分類討論思想在初中數學解題中的應用

摘要：初中是小學與高中學習之間的過渡階段，數學學科的題目難度逐漸增加，涉及的知識內容也逐漸拓展了深度和廣度，為了幫助初中學生掌握數學知識技能，打下堅實基礎，數學教師應引導學生掌握多元化數學思想，強化學生的數學學習能力.文章以數學題目解析的形式分析了分類討論思想在初中數學中的應用和價值.

關鍵詞：分類討論思想；初中數學教學；數學解題

分類討論思想是初中數學學習中的重要思想.教師引領學生運用分類討論思想分析問題可以將題目劃分為不同部分，根據不同的問題采取相應的思維方式和解決方式，由此培養學生的良好數學能力.分類討論思想在初中數學解題中的應用可以有效提升學生的思維靈活性，降低學生對問題的理解難度，通過簡化的分類討論法提升學生的理解能力.應用分類討論法解題的關鍵在于找到分類討論的切入點，不同的題型和知識點可以采取對應的分類討論方法.教師在教學中可以通過知識總結和歸納題型的方式，引導學生掌握應用分類討論思想解題的方法.

1 分類討論思想在初中數學解題中的應用意義及應用流程

1.1 分類討論思想應用意義

一方面，分類討論是一種重要的數學思想，也是一種重要的解題策略，體現出化整為零、積零為整的思想和歸類整理的方法，這些都需要初中生掌握，因為這有助于他們挖掘數學對象間的內在規律，也有助于總結歸納知識并將知識條理化，消除學習中的混亂思維，使得思維活躍并體現既定的條理性和概括性.

另一方面，分類討論可以提升解題的嚴謹性，指引學生結合現有依據，使用既定方法進行相應的思考，最終得出正確結果.解題中充分考慮各類條件，從全局視角梳理解題思路，以保證解題的正確性，有效提升學生解題能力.

1.2 分類討論思想應用流程

分類討論思想應用于初中數學解題之前，要確定分類的對象，確保標準統一且不遺漏、不重復，科學劃分主、次，討論不越級.應用流程如下：

（1）確定討論對象及討論范圍；

（2）明確分類標準，完成合理分類，不遺漏、不重復、不互斥，完成對分類種類的逐步討論，獲取階段性成果；

（3）歸納小結，綜合得出結論.

值得一提的是，分類討論思想要貫穿學生數學學習始終，除了利用數學定理、公式等對題目進行探究，也要視情況而定，能夠將復雜問題簡單化.強調學生在解題中多動手、多動腦，且帶有積極態度使用分類討論思想，教師給予應有指導和幫助.

2 分類討論思想在初中數學解題中的應用

2.1 數軸相關問題的分類討論

例1 如圖1，已知數軸上A和B兩點分別對應數值-1和3，數軸上的動點E對應數值設為x，據此解決以下問題：（1）如果點E到點A，B的距離相等，那么點E的對應數值是多少？（2）如果數軸上點E分別到點A和B距離的和是10，求點E對應的值.（3）如果將此數軸對折之后發現-1與3兩個數值對應的點可以重合，據此求出與-3代表的點重合的點的數值.（4）如果數軸上有兩個點為M和N，點M在點N的左側，兩點之間的距離是2 021，且M，N兩點在將數軸對折使-1與3兩個數值對應點重合的前提下也是重合的，求M，N兩點對應的數值[1].

分析：本題考查的是數軸和軸對稱兩個概念的基本性質與應用，同時考查實數的運算.

（1）題目中設定動點E到A，B兩點的距離相等，由此可知E是線段AB的中點，據此可以得出點E的對應數值；（2）在點E分別與A，B兩點距離之和是10的條件下求點E對應的值，需要運用分類討論思想考慮動點E的位置；（3）由問題可得知，當數軸對折-1與3對應的點重合時，對折點的對應數值是1，據此可以得出與-3重合的點的數值；（4）由第（3）問可以得出對折點的對應數值是1，結合M，N兩點之間的距離可以分別得出，N兩點對應的數值[2].

解析：（1）若點E到點A，B的距離相等，則E是線段AB的中點，因此點E對應的數值是1.

（2）點E到A，B兩點的距離之和是10，可以結合數軸進行分類討論，分為點E在點A左邊、點E在線段AB上、點E在點B右邊三種情況.第一種情況，當點E在點A左邊時，點E到點A，B兩點距離之和為10，線段AB的長度是4，由此可得點E到點A的距離為3，據此得出點E對應的數值為-4；第二種情況，點E在線段AB上不符合題目要求；第三種情況，點E在點B的右邊，結合題目中的條件以及線段AB的距離可以得出點E到點B的距離是3，因此點E對應的數值為6.

綜上，可以得出點E對應的數值是-4或6.

（3）根據題目中給出的條件可以先計算出對折點對應的數值是1，-3和1之間的距離是4，5和1之間的距離也是4，據此可以得知-3對應的點與5的對應點重合，因此與-3重合的點的數值為5.

（4）結合題目中給出的條件以及對折點對應的數值是1這一條件可以得出點M與1對應的點之間的距離是1 010.5，點N與1對應的點之間的距離也是1 010.5，據此可算出點M對應的數值為-1 009.5，點N對應數值為1 011.5.

在解決數軸整合應用問題的過程中，由于數軸上動點位置的靈活性，需要運用分類討論思想分析問題、解決問題，分類討論的方式可以更加全面、準確地解決問題，促進數學解題能力的發展[3].

2.2 一元一次不等式相關問題的分類討論

例2 山區中某小學得到慈善機構的資助，為學校的翻新建設以及學生的生活學習環境提供了一批物資，這些物資中包括桌椅和教輔書共640套，桌椅比教輔書多160套，據此解決以下問題.（1）桌椅和書各有多少套？（2）為了將這批物資送到該小學，需要租用A和B兩種不同規格的16輛貨車，A種貨車可以裝載40套桌椅和10套書，B種貨車可以裝20套桌椅和20套書，可以采取什么樣的運輸方案？（3）在上述問題的前提下，A種貨車運費是800元，B種貨車運費是720元，這樣的情況下選擇哪種方法可以支付最少的費用？

分析：本題考查的是結合實際問題情境列出一元一次方程組和不等式并由此解決數學問題的過程，在此過程中可以運用分類討論思想設計不同的方案，尋求最優解[4].

（1）題目中要求計算桌椅和書各自的數量，可以先將二者的數量分別設為x和y，根據二者的總數以及數量差可以列出相應的方程組，通過求解方程組得出桌椅和書的數量；（2）設計運輸方案也就是計算每種車輛所需要的數量，已知兩種貨車總數是16，可以先將A種貨車數量設為a，那么B中貨車數量就是（16-a），根據分類討論思想和不等式相關知識并結合第（1）題中算出的數量可以分析得出，A種貨車與B種貨車裝載桌椅數量總和不少于400，裝載書的數量總和不少于240，據此可以列出不等式組，進而求解可以得出運輸方案；（3）分析費用最少的方案需要先將費用表示出來，設總費用為M元，可以結合題目中的條件以及前兩個問題的結果列出函數解析式，求出函數解析式就可以得到最少費用的方案.

解析：（1）設桌椅x套，書y套，結合題目可以列出方程組x+y=640，x-y=160，由此可得桌椅有400套，書有240套.

（2）設租用A種貨車的數量為a，則租用B種貨車的數量為（16-a），由此可以得出不等式組40a+20（16-a）≥400，

10a+20（16-a）≥240，解得4≤a≤8，于是可知總共有五種方案可選，即A貨車分別是4，5，6，7，8輛，B貨車對應為12，11，10，9，8輛.

（3）確定最少費用的方案，需要先列出計算費用的函數式M=800a+720（16-a）=80a+11 520，費用M的數值隨著a的增加而增加，結合第（2）問中的方案可以得出當a=4時費用最少，為11 840元[5].

分類討論思想可以應用在初中數學解題的方方面面，根據不同的問題情境利用分類討論思想和思維方式設計相應的解題方式，再結合所學數學知識展開相應的數學思考和運算，這樣可以更加完善地分析問題、解決問題.

總而言之，分類討論思想的滲透是初中數學學科核心素養培養的重要途徑，教師在帶領學生學習數學知識技能、解決數學問題的過程中應充分激發學生的創新思維和發散思維，引導學生積極參與開放性問題練習，強化分類討論思想的理解和應用，為數學思想和數學方法的靈活運用打下基礎.

參考文獻：

[1]方茹.分類討論思想在初中數學解題中的應用[J].安徽教育科研，2023（23）：36-38.

[2]任建平.分類討論思想在初中數學解題教學中的運用探究[J].數理天地（初中版），2023（13）：37-38.

[3]陳燕飛.分類討論思想在高中數學解題中的應用[J].數理化解題研究，2023（18）：11-13.

[4]單俠飛.分類討論法在初中數學解題中的有效應用[J].數學之友，2022，36（23）：81-83.

[5]陶潔靜.分類討論思想在初中數學解題中的應用探索[J].數理天地（初中版），2022（20）：6-7.