“探索相似三角形的條件：黃金分割”教學案例

1 教學分析

1.1 教學內容

本節內容是北師大版數學九年級上冊第四章第4節中“探索相似三角形的條件：黃金分割”.它不僅是線段的比的延續，還與相似三角形有著至關重要的聯系.探究黃金分割，不僅可以進一步培養學生觀察、分析、歸納、概括的能力，更能促進學生審美意識的發展.

1.2 教學目標

（1）能說出黃金分割的概念，知道黃金分割點，能求出黃金分割比，能根據黃金分割的定義和性質計算線段的長度；

（2）通過動手操作，能規范作出一條線段的黃金分割點，能說出黃金矩形和黃金三角形的特征；

（3）通過了解黃金分割的現實意義，探尋其背后承載的文化價值，學會用數學的眼光欣賞世界.

1.3 重點難點

重點：能說出黃金分割的概念，知道黃金分割點，能求出黃金分割比，能根據黃金分割的定義和性質計算線段的長度.

難點：通過動手操作，能作出一條線段的黃金分割點，能說出黃金矩形和黃金三角形的特征.

2 教學過程

2.1 環節一：黃金分割——發現美

展示圖1.

師：（問題1）這是老師在國慶期間出門游玩的時候拍的照片，這四張照片中都有莊嚴而美麗的國旗，你們知道國旗上的五角星象征著什么嗎？

生：大五角星代表共產黨，四個小五角星代表工人、農民、小資產階級和民族資產階級.

師：（問題2）為什么用五角星而不是四角星或六角星或其他角星？

生：因為五角星看起來更美.

師：（問題3）五角星美在何處？本節課我們就從數學的角度揭示它美的本質.接下來我們進入“探索三角形相似的條件：黃金分割”的學習，請同學們先閱讀本節課的學習目標.（板書課題.）

教學說明：問題1的設計旨在對學生進行愛國教育，同時也引出本節課的學習主題；問題2的設計引導學生回答五角星很美；問題3的設計承接了上一問題，同時自然地過渡到下一環節.

2.2 環節二：黃金分割——探索美

展示如圖2所示的五角星圖形.

師：這是一個正五角星，從數學的角度看，它是一個什么對稱圖形？

生：軸對稱圖形、旋轉對稱圖形.

師：請同學們找出圖中有幾種長度不同的線段、幾種大小不同的角？

生：四種長度不同的線段，分別是與線段AL，AC，AB，LC相等的線段；三種大小不同的角，分別是與∠A，∠ALD，∠DLC相等的角.

師：根據這些線段和角的關系，猜想ACAB與BCAC滿足怎樣的數量關系，并證明.

生：相等.連接DC，可知DC∥HB，得△ACD∽△ABH，所以ACAB=ADAH.又因為AD=BC，AH=AC，所以ACAB=BCAC.

師：C點非常特殊，它將線段AB分成較長線段AC和較短線段BC，并且滿足長全=短長，我們把這樣的點C稱為線段AB的黃金分割點，把AC與AB的比叫做黃金比.（展示黃金分割的定義.）

學生理解定義，并在學案上補充完善黃金分割的概念.

師：所以當ACAB=BCAC時，感覺到五角星很美，那么這個比值究竟是多少？請嘗試計算出來.

學生獨立思考，在學案上進行演算.設AB=1，AC=x，則x1=1－xx，解得x1=5－12，x2=－5－12（負值舍去）.

師：請學生講解思路（肯定他們的回答）.黃金比約等于0.618，而長邊與短邊的比值約等于1.618.

教學說明：利用五角星問題，創設一個有利于理解的情境，鼓勵學生思考線段間的比例關系，這樣的探索活動，既充分應用了相似三角形的知識，又自然地引出了黃金分割.

2.3 環節三：黃金分割——應用美

展示圖2.

師：讓我們把目光再次放到五角星上來，在線段AB上有幾個黃金分割點？

生：觀察五角星圖形，得出有點C和L兩個黃金分割點.

師：請計算LEEB和CLKL的值.

生：LEEB=5－12，因為LE=AC，EB=AB.CLKL=5－12.設AB=2，則AC=BL=5－1，所以AL=BC=KL=3－5，CL=25－4，所以CLKL=5－12.

師：（肯定學生的回答）在等腰三角形KLC中，底邊與腰長之比是黃金比，在等腰三角形LEB中，腰長與底邊之比也是黃金比，我們把這樣的三角形稱為黃金三角形.若給出一條線段AB，怎樣找出AB的黃金分割點呢？請同學們以小組為單位，合作討論.

學生小組合作討論，嘗試找出線段的黃金分割點.

師：巡視小組合作情況，并作指導，讓學生思考5的幾何意義，構造兩直角邊分別是1個單位長度和2個單位長度的直角三角形，發現斜邊為5個單位長度.

生：把線段AB看成2個單位長度，作線段AB的垂直平分線交AB于點D，過點B作AB的垂線l，如圖3.以B為圓心，BD的長為半徑畫弧交l于點E，如圖4，連接AE，則斜邊AE的長為5個單位長度.如圖5，以點E為圓心，EB長為半徑，畫弧交AE于點F，則AF的長為（5－1）個單位長度.如圖6，再以A為圓心，AF長為半徑畫弧交AB于點C，則C為線段AB的黃金分割點.

師：這位同學能夠想到用直角三角形來構造5，這種作圖法由數學家海倫提出過，看來這位同學非常有數學家的潛力.還有其他方法嗎？

生：以AB為邊，作一個頂角為36°的等腰三角形，則底角為72°，如圖7.再作∠ACB的角平分線，交AB于點D，則點D是AB的黃金分割點，如圖8.理由是△ACB∽△CDB，則BCAB=BDBC，又因為BC=CD=AD，所以ADAB=BDAD，滿足黃金分割的定義.

師：這位同學的做法很棒，他不僅利用了剛剛所學的黃金三角形知識，還向我們介紹了其中一種黃金三角形的角的特征，即頂角是36°的等腰三角形.看來你們已經具備了從數聯想到形的這一能力，如果給出圖形，相信你們也能從中體會到數的意義.請同學們閱讀課本第98頁黃金分割點的作圖步驟，思考為什么H是線段AB的黃金分割點.

生：類比上面作圖的原理.設AB=2，則AE=1，由勾股定理得BE=5.

所以EF=BE=5，AH=AF=BE-AE=5-1，BH=AB-AH=3-5.

所以AH2=AB瘙簚BH，即AHAB=BHAH.

師：（肯定學生的回答）這種作法叫做歐幾里得作圖法.

教學說明：得出黃金分割的定義后，再次回歸到五角星中，提問一條線段有幾個黃金分割點和計算線段的比值，意在進一步讓學生體會黃金分割點的定義；之后讓學生合作討論“如何作出一條線段的黃金分割點”，意在讓學生從形的角度理解5－12的意義，開闊學生的視野，提升學生的思維品質.同時采用小組合作，動手嘗試，激發學生的動手能力和探索興趣.

2.4 環節四：黃金分割——感受美

師：通過剛剛找黃金分割點的活動，相信你們已經更加深刻地理解了黃金分割，事實上，黃金分割早在古希臘時期就已經應用于建筑領域中了.圖9是古

希臘時期的巴臺農神廟，如果把圖9中用虛線表示的矩形畫成圖10中的ABCD，以矩形ABCD的寬為邊在其內部作正方形AEFD，那么我們可以驚奇地發現BEBC=BCAB.思考：（1）點E是線段AB的黃金分割點嗎？（2）矩形ABCD的寬與長的比是黃金比嗎？

生：根據BC=AE可知點E是AB的黃金分割點，矩形ABCD的寬與長的比是黃金比.

師：我們把寬與長的比是黃金比的矩形稱為黃金矩形.

師：矩形EBCF是黃金矩形嗎？

生：矩形EBCF是黃金矩形.

師：對矩形ABCD以BC為邊作正方形，再以EB為邊長作正方形，以此類推，將正方形的對角線用曲線連接起來，能得到什么呢？展示作圖步驟，得出黃金螺旋構圖也稱為斐波那契螺線（如圖11）.下面通過一個小視頻，一起來了解一下黃金分割在各個領域中的應用（播放現實生活中利用黃金分割的例子）.

學生觀看現實生活中利用黃金分割的視頻，感受黃金分割的魅力.

教學說明：古希臘時期的巴臺農神廟，這一歷史文化與黃金分割有關，意在展示黃金分割的文化價值，同時借此引出黃金矩形這一概念，在此基礎上提出黃金螺旋構圖，進而發現黃金分割在現實生活中的應用極為廣泛.從歷史中的美，到用數學的語言揭示美，最后又應用于生活，旨在讓學生用數學的眼光欣賞世界.

2.5 課堂小結：黃金分割——收獲美

師：通過本節課的學習，相信你們在數學知識、數學思想方法和情感體驗等方面都有了深刻的認識和收獲，請同學們談談你們的想法？

生1：知道了黃金分割點，即將一條線段分成長短兩條線段，滿足長∶全=短∶長=5－12.

生2：在整個探索過程中，用到了比例思想和數形結合思想，也知道了黃金分割應用于各個領域，如建筑、攝影、自然界等.

師：兩個同學都回答得很好！黃金分割的發現和研究經歷了漫長的歷史過程，在學習中我們了解到古代數學家對黃金分割的探索和貢獻，這激勵著我們要有探索未知的精神，勇于追求真理.老師也想借此送給你們幾句話，從幼兒園到大學畢業有將近19年的求學生涯，而黃金分割點恰好就是九年級的這一年，希望你們能夠把握好這黃金分割的一年，實現人生的飛躍.最后老師將本節課的內容寫成了一首打油詩：

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整體兩分呈妙比，

長比全兮若短長.

十九春秋求學路，

九年奮斗恰當中.

教學說明：幫助學生養成系統整理知識的習慣，加深認識，深化提高，形成自己的知識體系.同時結束語中再次引入黃金分割點，將其與現實生活相結合，達到激勵學生的目的.