如何求非特殊銳角三角函數值

摘要：在初中階段，求銳角三角函數值大體有兩種，一種是求特殊銳角的三角函數值，另一種是非特殊銳角的三角函數值.前者在教材中已有體現且難度較小，后者尚未體現，但也時常考查，且具有一定難度.因此，本文中結合相關例題探究非特殊銳角三角函數值的求法.

關鍵詞：直角三角形；非特殊；銳角；三角函數；轉化思想

初中階段的學生只要求掌握特殊角的三角函數值的求法，對非特殊銳角的三角函數值的求法并未做要求.但是，在平時練習或檢測中，一些題目要求非特殊銳角的三角函數值，這讓數學思維本已形成定勢的學生難以應對.基于此，本文中嘗試分析與探究非特殊銳角三角函數值的求法.

1 疑難呈現

（2018·貴陽）如圖1，A，B，C是小正方形的頂點，且每個小正方形的邊長為1，則tan∠BAC的值為（" ）.

A.12

B.1

C.33

D.3

本題作為一道中考題，難度適中，考查了銳角三角函數.但其中的問題是，∠BAC并非在直角三角形中.

在教材中只涉及到特殊角的銳角三角函數值的求法，對這類非特殊銳角三角函數并未介紹[1].因此，對于思路不夠靈活、不具備發散思維能力的學生而言，要想解決該題具有較大困難.

2 思路探析

如上題，若學生遇到非特殊銳角三角函數這類問題時，該如何解決呢？下面進行思路探析.

首先，明確命題意圖.該題的考點是銳角三角函數，通過本題可考查學生對該知識點的掌握情況，而且學生是否能應用所學知識解決實際問題也能在解決該問題中得到體現.

其次，明確使用前提.既然考查的是銳角三角函數，而銳角三角函數的概念是在直角三角形中提出的，所以和銳角三角函數有關的問題通常與直角三角形有關.

最后，找到突破口.既然求tan∠BAC的值與直角三角形有關，而AB和AC無法構造所需的圖形，那么這一矛盾勢必會指引解題者嘗試構造一個直角三角形.此時，就不難發現構造直角三角形便可將此題解決.但是，如何才能構造出所需的直角三角形呢？筆者提供了兩個思路供學生參考：

思路一：過點C作AB的垂線.

該思路經過學生嘗試后發現，原來只需將BC連接（如圖2）即可，因為可證得∠ABC=90°.如此一來，只需在Rt△ABC中求出tan∠BAC的值.

思路二：過點B作AC的垂線.

該思路經過學生另一番嘗試后發現，所作垂線與AC的交點不在格點上，所以有關線段長度的確定難度非常大.

學生經過充分討論，最后采用了如圖2所示的解題方法.具體解題過程如下：

解：連接BC，易證得△ABC是直角三角形.

因為每個小正方形的邊長為1，所以

根據勾股定理易得AB=BC=5.

所以tan∠BAC=BCAB=55=1.

故選：B.

3 變式多解

求非特殊銳角三角函數值的方法，除本文上述中的構造直角三角形之外，還有利用轉化思想，將原本不在直角三角形中的角轉換至直角三角形中，這里往往需要證明三角形全等或利用等腰三角形.如下面這道變式題：

如圖3，在△ABC中，∠ACB=90°，D為AB邊的中點，連接CD.若BC=4，CD=3，則cos∠DCB的值為.

分析：∠DCB不在直角三角形中，所以可將之轉換至直角三角形中，再求其余弦值.這樣一來，可過點D構造出一個直角三角形.同時，認真審題后不難發現，△BDC是等腰三角形，可利用其性質將∠DCB轉換至∠B.而∠B在Rt△ABC中，易得其余弦值，于是可間接求出cos∠DCB.

解法一：∵∠ACB=90°，且D為AB邊的中點，

∴AD=BD=CD.

∴∠DCB=∠B.

∵CD=3，

∴AB=2CD=6.

∵BC=4，

∴在Rt△ABC中，cos B=BCAB=23.

∴cos∠DCB=23.

解法二：如圖4所示，過點D作BC的垂線，垂足為M.

∵∠ACB=90°，且D為AB邊的中點，

∴AD=BD=CD.

∴△BDC為等腰三角形.

∵DM⊥BC，

∴BM=CM.

∵BC=4，

∴CM=2.

∴在Rt△DMC中，cos∠DCM=MCDC=23.

∴cos∠DCB=23.

4 方法總結

綜上所述，求非特殊銳角三角函數值的方法一般有如下兩種.

（1）構造直角三角形

這種方法就是將銳角放入某個直角三角形中，直接求出其三角函數值.如本文的疑難問題及變式題的解法二，都是采用了借助輔助線構造直角三角形的方法.

在利用這種方法求非特殊銳角三角函數值時，應注意以下兩個問題：

首先，作輔助線構造直角三角形的方法非常多，至于作哪條輔助線可構造出所需的直角三角形，則需不斷嘗試.如本文疑難問題的思路二“過點B作AC的垂線”，雖然可構造出直角三角形，且∠BAC也在其中，但這樣的直角三角形各邊長度極難確定.所以，在解題時不妨多嘗試幾種作輔助線構造直角三角形的方法.

其次，在構造出所需的直角三角形后，應審清題意，特別要注意邊之比是否正確.

（2）將角轉換

這種方法就是將一個角轉換至另一個角，轉換的方式也非常多，如本文變式題中利用等腰三角形實現了這一點.除此之外，還有以下幾種方法可將角轉換：

第一，利用全等.

如果有兩個三角形全等，那么可根據“對應角相等”將角轉換.如在證明△ABC≌△DEF后，可得到∠B=∠E，那么cos B=cos E.這種方法需先證明兩個三角形全等，而如何在錯綜復雜的圖形中找到兩個全等的三角形，對學生確實構成了不小挑戰.

第二，利用平行.

如果兩直線平行，那么同位角相等、內錯角相等.所以，可利用平行先得到兩角相等，然后求出其中一個角的三角函數值，就得到了與之相等的角的三角函數值.這一方法主要是利用等量代換，需注意的是，切勿將平行線的性質和判定定理混用.

第三，利用相似.

如果證明了兩個三角形是相似三角形，那么可利用“對應角相等”將角轉換.如證明△ABC∽△DEF后，可得到∠B=∠E，那么cos B=cos E.相對而言，尋找全等三角形比較容易，而證明兩個三角形相似比較困難，因為全等的兩個三角形其形狀相同、大小相同，而相似的兩個三角形則大小不同，學生一般極難區分.

總之，解決問題的思路往往多種多樣，學生是否具備靈活解題的能力是教師應在課堂教學中著重關注的問題.如果能幫助學生突破思維局限，讓學生找到更多、更好的解題方法，那么對學生核心素養的進一步形成與發展將會產生影響[2].

參考文獻：

[1]王云峰.網格中銳角三角函數值的求解策略[J].中小學數學（初中版），2016（Z1）：91-93.

[2]吳慧琳.網格中求銳角三角函數值方法感悟[J].數學學習與研究，2017（19）：141.