題型技巧歸納 培養應用意識

初中數學中，一元二次方程占據重要地位.學生需全面把握其內容，包括一元二次方程的概念、一般表達式、四種求解方法、根的判別準則、根與系數之間的關系及實際應用等.有關一元二次方程的應用問題，我們對熱點題型結合實例進行詳細剖析，并提煉出針對性的解題技巧，期望不僅有助于學生形成系統的解題思路，還能幫助學生在實踐中加深對知識點的理解和記憶.

1 利用方程研究數字問題

運用方程式探究與數字相關的問題時，需要緊密結合題目給出的數字規律、新定義等元素，列舉出相關的多位數.此外，還需深入理解多位數，將各個數位上的數字各自乘它們所對應的位權值，再將所得結果累加，最后進行計算.

例1 （2024·重慶渝中初三檢測）如果一個四位數m滿足各數位上的數字都不為0，將它的千位上的數字與百位上的數字之積記為S1，十位上的數字與個位上的數字之和記為S2，記G（m）=S1S2，若G（m）為整數，則稱這個四位數為“公正數”.例如：因為G（3 612）=3×61+2=6，6是整數，故3 612是“公正數”;因為G（2 722）=2×72+2=72，72不是整數，所以2 722不是“公正數”.請問：最大的“公正數”是.若自然數m和n都是“公正數”，其中m=7 801+11x（2≤x≤5，且x為整數），n的千位上的數字比百位上的數字大1，十位上的數字比個位上的數字大2，且G（n）=2，規定：K=nG（m）－4，則K的最大值是.

解析：根據題意可知，因為9×9=81，8+1=9，819=9，所以9 981是“公正數”，則最大的“公正數”是9 981.

因為m=7 801+11x（2≤x≤5且x為整數），所以m可為7 823，7 834，7 845，7 856.

又因為m是“公正數”，所以m=7 834，G（m）=7×83+4=8.

因為n的千位上的數字比百位上的數字大1，十位上的數字比個位上的數字大2，所以

設n的百位上的數字為a，個位數上的數字為b，則千位上的數字為a+1，十位上的數字為b+2，其中1≤a≤8，1≤b≤7且a，b為整數，

則n=1 000（a+1）+100a+10（b+2）+b.

因為G（n）=2，

所以a（a+1）2b+2=2，即a（a+1）=4（b+1）.

當b=2時，a（a+1）=12，解得a=3（負根已經舍去）；

當b=4時，a（a+1）=20，解得a=4（負根已經舍去）；其他情況不滿足題意.

①當b=2，a=3時，

n=4 342，

K=n8－4=4 3424=2 1712.

②當b=4，a=4時，

n=5 464，

K=n8－4=5 4644=1 366.

所以K的值為1 366.

點評：本題考查數字的規律、解一元二次方程等知識，求解過程中尤其要注意正確理解“公正數”的定義及數字的設法，方可順利求解.

2 利用方程研究銷售問題

在商品銷售的情境中，我們經常需要根據題目的具體要求，構建出解決問題的方程，并利用其求解.例如，通過明確銷售量、銷售價格與銷售利潤之間的數量關系，可以列出相應的函數表達式，這種關系通常呈現為二次函數的形態.因此，在解答這類問題時，關鍵在于準確地根據已知條件列出函數關系式或方程.

例2 （2024·云南昆明初三聯考）某批發商出售一種成本價為10元/件的商品，市場調查發現，該商品每周的銷售量y（單位：件）與銷售價x（單位：元/件）滿足一次函數y=－10x+400.這種商品每周的銷售利潤為w元.

（1）求w與x的函數關系式；

（2）商家為了盤活資金，減少庫存，要確保這種商品每周的銷售量不少于180件，若這種商品每周的銷售利潤為2 000元，則該商品每周的銷售量是多少？

解析：（1）根據題意，可得

w=（x－10）y=（x－10）（－10x+400）=－10x2+500x－4 000.

（2）若這種商品每周的銷售利潤為2 000元，即w=2 000，則－10x2+500x－4 000=2 000，

解得x1=20，x2=30.由y=－10x+400≥180，解得x≤22.所以x=20.當x=20時，y=－10×20+400=200.

綜上所述，該商品每周的銷售量是200件.

點評：本題主要考查二次函數、一元二次方程及一元一次不等式的應用，求解過程中要注意根據數量關系列出函數關系式及根據等量關系列出方程.

3 利用方程研究圖形面積問題

在求解有關圖形面積的問題時，通常會借助圖形面積的相關公式來構建方程.例如，矩形的面積可以通過“長乘寬”來計算，平行四邊形的面積則是“底乘高”等，然后根據題目的具體要求，找到與圖形相關的性質，并可能需要構建二次函數的解析式來描述這些性質.在此過程中，特別要注意自變量的取值范圍，確保它們符合實際情況.

例3 （2024·天津濱海新初三期中）如圖1，某校勞動實踐基地用總長為80 m的柵欄，圍成一塊一邊靠墻的矩形實驗田，墻長為42 m.柵欄在安裝過程中不重疊、無損耗，設矩形實驗田與墻垂直的一邊長為x（單位：m），與墻平行的一邊長為y（單位：m），面積為S（單位：m2）.

（1）直接寫出y與x，S與x之間的函數解析式（寫x的取值范圍）.

（2）矩形實驗田的面積S能達到750 m2嗎？如果能，求x的值；如果不能，請說明理由.

（3）當x的值是多少時，矩形實驗田的面積S最大？最大面積是多少？

解析：（1）因為2x+y=80，所以y=－2x+80.

S=xy=x（－2x+80）=－2x2+80x.

因為

y≤42，所以－2x+80≤42，所以x≥19，

所以19≤xlt;40.

（2）當S=750時，－2x2+80x=750，

解得x=25或x=15（舍去）.所以當x=25 m時，矩形實驗田的面積S能達到750 m2.

（3）S=－2x2+80x=－2（x－20）2+800，所以當x=20 m時，S有最大值800 m2.

點評：本題考查矩形的性質、二次函數的實際應用，求解過程中尤其要注意自變量的取值范圍.

4 利用方程研究動態問題

在探討動態幾何問題時，首先要依據動點的運動方向和軌跡來確定相關線段的具體長度.隨后，利用這些線段之間的關聯來構建方程，且必須密切關注動點移動后所生成的新圖形，并識別出新圖形中涉及的三角形特性，借助判定定理和性質定理，以及引入一元二次方程來描述這些關系.最后求解一元二次方程，得出問題的答案.

例4 （2024·河北石家莊初三聯考）如圖2所示，在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=30 cm，BC=25 cm，動點P從點C出發，沿CA方向運動，速度是2 cm/s，動點Q從點B出發，沿BC方向運動，速度是1 cm/s.

（1）幾秒后△PCQ與△ABC相似？

（2）設△CPQ的面積為S1，△ABC的面積為S2，在運動過程中是否存在某一時刻t，使得S1∶S2=2∶5？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由.

解析：（1）設y秒后△PCQ與△ABC相似，則CP=2y，BQ=y，所以CQ=25－y.

當△PCQ∽△ACB時，則有CPCA=CQCB，即2y30=25－y25，

解得y=758.

同理當△PCQ∽△BCA時，可得y=12517.

綜上所述，758s或12517s后△PCQ與△ABC相似.

（2）設CP=2t，BQ=t，則CQ=25－t.△CPQ的面積S1=12×CQ×CP=12×2t×（25－t）=－t2+25t，

△ABC的面積S2＝12×AC×BC＝12×30×25=375.

由題意得5（－t2+25t）=375×2，解得，t1=10，t2=15.

綜上所述，運動10 s或15 s時，S1∶S2=2∶5.

點評：本題考查相似三角形的判定和性質及一元二次方程的應用，求解過程中要根據相似三角形的有關性質，合理建立一元二次方程關系式，然后分類討論.

5 歸納總結

上述列舉了常見的有關一元二次方程的應用題型，剖析了這類問題采用的解題思路與基本策略，目的在于幫助學生熟練掌握相關的解題方法，并能夠靈活運用一元二次方程解決一系列實際問題，從而不斷提高數學核心素養.