直覺猜想：數學題海中的燈塔

摘要：牛頓是現代物理學的開創者和奠基人，同時也是非常著名的數學家.他曾經說過，如果沒有大膽的猜想，就不會有偉大的發現.波利亞也曾說“先猜后證是大多數的發現之道”.由此說明，直覺猜想是解決數學問題的一種非常重要的方法，是解題者陷入思維黑暗后遇到的一座“燈塔”.跟隨這座“燈塔”的指引，就能讓問題得到解決.本文中以一道題為例，探究直覺猜想在其中的應用.

關鍵詞：直覺猜想；思維；邏輯；數學

直覺，顧名思義就是指人最直接的察覺，是人們對世界客觀事物最迅速而直接的感悟、洞察，在數學上可理解為“靈感”.它是一種頓悟，更是一種創造性思維.猜想作為一種合情推理，是一種高層次的直覺，是一種跳躍性思維，是證明的重要前提.波利亞曾在《怎樣解題》中這樣提到過“直覺猜想”——想出一個好念頭是一種靈感活動，是我們觀點上的一次重大突破，是我們看問題方式的一個驟然變動，是在解題步驟中的一個剛剛露頭的有信心的預感[1].由此可見，直覺猜想是解決數學問題的過程中不可或缺的“神秘力量”.

1 思維陷入停頓

如圖1所示，在正方形ABCD中，E是邊BC上的一點，點F在邊CD的延長線上，且BE=DF，連接EF交邊AD于點G.過點A作AN⊥EF，垂足為M，交邊CD于點N.若BE=5，CN=8，則線段AN的長為.

本題的條件不多，其一“正方形ABCD”，其二“BE=DF”，其三“AN⊥EF”，其四“BE=5，CN=8”.在這些條件中，真正能用于探索解題思路的只有前三個.此時，學生思考：

求AN的長，可在Rt△ADN中利用勾股定理計算.但是AD和DN的長度都未知.

至此，學生思維陷入停頓，一時間不知如何突破.

2 直覺猜想

當思維陷入停頓，不妨根據圖形大膽猜想，同時結合對題中所給條件的認真思考，不妨憑借直覺尋找“靈感”.筆者認為，本題有兩個條件值得深思，當然也是“靈感”的來源：

第一，是“BE=DF”這個條件.不妨多思考一個問題——為什么給出“BE=DF”這個條件？或條件“BE=DF”有什么作用？根據解題經驗，題目給出兩條線段相等，無非有兩個作用，一是用來證明全等，二是利用等式的基本性質推導另外兩條線段相等.那么，本題是哪一種？結合圖形不難發現，是用來證明三角形全等.于是，突破了思維瓶頸，想到了“連接AE，AF并證明△ABE≌△ADF”.

第二，是“AN⊥EF”這個條件.觀察圖形，猜想“如果此時EM=FM，那么AN就是EF的垂直平分線”，這對解決本題有很大幫助.這種猜想是否成立呢？其實，結合“BE=DF”條件下的猜想，就可發現本猜想正確.不僅如此，還可進一步啟發思維——“既然AN是EF的垂直平分線，點A和N又是該直線上的點，那么它們到線段EF的兩個端點距離相等，是否可以連接EN”？事實上，這是可以的，并且在問題沒有得到解決之前，任何猜想都有利于思維突破.

3 深入探索

在通過直覺猜想后，有些思路得到了突破.于是，根據剛才的直覺猜想，連接AE，AF，EN，再結合題意觀察圖2進行進一步的探究.

然而，在作輔助線證明兩個三角形全等及AN是EF的

垂直平分線之后，不難發現求AN的長度仍存在思維局限，因為僅靠“BE=5，CN=8”，無法計算出AN的長.

既然要依靠“BE=5，CN=8”計算AN的長，那么AN必然與BE，CN存在聯系.此時，不妨將思路遷移至最初的“求AN的長，可在Rt△ADN中利用勾股定理計算”，那么一定要思考AD與DN之間的關系.恰巧題中已知CN的長，若設DN=x，那么AD的長就可用關于x的代數式表示.至此，問題迎刃而解.

4 解決問題

解析：連接AE，AF，EN.

∵四邊形ABCD是正方形，

∴AB=AD=CD=BC，

∠B=∠C=∠ADN=∠BAD=90°.

又BE=DF，

∴△ABE≌△ADF（SAS）.

∴AE=AF.

∵AN⊥EF，

∴Rt△AME≌Rt△AMF（HL）.

∴EM=FM.

∴AN是EF的垂直平分線.

∴FN=EN.

設DN=x，

∴DC=x+8=AD=BC，FN=x+5.

∵BE=5，

∴CE=x+3.

∵EN=FN=x+5，

在Rt△ECN中，

EC2+CN2=EN2，

∴（x+3）2+82=（x+5）2.

∴x=12=DN.

∴AD=20.

又在Rt△ADN中，AN2=AD2+DN2，

∴AN=122+202=434.

5 啟示

通過例題從思維陷入停頓到直覺猜想，再到深入探索，最后解決問題，我們發現當思維受阻時，直覺猜想能幫助引導思維.這時候，直覺猜想就如同數學題海中的“燈塔”一樣，指引著迷失的我們朝著正確的解題方向前進.

既然直覺猜想的作用如此之大，那么教師在平時教學工作中如何培養學生的直覺猜想能力呢？筆者結合實踐，認為可從以下幾方面入手：

（1）看條件，用經驗想解法

正如本題利用直覺猜想一樣，在看到一個條件之后，教師不妨指導學生先暫停讀后面的條件，將該條件在圖中標出，然后思考“這個條件在題中有什么作用”等問題，并且嘗試由該條件盡可能多地得出結論.待學生由該條件不能想出結論時，再繼續讀后面的條件，直到所有的條件讀完為止.

在本環節中，教師要鼓勵學生大膽說出自己的想法，盡可能多地通過條件得出結論，無論該結論是否對解題有幫助[2].因此，這一方面要求教師的課堂是以學生為主體，另一方面要求教師“舍得”給學生時間思考和交流.

更需注意的是，這里思考和交流的內容可以是由條件能得到怎樣的結論，也可以是題目的解法.這種解法的交流，給予學生解題的經驗，即交流解題經驗，讓學生在分享與交流中尋找思路突破口.

（2）猜結論，跳出題意限制

筆者經常在教學中和學生玩一種“猜一猜”的游戲，并認為該游戲有利于培養學生的直覺猜想.過程如下：

首先，不看題目要求，只看題目條件.這是跳出題意限制的關鍵一步，教師先將題目要求遮住，只保留題意和圖形.然后，讓學生仔細審讀題意中每一個條件.在讀上一個條件時，盡可能想出與之有關的結論.讀到下一個條件時，與上一個結論結合起來思考新的結論.如此繼續下去，待最后一個條件審讀結束，依據諸多條件、結論的相互聯系，學生自己就可得出一些結論，而其中或包括題中的要求，或不包括.若包括，則說明解決了問題；如不包括，則說明比命題者具有更廣泛的思路，跳出了本題的思維局限，擁有了更強的分析能力和解決能力.長時間堅持下去，不僅可激發學生的學習興趣，還能提高他們學習數學的信心[3].最關鍵之處，在于他們脫離了解題的枯燥，享受了思維突破帶來的快樂.

綜上所述，直覺猜想作為人的大腦在數學中表現出來的活動，對分析問題、解決問題具有重要作用.因此，在平時授課過程中，教師要有意識地培養學生的直覺猜想，讓這種思維活動幫助學生尋找解題突破口，進而不斷提高解決問題的能力.

參考文獻：

[1]詹羽.例說數學解題中的直覺與猜想[J].青少年日記：教育教學研究，2014（5）：96.

[2]余錦銀.先猜后證的數學思想在解題中的應用[J].數學教學研究，2007（10）：21-23.

[3]韋相林.數學解題教學中，培養學生\"猜想\"能力的嘗試[J].素質教育論壇，2007（3）：51-52.