的情況，所以此時可以適當將線段縮小變為“橫2，縱1.5”即可.

思路2：由垂徑定理可以得到等弧，進而也可以得到等弦.如圖14，通過BD∥AC，得AD=BC之后，過點D作AC的垂線交圓于點D′.

3.3 弦中點的解法探究

3.3.1 從課本出發，揭開問題實質

垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對的兩條弧.求弦的中點即是求垂直于弦的直徑.

3.3.2 回歸網格，探究問題解法

如圖15，線段AE“橫5，縱2”，過點F作“橫5，縱2”的線段即與AE平行，其所在直線交圓I于點M，N，MN∥AE.

平行弦所夾的弧與弦是成軸對稱的兩個圖形，由于成軸對稱的兩個圖形，它們的兩對對稱點交叉相連的交點在對稱軸上.如圖16，連接兩對對稱點，交叉相連的交點與圓心I所在的直線為MN的垂直平分線，其與MN的交點G即為MN的中點.

4 教學反思與建議

4.1 立足課本，改進教學方式

題海戰術不可取，教學中應當拋棄“知識+訓練”的教學模式，立足課程標準和課本，以學生為主體，引導學生體會知識形成的過程.摒棄以往機械模仿的單一上課模式，多以活動為載體，著重對學生數學思維能力與動手操作能力的培養.多引導學生積極用以往的學習經驗來獲得新的學習經驗，并能結合已有的知識經驗利用不同的搭配去解決一系列問題，尤其是生活中的實際問題可以作為重點考查背景.

4.2 重視變式探究

中考試題中，很多可以在教材上找到原型.我們很難猜測以后會有哪些課本習題會用在試卷上，以及試卷上的題目又會有怎樣的變化與創新.但是萬變不離其宗，課本的一些最基本的題型以及其中所蘊含的數學思維不會發生改變，所以在平時的教學活動中應當重視培養學生的學習遷移能力.在平時的上課與訓練中，可以多改變課本例題與練習的條件，甚至可以改變題目的背景;在平時的活動中可以多鼓勵學生自己命題，甚至可以通過同學之間、小組之間互相命題來提高學生在陌生情境中解決問題能的力.