中考軸對(duì)稱(chēng)問(wèn)題的常見(jiàn)題型分析與探究

摘要：軸對(duì)稱(chēng)問(wèn)題在中考數(shù)學(xué)卷面中的占比雖然不大，但經(jīng)常會(huì)考到.這部分內(nèi)容一般不會(huì)單獨(dú)考查，大多在幾何綜合題中出現(xiàn).除選擇題中對(duì)于對(duì)稱(chēng)圖形的考查比較簡(jiǎn)單外，其他涉及圖形變換的題目都比較難，有關(guān)最值問(wèn)題的一些模型在有些省份每年必考，需要重點(diǎn)掌握.因此本文中對(duì)軸對(duì)稱(chēng)問(wèn)題的常見(jiàn)題型進(jìn)行分析與歸納，以望幫助學(xué)生更全面掌握軸對(duì)稱(chēng)問(wèn)題.

關(guān)鍵詞：軸對(duì)稱(chēng)；中考；題型分析

1 性質(zhì)應(yīng)用題型

1.1 求長(zhǎng)度

這類(lèi)題型需要利用對(duì)稱(chēng)軸是兩個(gè)對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線(xiàn)的垂直平分線(xiàn)這一性質(zhì)，可以結(jié)合題目給出的條件，替換已知的線(xiàn)段，然后求出待求線(xiàn)段的長(zhǎng)度或某個(gè)規(guī)則圖形的周長(zhǎng)［1］.

例1 如圖1，平面中∠AOB外有一點(diǎn)P，分別以O(shè)A和OB為對(duì)稱(chēng)軸作點(diǎn)P的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)Q和R，連接并延長(zhǎng)RQ，分別與OA，OB交于點(diǎn)M，N.已知PM長(zhǎng)為5，PN長(zhǎng)為6，MN長(zhǎng)為8，求線(xiàn)段QR的長(zhǎng).

解：

∵點(diǎn)P，Q關(guān)于OA對(duì)稱(chēng)，

∴MQ=PM=5.

∵點(diǎn)P，R關(guān)于OB對(duì)稱(chēng)，

∴RN=PN=6.

∵M(jìn)N=8，

∴NQ=MN－MQ=8－5=3.

∴QR=RN+NQ=6+3=9.

1.2 求角度

解決求角度類(lèi)型的題目，關(guān)鍵是運(yùn)用軸對(duì)稱(chēng)的兩個(gè)圖形是全等形這一性質(zhì)，得到對(duì)應(yīng)角相等，這類(lèi)題型就迎刃而解［2］.

例2 如圖2，已知∠AOB=50°，P為∠AOB內(nèi)一點(diǎn)，點(diǎn)P關(guān)于OA，OB的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)分別為Q，R，求∠QOR的度數(shù).

解：如圖3，連接OP，因?yàn)辄c(diǎn)P，Q關(guān)于OA對(duì)稱(chēng)，點(diǎn)P，R關(guān)于OB對(duì)稱(chēng)，所以由軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)可知

△QOM≌△POM，

△RON≌△PON.

所以∠QOM=∠POM，∠RON=∠PON.

所以∠QOR=2（∠POM+∠PON）=2∠AOB=2×50°=100°.

2 將軍飲馬題型

這類(lèi)題型的特征是已知兩個(gè)定點(diǎn)和一條定直線(xiàn)，當(dāng)兩個(gè)定點(diǎn)在定直線(xiàn)的同側(cè)時(shí)，要在定直線(xiàn)上確定一點(diǎn)，使得該點(diǎn)到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之和最短［3］.這類(lèi)問(wèn)題的求解要運(yùn)用軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)，將同側(cè)的兩點(diǎn)轉(zhuǎn)為異側(cè)的兩點(diǎn)，然后利用兩點(diǎn)之間線(xiàn)段最短或三角形三邊的關(guān)系來(lái)解決.

例3 已知直線(xiàn)l和A，B兩點(diǎn)，請(qǐng)?jiān)谥本€(xiàn)l上找一點(diǎn)P，使PA+PB最小，并說(shuō)明理由.

解：（1）如圖4-1所示，當(dāng)A，B兩點(diǎn)在直線(xiàn)l的兩側(cè)時(shí)，因?yàn)閮牲c(diǎn)之間線(xiàn)段最短，

所以連接AB，線(xiàn)段AB與直線(xiàn)l的交點(diǎn)即為點(diǎn)P，此時(shí)PA+PB最小.

（2）如圖4-2所示，當(dāng)A，B兩點(diǎn)在直線(xiàn)l的同側(cè)時(shí)，先利用軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)，作點(diǎn)A關(guān)于直線(xiàn)l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A′，再連接BA′，BA′與直線(xiàn)l的交點(diǎn)即為點(diǎn)P，此時(shí)PA+PB最小.

3 周長(zhǎng)最短題型

周長(zhǎng)最短類(lèi)題型的特征，一般是已知一個(gè)定點(diǎn)和兩條直線(xiàn)，或者已知兩個(gè)定點(diǎn)和兩條直線(xiàn)，要求在兩條直線(xiàn)上各找一個(gè)點(diǎn)使構(gòu)成的三角形或四邊形的周長(zhǎng)最短［4-5］.解這類(lèi)問(wèn)題需結(jié)合兩點(diǎn)之間線(xiàn)段最短和軸對(duì)稱(chēng)的知識(shí)，將三角形或四邊形的周長(zhǎng)轉(zhuǎn)換成一條線(xiàn)段的長(zhǎng)，相當(dāng)于求若干條線(xiàn)段的和最小.

例4 如圖5，已知∠AOB內(nèi)有一定點(diǎn)P，試在OA，OB上各找一點(diǎn)M，N，使得△PMN的周長(zhǎng)最短.

解：如圖6，根據(jù)軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)分別作出點(diǎn)P關(guān)于OA，OB的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)Q，R，連接QR，

此時(shí)，QR與OA，OB的交點(diǎn)即為所要找的點(diǎn)M，N，連接PM，PN，此時(shí)△PMN周長(zhǎng)最短，即為QR的長(zhǎng)度.

4 和最小題型

解決和最小類(lèi)題型時(shí)，若已知直線(xiàn)同側(cè)兩點(diǎn)，則作其中一個(gè)點(diǎn)關(guān)于已知直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，轉(zhuǎn)化為在已知直線(xiàn)異側(cè)的兩點(diǎn)，然后連線(xiàn)找交點(diǎn)［6］.若遇到一點(diǎn)兩線(xiàn)或兩點(diǎn)兩線(xiàn)這類(lèi)更為復(fù)雜的問(wèn)題時(shí)，利用軸對(duì)稱(chēng)分別作已知點(diǎn)關(guān)于兩條直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，然后連線(xiàn)找交點(diǎn)解決問(wèn)題.而當(dāng)要求解差最大問(wèn)題時(shí)，則利用軸對(duì)稱(chēng)知識(shí)把直線(xiàn)異側(cè)的兩點(diǎn)轉(zhuǎn)化為直線(xiàn)同側(cè)的兩點(diǎn)，然后作直線(xiàn)找交點(diǎn)［7］.

例5 如圖7所示，在四邊形ABCD中，∠BAD=130°，∠B=∠D=90°，E，F(xiàn)分別是線(xiàn)段BC，DC上的動(dòng)點(diǎn).當(dāng)△AEF的周長(zhǎng)最小時(shí)，求∠EAF的度數(shù).

解：如圖8，作點(diǎn)A關(guān)于BC和DC的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A′和A″，連接A′A″，交BC于點(diǎn)E，交DC于點(diǎn)F，

則A′A″的長(zhǎng)度即為△AEF周長(zhǎng)的最小值.

作DA的延長(zhǎng)線(xiàn)AH.

∵∠BAD=130°，

∴∠HAA′=180°－∠DAB=50°.

∴∠AA′E+∠A″=∠HAA′=50°.

∵∠AA′E=∠EAA′，∠FAD=∠A″，

∴∠EAA′+∠A″AF=50°.

∴∠EAF=130°－50°=80°.

5 造橋選址題型

解答造橋選址問(wèn)題先利用平移化“折”為“直”，再利用異側(cè)兩點(diǎn)確定選址位置.

例6 如圖9所示，一條河流的寬度為3 m，流經(jīng)村莊的時(shí)候恰好是直角轉(zhuǎn)彎（CC′），A，B兩地在東西方向上相距43 m，在南北方向上相距33 m.現(xiàn)要在A，B之間架兩座與河岸垂直的橋DD′，EE′，使得從A到B的路程最短，求橋的位置以及最短路程.

解：如圖10，作AF⊥CD于點(diǎn)F，使AF=DD′，作BG⊥CE于點(diǎn)G，使BG=EE′.又兩座橋與河岸垂直，所以四邊形ADD′F與四邊形BEE′G均為平行四邊形.

而兩點(diǎn)之間線(xiàn)段最短，

即GF最短，即當(dāng)橋建于如圖10所示的位置時(shí)，從A到B的路程最短，且最短路程為

（43－3）2+（33－3）2+2×3=56（m）.

解與軸對(duì)稱(chēng)有關(guān)的問(wèn)題，要抓住軸對(duì)稱(chēng)的定義，熟悉軸對(duì)稱(chēng)圖形的形狀特征和軸對(duì)稱(chēng)性質(zhì)的應(yīng)用［8］.找到問(wèn)題中存在的軸對(duì)稱(chēng)圖形，或者連接圖形中的對(duì)應(yīng)點(diǎn)構(gòu)建出軸對(duì)稱(chēng)圖形，然后運(yùn)用對(duì)稱(chēng)軸與垂直平分線(xiàn)和角平分線(xiàn)的關(guān)系，進(jìn)行線(xiàn)段與線(xiàn)段、角度與角度之間的轉(zhuǎn)換，從而解答問(wèn)題.

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