例析反比例函數(shù)與幾何圖形結(jié)合類習(xí)題

摘要：反比例函數(shù)是初中數(shù)學(xué)中非常重要的函數(shù)類型，習(xí)題情境千變?nèi)f化.部分習(xí)題與幾何圖形結(jié)合起來設(shè)問，綜合性較強(qiáng).學(xué)習(xí)的過程中，不僅需要牢記反比例函數(shù)的性質(zhì)及圖象，更要注重運(yùn)用所學(xué)推導(dǎo)一般的結(jié)論，以更好地解答反比例函數(shù)與幾何圖形結(jié)合類習(xí)題，提高解題效率.文章選取反比例函數(shù)與三角形、平行四邊形、正方形、圓結(jié)合類習(xí)題，展示解題過程，供參考.

關(guān)鍵詞：反比例函數(shù)；結(jié)合圖形；例析

反比例函數(shù)學(xué)習(xí)的過程中，可以按照反比例系數(shù)k值的正負(fù)，結(jié)合函數(shù)圖象進(jìn)行對比記憶，輔助理解，切實(shí)夯實(shí)基礎(chǔ)[1].考慮到反比例函數(shù)與幾何圖形結(jié)合類習(xí)題在日常測試及中考中屢見不鮮，因此，學(xué)習(xí)的過程中應(yīng)進(jìn)行針對性的訓(xùn)練、總結(jié)，進(jìn)一步挖掘反比例函數(shù)的性質(zhì)，積累相關(guān)的解題經(jīng)驗(yàn).

1 與三角形結(jié)合

反比例函數(shù)與三角形相結(jié)合的習(xí)題主要考查反比例函數(shù)的性質(zhì)、三角形的性質(zhì)等內(nèi)容.部分習(xí)題情境新穎，考查的內(nèi)容是一些比較常用但不容易被關(guān)注的知識點(diǎn)，如反比例函數(shù)的圖象關(guān)于直線y=x對稱等.

例1 如圖1，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，一次函數(shù)y=－x+5和反比例函數(shù)y=4x（xgt;0）的圖象交于A，B兩點(diǎn)，其中在反比例函數(shù)圖象上有一動點(diǎn)P，連接PA，PB，若△PAB的面積為定值，且對應(yīng)的點(diǎn)有且只有3個(gè)，則點(diǎn)P到直線AB的距離為（" ）.

A.22

B.32

C.2

D.3

解析：深入理解△PAB面積為定值的點(diǎn)P有且只有3個(gè)是解題的關(guān)鍵，這表明在點(diǎn)A的上方和點(diǎn)B的下方且在反比例函數(shù)y=4x（xgt;0）的圖象上各有1個(gè)滿足題意的點(diǎn)P（如圖2中的P2和P3）.在線段AB下方，有且只有一個(gè)滿足題意的點(diǎn)P（如圖2中的P1）.

此時(shí)點(diǎn)P1距離原點(diǎn)最近.由反比例函數(shù)圖象的特點(diǎn)可知，P1是直線y=x和反比例函數(shù)y=4x（xgt;0）的圖象的交點(diǎn).由y=x，y=4x，解得x1=2或x2=－2（舍去），則點(diǎn)P1（2，2）.

設(shè)直線y=x和直線y=－x+5的交點(diǎn)為C.由y=x，y=－x+5，解得x=52，y=52，則點(diǎn)C52，52，所以點(diǎn)P1和點(diǎn)C之間的距離即為所求.

而|P1C|=52－22+52－22=22，則點(diǎn)P到直線AB的距離為22，故選：A.

2 與平行四邊形結(jié)合

解答反比例函數(shù)與平行四邊形結(jié)合的習(xí)題時(shí)，應(yīng)注重平行四邊形性質(zhì)的活用，尤其需借助反比例函數(shù)確定對應(yīng)的點(diǎn)，并通過數(shù)形結(jié)合理順解題思路.

例2 如圖3，直線AB和反比例函數(shù)y=kx（xgt;0）的圖象交于點(diǎn)A（2，3），直線AB和x軸交于點(diǎn)B（4，0）.過點(diǎn)B作x軸的垂線BC，交反比例函數(shù)的圖象于點(diǎn)C.若在平面直角坐標(biāo)系中存在一點(diǎn)D，使得以A，B，C，D為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，則點(diǎn)D的坐標(biāo)為.

解析：

根據(jù)題意，將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入反比例函數(shù)的解析式中，可以得到k=2×3=6，則反比例函數(shù)的解析式為y=6x（xgt;0）.點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為4，將其代入y=6x中，得到y(tǒng)=32，則點(diǎn)C4，32.

①當(dāng)點(diǎn)D在點(diǎn)A正下方時(shí)，由平行四邊形的判定定理可知，此時(shí)只需AD=CB.由CB=32，得yD=3－32=32，此時(shí)點(diǎn)D的坐標(biāo)為2，32.

②當(dāng)點(diǎn)D在點(diǎn)A正上方時(shí)，yD=3+32=92，此時(shí)點(diǎn)D的坐標(biāo)為2，92.

③當(dāng)點(diǎn)D在線段BC的右側(cè)時(shí)，要想滿足題意，應(yīng)有xD－xB=xC-xA，yB－yD=yA－yC，解得xD=6，yD=－32，此時(shí)點(diǎn)D的坐標(biāo)為6，－32.

綜上，可知點(diǎn)D為2，32或2，92或6，－32.

3 與正方形結(jié)合

解答反比例函數(shù)與正方形結(jié)合的習(xí)題時(shí)，除了靈活運(yùn)用反比例函數(shù)及正方形的性質(zhì)外，還應(yīng)根據(jù)需要通過添加輔助線構(gòu)造圖形[2].

例3 如圖4，在x軸上方作正方形OABC，其對角線的交點(diǎn)P（m，2）在第一象限，其中雙曲線y=kx（xgt;0）經(jīng)過點(diǎn)P和點(diǎn)C，則m2+2m的值為.

解析：

過點(diǎn)A，P，C分別向x軸作垂線，垂足分別為D，F(xiàn)，E，連接PD，PE，如圖5所示.

由四邊形OABC為正方形，可知∠AOC=90°，則∠DAO+∠AOD=∠EOC+∠AOD=90°，所以∠DAO=∠EOC.又∠ADO=∠OEC=90°，AO=OC，則△DAO≌△EOC（AAS），所以DO=EC，∠AOD=∠OCE.

又∠AOP=∠OCP=45°，則∠AOD+∠AOP=∠OCE+∠OCP，即∠POD=∠PCE.又OP=CP，OD=CE，則△POD≌△PCE（SAS），則PD=PE，∠DPO=∠EPC；又∠OPE+∠EPC=∠OPC=90°，則∠OPE+∠DPO=∠DPE=90°.所以△DPE為等腰直角三角形，則PF=DF=FE.

由點(diǎn)P（m，2），得DO=CE=2-m，OE=2+m，則點(diǎn)C（2+m，2-m）.由雙曲線y=kx（xgt;0）經(jīng)過點(diǎn)P和點(diǎn)C，得2m=（2+m）（2－m），則2m=4－m2，即m2+2m=4，故m2+2m的值為4.

4 與圓結(jié)合

解答部分反比例函數(shù)與圓結(jié)合的習(xí)題時(shí)，既需要對習(xí)題有感性的認(rèn)識，確定思考問題的大致方向，又需要通過計(jì)算、分析，做出理性的判斷.

例4 在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A（x1，y1），B（x2，y2），若x1－x2=y1－y2，則稱點(diǎn)A和點(diǎn)B互為“等距點(diǎn)”.點(diǎn)M是以O(shè)為圓心，2為半徑的圓上一點(diǎn).若反比例函數(shù)y=kx（k≠0）的圖象上存在點(diǎn)M的等距點(diǎn)N，則k的取值范圍為.

解析：

設(shè)點(diǎn)A（x1，y1），B（x2，y2）所在直線和x軸的夾角為α，容易得到tan α=y1－y2x1－x2=1，則該直線和x軸的夾角為45°，可設(shè)該直線為y=x+b.

當(dāng)k＞0時(shí)，如圖6所示，k無論怎么變化，均存在直線y=x+b分別和圓及反比例函數(shù)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)的情況，滿足題意.

當(dāng)k＜0時(shí)，反比例函數(shù)的圖象和圓只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，如圖7所示，容易得出在第二象限交點(diǎn)的坐標(biāo)為（-1，1），代入到反比例函數(shù)的解析式可知k=-1，隨著k值的變小，反比例函數(shù)圖象會遠(yuǎn)離圓，因此，要想滿足題意，應(yīng)有-1＜k＜0.

綜上所述，滿足題意的k的取值范圍為-1＜k＜0或k＞0.

5 總結(jié)

反比例函數(shù)與幾何圖形結(jié)合類的問題情境多變，考查的知識點(diǎn)多而零碎.為更好地解答該類問題，既需要牢記、深入理解相關(guān)的性質(zhì)，又需要進(jìn)行自主探索，發(fā)現(xiàn)、積累一些新的知識，不斷擴(kuò)充知識儲備，為更高效、正確地解題提供指引.

參考文獻(xiàn)：

[1]黃琳珊.反比例函數(shù)與幾何圖形結(jié)合的動點(diǎn)問題探究[J].中學(xué)教學(xué)參考，2024（29）：31-33.

[2]崔濤.反比例函數(shù)與幾何圖形的演繹[J].數(shù)理天地（初中版），2022（19）：25-26，28.