重視一、二輪的融通，提高二輪復習效率

筆者以“相似模型與應用”專題復習課為例，談談如何立足一輪知識結構，提高二輪復習的融通性和高效性，發展學生的數學能力和數學素養.

1 教學準備

1.1 學生任務

課前結合一輪復習資料，以小組為單位整理和歸納相似基本模型，并分別用圖形語言和符號語言進行表述，如表1.

教學說明：教師給出示范，讓學生在整理過程中注重知識之間的聯系，提高歸納概括能力和有序思維.

1.2 教師任務

課前收集學生的前置作業，進行梳理和歸納，分析學生存在的問題，精心挑選練習，制定教學目標和教學策略.

教學說明：以學生真實反饋為教學基礎，通過梳理和歸納發現學生存在的問題，以便通過針對性訓練幫助學生查缺補漏，提高二輪復習教學的針對性.

2 教學簡錄

2.1 提煉共性，明確整理實質

師：圖1所示的X字型，若要使兩個三角形相似，是否需要增加條件？如果需要，可以增加什么條件？

（教師投影展示學生總結的常見相似模型.）

生1：圖形中已有一組對頂角相等，若想讓兩個三角形相似，可以增加一組等角.

師：有幾種添加方法？體現什么思想？

生2：有兩種方法，體現了分類思想.

師：還有其他方案嗎？

生2：角的兩條邊對應成比例.

師：很好，有的同學在整理過程中多加了一個圖形，如圖2，與圖1相比，你認為是單獨整理好，還是歸為一類好？

生3：圖2就是X字型，只是外面增加了一個圓，但實質是同一類，所以應該放在一起.

師：如圖2，若想證明兩個三角形相似，是否需要添加什么條件呢？

生4：利用圓周角定理可知∠B=∠C，∠A=∠D，所以這里不需要添加條件即可證明兩三角形相似.

師：很好，有些問題看似不同，但是本質是相同的.在學習過程中，要去除背景，認清問題的本質，這樣往往可以使知識結構簡潔化、清晰化.

教學說明：教師著重引導學生提煉X字型相似模型的特征，歸納總結相似條件，讓學生在變化的圖形中認清不變的本質，以此加深對X字型相似模型的認識，完善個體知識結構.

2.2 整合遷移，優化認知結構

師：如圖3，它是什么型？

生（齊）：K字型.

師：若想證明兩個三角形相似，是否需要添加條件呢？

生5：不需要.根據已知條件，結合相似三角形的判定，可以推導出兩個三角形相似.

師：現在我們將圖3變一變，你認為圖4還是K字型嗎？

生6：圖4與圖3雖然形似，但它不是K字型.

生7：雖然它不是K字型，不過它具有一條直線上有三個等角的特征.

師：若想證明這兩個三角形相似，是否需要添加條件呢？

生8：不需要.與K字型相同，結合外角同樣可以證明兩個三角形相似.

師：那么在總結K字型時，是否可以將其放在一起呢？放在一起體現二者具有怎樣的關系？

生9：可以放在一起，二者放在一起體現了從特殊到一般的關系.

生10：這里將K字型的直角弱化為度數相等的三個角，均滿足“一線三等角”的特征，兩三角形相似.

師：非常好，通過強化或弱化條件進行拓展延伸，往往可以讓我們收獲更多.

師：如圖5所示的雙垂圖，說說你的發現.

…………

師：將圖5中的條件進行弱化，如圖6，∠ADC=∠BAC，你有什么發現？

生11：結合已知條件易證△CAD∽△CBA，所以有AC2=CD·BC.

師：還有同學得到了AB2=BD·BC，AD2=BD·DC，你覺得對嗎？

生12：條件弱化后，另外兩組三角形不一定相似，這樣這兩個等式也就不一定成立了.

師：認真觀察圖6，你認為它還和什么圖形比較像？

師：結合A字型，看看你有什么發現？

在教師的啟發和指導下，學生恍然大悟，一致認為該圖形實際為A字型的特殊圖形，體會到幾個基本圖形之間的聯系.

在此基礎上，教師給出圖7.學生通過觀察發現，圖7實際是由A字型旋轉而來的，由此突出不同圖形之間的聯系.

教學說明：對學生課前作業進行進一步梳理歸納，挖掘圖形間的聯系，讓學生將常見相似模型內化于心，從而為知識的綜合應用打下堅實的基礎.

2.3 課堂練習，提升數學能力

筆者根據一輪復習成果，對易錯點、重點和難點等內容進行整合，精心設計練習，以期通過“用”幫助學生消除誤區、突破難點，提高解題能力.

練習1 如圖8，在△ABC中，四邊形DEFG是它的內接矩形，其中點D，E分別在AB，AC兩邊上，點G，F在BC邊上，過點A作AN⊥BC于點N.根據以上信息，你能從中找到相似基本模型嗎？

學生思考、交流，提煉出基本相似模型.在此基礎上，筆者繼續添加條件：如圖8，若BC=24 cm，AN=16 cm，將矩形DEFG變為正方形DEFG，這個正方形的邊長是多少？

練習2 如圖9，在△ABC中，EF∥AB，過點C作CD∥EF，連接BD.根據以上信息，你能從中找到相似基本模型嗎？

教學說明：通過典型練習，啟發學生將基本相似模型從復雜圖形中抽象出來.同時，在此過程中，通過添加條件，引領學生從已知條件出發，選擇合適的圖形解決問題.

練習3 如圖10所示，在Rt△BAD中，∠BAD=90°，延長斜邊BD至點C，使DC=12BD，連接AC，若tan∠ABC=52，則tan∠CAD=.

練習4 如圖11，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，作AC的垂直平分線，分別交AC，BC和AB的延長線于點D，E，F，且BF=BC.已知圓O為△BEF的外接圓，∠EBF的平分線分別交EF和圓O于點G，H，連接BD，FH，若AD=1，求HG·HB的值.

教學說明：通過綜合性題目的創設，進一步完善學生的知識結構，拓寬學生的視野，增強學生的解題信心，提高學生的綜合思維能力.