立足基礎，抓住本質，重點突破

“坐標系內直角三角形的存在性探究”問題綜合性較強、知識點較多、數學思想方法較廣，可以很好地考查學生的綜合知識運用能力，從而受到了中考命題者的青睞，成為了中考的熱門考點.不過，在解決此類問題時，很多學生因為其綜合性強、難度較大而常常望而卻步.在中考復習教學中，教師有必要將相關內容進行整合和重組，通過專題復習幫助學生突破這一重點和難點內容，進而提高學生的數學成績，發展學生的數學能力和思維能力.

1 教學過程

1.1 立足基礎，提煉方法

例1 如圖1，△ABC的三個頂點分別為A（1，1），B（3，2），C（5，－2）.

（1）△ABC是什么三角形？

（2）在y軸上能否找到這樣的點P，使得△PAB是直角三角形？若能，請求出點P的坐標.

師生活動：教師讓學生獨立解決，然后展示學生的思考過程，并及時地進行點評與反饋.對于第（1）問，因為這里的三角形放在網格中，所以學生在求AB，BC，AC的長度時，最易于想到的是構造直角三角形，從而利用勾股定理求出△ABC三邊的長.在此過程中，教師應引導學生從全局視角進行分析，讓學生體會對于此類問題，直接求出三條邊的平方可以優化計算過程，提高解題效率.值得注意的是，教師還要啟發學生思考這樣一個問題：已知兩點的坐標，如何求兩點間的距離？由此引出兩點間的距離公式，從而為研究第（2）問中的動點問題提供依據.當然，在此過程中，教師還可以引導學生對比

不同的解題方法，以此培養學生的最優意識，使其體會特殊與一般的數學思想方法.第（2）問具有一定難度，可能會對一些基礎較為薄弱的學生造成困擾.面對學生的困惑，教師或適時指導，或引導學生合作探究，以此通過師生、生生的有效互動形成解題突破口，增強學生解題的信心.在教師的啟發和指導下，學生通過思考與交流給出如下兩種解題思路：其一，利用幾何法，嘗試構造直角三角形，利用幾何直觀解決問題，但是利用該方法不易求解，可以作為拓展內容讓學生課后繼續探索，本課教學重點是引導學生利用代數方法來研究幾何問題.這里可以假設點P存在，不妨設點P的坐標為（0，t）.又點A（1，1），B（3，2），由此利用兩點間的距離公式及勾股定理可以得到關于t的方程，利用方程思想解決問題.不過，從題設信息來看，這里并未指明哪個點為直角頂點，所以需要分三種情況討論：（1）點P為直角頂點；（2）點B為直角頂點；（3）點A為直角頂點.以點P為直角頂點為例，此時PA2+PB2=AB2，結合這一等式，根據兩點間的距離公式得到一個關于t的方程.若該方程有解，則說明這樣的點P存在，將t代入即可得到點P的坐標；若該方程無解，則說明找不到符合條件的點P.形成解題思路后，教師讓學生以小組為單位，將問題進行到底，然后交流展示.

教學說明：例1難度雖然不大，但是其中蘊含著豐富的數學思想方法，如數形結合思想、分類討論思想、方程思想、轉化思想等.教學中不僅要關注問題的解決，更要關注學生的思考過程，引導學生掌握解題的通法，領悟知識背后的數學思想方法.這樣通過低起點的問題喚醒學生的已有知識和經驗，提高學生的參與度，促進全員全面發展這一教學目標的落實.另外，在此過程中，形成解題思路后，教師要鼓勵學生將問題進行到底.一方面，可以鍛煉學生的運算能力；另一方面，可以調整教學節奏，讓基礎相對薄弱的學生也能跟上教學節奏，體驗數學學習的樂趣.

1.2 變式探究，領會本質

變式1 如圖2，已知拋物線l經過A（1，0），B，C（0，3）三點，其中點B在x軸上.已知點P在拋物線l的對稱軸x=－1上移動，是否存在這樣的點P，使得△PBC為直角三角形？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由.

變式2 如圖3，已知點A，B的坐標分別為（1，1），（5，-2），在直線y=－2x+1上是否能夠找到這樣的點P，使得△PBC是直角三角形？

師生活動：以上變式題目難度不大，符合學生的最近發展區水平.教師讓學生獨立求解，然后交流展示學生的解題過程，并引導學生提煉總結，讓學生發現無論動點在何位置，都可以將問題轉化為方程問題，以此讓學生認清問題的本質，掌握解題的通法.

教學說明：變式1是例1的直接變形，適合基礎較為薄弱的學生；變式2難度略有提升，適合基礎較好的學生.這樣通過小坡度的題目不僅可以達到檢測和鞏固的目的，而且可以讓學生獲得成功的體驗，增強學習信心，從而為深層次的探究作鋪墊.另外，在此過程中，將同一問題放置于不同背景中，讓學生在變化的情境中體驗不變的本質，有利于提升學生的探究欲，促進學生數學能力和思維品質的提升[1].

1.3 構建模型，提升素養

例2 如圖4，已知拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）經過B（3，0），C（0，3）兩點，與x軸交于點A（點A在點B的左側），且拋物線的對稱軸為x=1.

（1）求拋物線的解析式；

（2）Q是直線x=－3上一動點，點P在拋物線上，且位于x軸上方.是否存在這樣的點P，使得∠BPQ=90°，且PB=PQ？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由.

師生活動：第（1）問難度不大，學生可以獨立求解.第（2）問由一個動點變為兩個動點，難度有所提升.解題時若直接從數的角度出發，顯然過于抽象，不易找到解題的突破口.基于此，教師可以啟發學生構造直觀的三角形，從而借助“形”發現解決問題的方向.教學過程中，教師首先鼓勵學生動手畫，然后利用幾何畫板演示，通過調整點P的位置讓學生體會PQ，PB長度的變化，感受動靜關系，體會符合條件的點P是存在的.

不過如何求點P的坐標是一個難點問題，求解過程中，教師讓學生思考這樣兩個問題：①如圖5，分別過點P作垂直于x軸和y軸的垂線，使之與x軸交于點M，交直線x=－3于點N，此時PM，PN滿足怎樣的關系？②設點P（t，－t2+2t+3），PM，PN是否可以用含t的代數式表示？這樣通過適時的啟發和指導將隱藏在題設中的信息顯現出來，有利于降低問題的難度，提升學生解題的信心.在問題的驅動下，學生發現：若PB=PQ，則結合已知條件易證△PNQ≌△PMB，所以PM=PN.同理，當PM=PN時，同樣可以證明△PNQ≌△PMB，所以PB=PQ.顯然問題可以轉化為當PM=PN時，△PBQ是等腰直角三角形.這樣借助PM=PN這一等量關系，同樣可以將問題轉化為方程問題，問題即可迎刃而解.

教學說明：題目主要考查二次函數的圖象與性質、三角形全等、一元二次方程等知識點，讓學生體會數形結合、函數與方程思想方法的重要應用.隨著動點個數的增加，難度也有所提升，這樣通過問題的解決，有利于培養學生思維的嚴謹性和縝密性，讓學生分析和解決問題的能力獲得更高層次的提升.

1.4 課堂小結，融會貫通

課堂小結是內化知識、提升能力的重要途徑.在本課教學中，教師預留時間讓學生思考解題路徑，從而明確解決此類問題的策略，積累解題經驗，實現知識的融會貫通.

2 教學思考

在本專題教學中，教師從學生最近發展區出發，精心挑選題目，通過“低起點、小坡度”的問題逐漸喚醒學生的已有知識和經驗，讓學生在變與不變中形成解題策略，掌握解題通法，充分體驗成功的喜悅，促進學生數學能力和思維能力獲得質的提升.

同時，在本專題教學中，教師重視激發學生的主體作用，給學生以充足的時間思考、探索、交流，從而通過切身體驗獲得解題的方法，增強學生解題的信心.同時，在此過程中，教師充分發揮啟發者和引導者的作用，通過創設問題鏈為學生的思維搭建進階的梯子，讓學生在由淺入深、由易到難的探究中有所收獲、有所發展，實現知識從“樹木”走向“森林”.

總之，在中考專題復習教學中，教師要立足基礎，關注學生基礎知識、基本技能、基本思想方法和基本活動經驗的積累，合理運用“低起點、小坡度”的問題將知識與方法進行串聯與梳理，逐步優化個體知識結構，提高學生分析和解決問題的能力.

參考文獻：

［1］周發勇.初中數學變式教學策略探討[J].數理天地（初中版），2024（3）：83-85.