基于“歸納推理、抽象概括”的運算法則探究

摘要：課程標準指出“對于一些簡單問題，可以通過特殊結果推斷一般結論，形成合乎邏輯的思維習慣;可以通過對現實世界中數量關系的抽象，形成數學法則，并能用數學符號予以表達；可以從具體的問題解決中形成數學的方法與策略”.“有理數的減法”的課時教學旨在運算法則的形成過程中發展歸納推理能力和抽象能力;在運用運算法則的過程中發展數學推理運算能力.

關鍵詞：有理數減法；教學研究

運算是數系擴展的核心.前兩節課學生已學有理數加法法則，本節課探討其逆運算——減法.引入負數后，有理數具有相反數特性，教師可借此將減法轉化為加法，即“減去一個數等于加上此數的相反數”，使加減法統一于加法框架.這是教學的重難點.本設計以數軸平移為出發點，通過幾何直觀推理得出減法轉加法結論，突破難點，幫助學生深刻理解有理數加減運算規則，感受數學歸納與數學化思維魅力.此過程還能提升學生幾何直觀感、邏輯推理能力和規則抽象認知，夯實減法運算法則的運用，增強數學運算能力.

1 教學目標與重難點

教學目標：

（1）能準確理解有理數的減法法則，發展幾何直觀觀念以及推理歸納觀念，培養數學抽象能力.

（2）能有效應用有理數減法法則進行數學運算，進一步發展數學運算能力.

（3）經歷運算法則的探究與解題過程，體會運算法則探究的基本方法和主要思想.

教學重點：理解有理數減法轉化為有理數加法運算定律的合理性推理，得出有理數減法法則，并進行有理數減法運算.

教學難點：抽象理解有理數的減法運算法則，形成運算法則探究的一般方法，掌握基本運算技巧.

2 教學過程設計

2.1 提出問題

問題1 通過對有理數加法運算定律的學習，我們還需要進一步研究哪方面的運算定律？請思考這種運算都具備哪些應用價值？

師生活動：引導學生回想在小學階段接觸到的數字運算過程，通過類比分析自行得出有理數減法的概念，并結合生活實例說明減法的重要性，比如溫度的升降變化等方面.

教學說明：類比小學階段的數字運算定律，幫助學生在邏輯上銜接有理數運算的學習過程，突出數系擴展的必要性.結合實際生活情景，指導學生感受數學既來源于學科內部的發展需求，也應回歸到現實生活的實際需求之中，明確本節課研究的重要主題——有理數的減法運算.

2.2 規劃思路

問題2 如何正確探究出有理數的減法定律？

追問：加法法則是如何經過探究而得出的？

師生活動：學生回顧有理數加法法則的研究過程，從已知到未知、從具體到一般，類比總結適用于減法法則的研究步驟（見圖1）.教師引導學生結合之前的探究經驗，整體規劃有理數減法法則的研究路徑.

教學說明：通過對加法法則探究過程的回顧，引導學生規劃研究有理數減法的步驟，突出在有理數運算教學中強調的數學思想統一性以及思維方法是可以普遍適用于其他數學領域的.

2.3 探究法則

問題3 如果是兩個有理數相減的情況，哪些是我們已經掌握的運算規律，哪些是需要進一步學習的？

師生活動：學生回憶在非負數范圍內，大數減去小數的規律，結合已有加法法則的探究經驗，明確新的研究方向——小數減去大數，以及涉及負數的減法，包括正數減負數、負數減正數、負數減負數、負數減零和零減負數.

教學說明：分層推進，明確減法研究的起點和難點，為后續探究提供清晰的邏輯框架.

追問1：5-3=？你是怎樣想的？

師生活動：學生依據減法定義，結合加法逆運算的特點，推導出5-3=2（即5=3+2）.

教師引導學生結合數軸，利用點的平移演示運算過程：動點從原點出發向右平移5個單位長度，再向左平移3個單位長度，結果到達“+2”的位置；同時引導學生用加法表示該過程，即5+（-3）=2（見圖2）.

追問2：由此可以發現什么？

師生活動：學生通過比較，發現減法可以轉化為加法，即a-b=a+（-b）.

追問3：類比5-3，如何探究3-5=？結論是否類似？

師生活動：學生通過數軸平移法和加法逆運算推導，得出3-5=3+（-5）（見圖3）.

追問4：其他例子如5-（-3），-5-3，-3-（-5）等，是否也能得出類似結論？

師生活動：學生逐步類比探究，通過遷移學習總結其余算式的規律.教師關注學生的獨立思考能力，并及時輔導有困難的學生.最終得出5-（-3）=5+（+3），-5-3=（-5）+（-3），-3-（-5）=-3+（+5），-3-0=-3+0，0-（-3）=0+（+3），0-3=0+（-3），如圖4～圖9.

教學說明：通過具體例子探究抽象規律，將減法運算歸結為加法運算，利用數軸直觀幫助學生理解運算邏輯，發展幾何直觀能力.

問題4 觀察推導出的算式，有什么共同規律？

師生活動：師生共同總結，用文字語言和符號語言歸納出有理數減法法則，即a-b=a+（-b）.

追問：在上述探究過程中，體現了哪些數學思想和方法？

師生活動：師生總結減法法則的推導經歷了從具體到一般、從特殊到普遍的過程，充分體現了歸納推理、抽象概括的研究方法（見圖10）.

教學說明：通過對探究過程的總結，幫助學生體會數學歸納與數學化思想的重要性.將減法運算與加法運算的關系借助數軸上點的平移來直觀呈現，提升學生的邏輯推理能力和抽象思維能力，同時感受數系擴充后運算規律的一致性和美感.

2.4 應用法則

例題 計算：

（1）（－3）－（－5）;

（2）0－7;

（3）7.2－（－4.8）;（4）－312－514.

問題5 請思考有理數減法運算中，第一步操作是怎樣的？你的每一個步驟都有哪些理論依據？為什么要這樣運算？在完成有理數減法運算時，要注意哪些事項？

師生活動：在學生完成例題第（1）小題后，教師提出問題5，得到如圖11所示的結論.

教學說明：明確算理，引導學生在運算中熟練使用運算法則，并將其逐步內化為數學推理運算的能力.

練習 計算：

（1）比2℃低8℃的溫度；

（2）比－3℃低6℃的溫度.

師生活動：分析題意，列式解答.

教學說明：在運用有理數的運算表示和解決實際問題的過程中發展數量關系抽象能力，建立數的運算的模型觀念.

2.5 概括提升

（1）自行總結概括有理數減法法則的主要內容.

（2）有理數減法運算一般的運算步驟都有哪些？每一步運算的理論依據又有哪些？這些步驟與計算方法的由來是什么？

（3）在探究有理數運算法則的過程中，我們經歷了怎樣的數學思維過程，又體驗到了哪些數學思維方法？

師生活動：回顧本節課的知識點、數學思想、數學方法，形成知識框圖（如圖12）.

教學說明：通過問題引導學生從知識聯系、思想方法等方面進行歸納總結，意在讓學生對本節課的學習有更清晰、更系統的認識，形成數學的整體性、思維的系統性.

2.6 遷移應用

問題6 在數軸上，點A，B分別表示數a，b.那么你能發現點A，B之間的距離與數a，b之間究竟存在著什么樣的關系嗎？

追問1：回顧加法運算法則，那么在減法法則探究環節之中，法則規律的探究方法到底是什么？有哪些典型方法呢？

師生活動：通過回顧運算法則后發現，整體過程包括列舉、觀察、歸納、概括.

追問2：怎么列舉特例？

師生活動：在有理數范圍內列舉，兩點表示的數包括的類別有正數和正數、正數和0、正數和負數、負數和負數、負數和0.

追問3：請同學們自己完成問題6的探究，匯報你是怎么思考的，你的結論是什么？

師生活動：學生自主獨立完成探究，匯報補充，形成結論.

教學說明：對數學法則即規律展開探究的核心就是歸納推理與抽象概括，引申到日常教學中，教師有必要將其變為實際操作進行示范，可以促進學生通過模仿的形式來探究有理數減法法則.通過數軸上兩點距離的研究，學生可以將理論應用于實踐.在此過程中，學生自主完成舉例、觀察、歸納和概括的全過程，逐步掌握數學法則的探究步驟和思路.同時，這一過程也進一步培養了學生的邏輯推理能力、抽象概括能力以及對數學思想方法的深刻理解.

3 總結反思

在教育改革背景下，激發學生深度學習、提升數學核心素養成為關鍵課題.鄭毓信提出“深度教學”是數學教育的內在要求與時代高標，教學應引導學生從具體方法邁向一般性思維策略，提升思維品質，助力學生掌握學習方法，培養自主學習能力，讓其成為學習主體.章建躍強調以“大觀念”為核心設計教學，“大觀念”是數學內容、思想與方法的凝練概括，涵蓋多方面本質總結，是學習數學的核心方法論.

本節課遵循單元整體教學理念，聚焦數學邏輯連貫性與方法普遍性，在“大觀念”的引領下，按照如下教學策略組織教學：設置合理情境引出研究對象；引導學生運用類比、抽象方法提出問題，明確起點與路徑；研究結束后深度反思匯總，夯實大觀念；借助大觀念指導，自主探索類似內容.旨在營造深度學習環境，培養學生核心素養.

具體而言，本節課就是以“運算法則的探究方法”為思維策略，采用“長程兩段式”策略，分“教結構”與“用結構”兩階段.在“教結構”階段，通過探究式教學讓學生體驗知識內在結構，形成學習方法；“用結構”階段，學生運用所學方法主動探究類似知識.有理數加法教學是“教結構”的過程，減法是“用結構”遷移.通過小結、歸納等方法，學生初步理解概括法則探究的一般方法，學會用相同思路解決問題，實現大觀念構建.學生利用大觀念自主探究“數軸上兩點間距離”，運用分類列舉、歸納推理等方法，推導距離公式，提升推理與抽象思維能力，深刻體會從具體到一般的數學方法.

參考文獻：

[1]鄭毓信.“數學深度教學”的理論與實踐[J].數學教育學報，2019（5）：24-32.

[2]吳增生.單元整體教學中的若干重要問題及其思考[J].數學通報，2021（9）：20-26.

[3]葉瀾，吳亞萍.“新基礎教育”數學教學改革指導綱要[M].桂林：廣西師范大學出版社，2009.

[4]中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準（2022年版）[S].北京：北京師范大學出版社，2022.

[5]侯偉.構筑大觀念下初中數學項目式學習與教學的有效銜接[J].數學之友，2024（23）：81-84.