淺談函數單調性在高考中對關鍵能力的考查

函數單調性作為高中數學必備知識，非常重要.考查該知識點的題目在今年全國高考各個考卷中均有出現.考查的題型可以為選擇題、填空題或解答題，考查形式表現十分豐富和靈活.函數單調性承載著邏輯推理及數學抽象兩大核心素養的考查，有的以分段函數為載體出現，有的以導數為載體出現，有的以不等式為載體出現.想要解決以上問題，需要具備哪些關鍵能力呢？函數單調性主要涉及定義的理解和推導及函數圖像等知識點，其中對單調性定義的理解及運用是關鍵能力.下面以2024年高考題為研究對象，讓我們逐一探究.

【題型一】以分段函數形式考查

【2024年新課標全國Ⅰ卷6】已知函數f（x）=－x2－2ax－a，xlt;0ex+ln（x+1），x≥0在R上單調遞增，則a的取值范圍是（" ）

A. （－∞，0］"""" B. ［－1，0］

C. ［－1，1］" D. ［0，+∞）

【分析】本題考查分段函數的單調性，綜合性較強，涉及二次函數的單調性及對稱軸、指數函數的單調、對數函數的單調性，以及分界點處的大小關系等內容，列出滿足以上條件的不等式組，解出即可.

【詳解】x≥0時，y=ex單調遞增，y=ln（x+1）單調遞增，因此fx=ex+lnx+1單調遞增.且y=－x2－2ax－a開口向下，因此其對稱軸要滿足大于或等于零，否則會出現遞減區間.同時因為fx在R上單調遞增，在y=－x2－2ax－a和y=ex+ln（x+1）的分界點處左邊要比右邊低或相等，即當x=0時，－02－0－a≤e0+ln（0+1）.

則需滿足－－2a2×－1≥0，－a≤e0+ln1，，解得－1≤a≤0，即A的范圍是［－1，0］.故選：B.

【點評】1.本題主要考查分段函數的單調性，由始至終都離不開函數單調性的定義：一般地，設函數f（x）的定義域為I，區間DI：如果x1，x2∈D，當x1lt;x2時，都有f（x1）lt;f（x2），那么就稱函數f（x）在區間D上單調遞增.（x1，x2∈D，當x1lt;x2時，都有f（x1）gt;f（x2）即為單調遞減）

2.對于分段函數的單調性問題，一定要注意分界點處兩邊的大小也要滿足單調性的定義.

3.函數單調性的常見規律：兩個遞增函數的和是遞增函數，兩個遞減函數的和是遞減函數.因此本題 有：x≥0時，y=ex單調遞增，y=ln（x+1）單調遞增，因此f（x）=ex+ln（x+1）單調遞增.

【題型二】結合導數內容考查

【2024年新課標全國Ⅰ卷10】設函數f（x）=（x－1）2（x－4），則（" ）

A. x=3是f（x）的極小值點

B. 當0lt;xlt;1時，f（x）lt;fx2

C. 當1lt;xlt;2時，－4lt;f（2x－1）lt;0

D. 當－1lt;xlt;0時，f（2－x）gt;f（x）

【分析】求出函數fx的導數，研究單調性后可得到極值點，即可判斷A；利用函數的單調性可判斷B；根據函數fx在1，3上的值域即可判斷C，也可以根據函數的單調性進行判斷；直接作差可判斷D.

【詳解】因為函數fx的定義域為R，而f′x=2x－1x－4+x－12=3x－1x－3，

易知當1lt;xlt;3時，f′xlt;0，當xlt;1或xgt;3時，f′xgt;0，函數fx在－∞，1上單調遞增，在1，3上單調遞減，在3，+∞上單調遞增，故x=3是函數fx的極小值點，所以A正確；

對B，當0lt;xlt;1時，fx單調遞增，此時xgt;x2，由單調性可得fxgt;fx2，所以B錯誤；

對C，當1lt;xlt;2時，1lt;2x－1lt;3，而f（3）=－4，f（1）=0，從而轉化為比較f（3），f（2x－1），f（1）三者的大小.而由上可知，函數fx在1，3上單調遞減，所以f1gt;f2x－1gt;f3，即－4lt;f2x－1lt;0，故C正確；

對D，當－1lt;xlt;0時，難以比較x與2－x的大小，因此考慮函數值作差：f（2－x）－f（x）=1－x2－2－x－x－12x－4=x－122－2xgt;0，

所以f（2－x）gt;f（x），D正確；

故選：ACD.

【點評】1.導函數的值與函數的單調性密切相關：導數大于零的區間，函數單調遞增.導數小于零的區間，函數單調遞減.

2.選項B，C都是利用函數的單調性比較函數值的大小，其中C選項要把函數值轉化為自變量.

【題型三】以比較大小的形式考查.

【2024年天津卷5】若a=42－03，b=4203，c=log4202，則a，b，c的大小關系為（" ）

A.agt;bgt;c"" B. bgt;agt;c

C. cgt;agt;b" D. bgt;cgt;a

【分析】本題考查指數和對數的大小比較，利用指數函數和對數函數的單調性分析判斷即可.

【詳解】因為42gt;1，所以y=42x在R上遞增，同時指數函數的性質可知y=4xgt;0.因為－03lt;03，由單調性可得0lt;42－03lt;4203，即0lt;alt;b，因為y=log42x在（0，+∞）上遞增，且02lt;1，所以log4202lt;log421=0，即clt;0.

所以bgt;agt;c，故選：B

【點評】 1.要熟悉指數函數和對數函數的單調性性質：對于agt;1，y=ax在R上遞增，y=logxa在（0，+∞）遞增.對于0lt;alt;1，y=ax在R上遞減，y=logxa在（0，+∞）遞減.

2.利用單調性比較大小時常用中間值1和0輔助比較，本題用到0.即clt;0，0lt;alt;b，通過0可知c小于a和b.

【題型四】結合基本不等式考查

【2024年北京卷9】 已知x1，y1，x2，y2是函數y=2x的圖像上兩個不同的點，則（" ）

A. log2y1+y22lt;x1+x22

B. log2y1+y22gt;x1+x22

C. log2y1+y22lt;x1+x2

D. log2y1+y22gt;x1+x2

【分析】根據指數函數和對數函數的單調性結合基本不等式分析判斷AB；舉反例判斷CD即可.

【詳解】由題意不妨設x1lt;x2，因為函數y=2x是增函數，所以0lt;2x1lt;2x2，即0lt;y1lt;y2，

對于選項AB：可得2x1+2x22gt;2x12x2=2x1+x22，即y1+y22gt;2x1+x22gt;0.根據函數y=log2x是增函數，所以log2y1+y22gt;log22x1+x22=x1+x22，故B正確，A錯誤；

對于選項C：例如x1=0，x2=1，則y1=1，y2=2，可得log2y1+y22=log232∈0，1，即log2y1+y22lt;1=x1+x2，故C錯誤；

對于選項D：例如x1=－1，x2=－2，則y1=12，y2=14，可得log2y1+y22=log238=log23－3∈－2，－1，即log2y1+y22gt;－3=x1+x2，故D錯誤，

故選：B.

【點評】1.本題將指數和對數的單調性結合基本不等式考查，難度較大.

2.C和D選項，代入特殊值用排除法.

【題型五】以抽象函數為載體考查

【2024年上海卷16】已知函數f（x）的定義域為R，定義集合M={x0x0∈R，x∈－∞，x0，fxlt;fx0}，在使得M=－1，1的所有fx中，下列成立的是（" ）

A. 存在fx是偶函數

B. 存在fx在x=2處取最大值

C. 存在fx是嚴格增函數

D. 存在fx在x=－1處取到極小值

【分析】本題涉及單調性的概念，以抽象函數為載體考查，此類題可采用化抽象為具體的方法應對，以一個符合題目要求的具體函數作為研究對象，那問題就迎刃而解了.

【詳解】由題目要求M={x0x0∈R，x∈－∞，x0，fxlt;fx0}，在使得M=－1，1，滿足以上要求的函數可以為f（x）=－3，xlt;－1x，－1≤x≤11，xgt;1

對于A，明顯以上函數不關于y軸對稱， 故A錯誤；

對于B，當xlt;－1時，則f（x）=－3，當－1≤x≤1時，fx∈－1，1，當xgt;1時，fx=1，

則該函數fx的最大值是f2，則B正確；

對C，假設存在fx，使得fx嚴格遞增，則M=R，與已知M=－1，1矛盾，因此不存在fx是嚴格增函數，故C錯誤；

對D，假設存在fx，使得fx在x=－1處取極小值，則在－1的左側附近存在x1，使得f（x1）gt;f（－1），這與已知集合M的定義矛盾，故D錯誤.

故選：B.

【點評】1.遇到抽象函數的題目可采用化抽象為具體的方法應對，以一個符合題目要求的具體函數作為研究對象

2.遇到抽象函數的題目多用數形結合的方法解題.

3.給出新定義的題目要緊緊扣住新定義思考問題.

【題型六】以恒成立問題為載體考查

【2024年全國甲卷文科數學20】 已知函數fx=ax－1－lnx+1．

（1）求fx的單調區間；

（2）當a≤2時，證明：當xgt;1時，fxlt;ex－1恒成立．

【分析】（1）求導，含參分類討論得出導函數的符號，從而得出原函數的單調性；

（2）先根據題設條件將問題可轉化成證明當xgt;1時，ex－1－2x+1+lnxgt;0即可.

【詳解】（1）f（x）定義域為（0，+∞），f′（x）=a－1x=ax－1x

當a≤0時，f′（x）=ax－1xlt;0，故f（x）在（0，+∞）上單調遞減；

當agt;0時，x∈1a，+∞時，f′（x）gt;0，f（x）單調遞增，

當x∈0，1a時，f′（x）lt;0，f（x）單調遞減.

綜上所述，當a≤0時，f（x）的單調遞減區間為（0，+∞）.

agt;0時，f（x）的單調遞增區間為1a，+∞，單調遞減區間為0，1a.

（2）a≤2，且xgt;1時，ex－1－f（x）=ex－1－a（x－1）+lnx－1≥ex－1－2x+1+lnx，

令g（x）=ex－1－2x+1+lnx（xgt;1），下證g（x）gt;0即可.

g′（x）=ex－1－2+1x，再令h（x）=g′（x），則h′（x）=ex－1－1x2，

顯然h′（x）在（1，+∞）上遞增，則h′（x）gt;h′（1）=e0－1=0，

即g′（x）=h（x）在（1，+∞）上遞增，

故g′（x）gt;g′（1）=e0－2+1=0，即g（x）在（1，+∞）上單調遞增.

故g（x）gt;g（1）=e0－2+1+ln1=0，問題得證.

【點評】1.第1小問為考查含參數的函數單調性，一般通過分類討論的辦法解決.

2.第2小問恒成立問題往往轉化為求最值問題.

3.第2小問證明g（x）gt;0的過程中運用了二次求導，即利用導數的單調性求得g′（x）gt;0，再得到g（x）的單調性，從而求得g（x）的最小值.

【備考建議】

1.考查函數的單調性，由始至終都離不開函數單調性的定義：一般地，設函數fx的定義域為I，區間DI：如果x1，x2∈D，當x1lt;x2時，都有f（x1）lt;f（x2），那么就稱函數fx在區間D上單調遞增.（x1，x2∈D，當x1lt;x2時，都有f（x1）gt;f（x2）即為單調遞減）.

2.對于分段函數的單調性問題，一定要注意分界點處兩邊的大小也要滿足單調性的定義.

3.函數單調性的常見規律：兩個遞增函數的和是遞增函數，兩個遞減函數的和是遞減函數..

4.導函數的值與函數的單調性密切相關：導數大于零的區間，函數單調遞增.導數小于零的區間，函數單調遞減.

5.要熟悉指數函數和對數函數的單調性性質：對于agt;1，y=ax在R上遞增，y=logxa在（0，+∞）遞增.對于0lt;alt;1，y=ax在R上遞減，y=logxa在（0，+∞）遞減.

6.利用單調性比較大小時常用中間值1和0輔助比較.

7.考查含參數的函數單調性，一般通過分類討論的辦法解決.

8.恒成立問題往往轉化為求最值問題.

【專項訓練】

1．已知函數f（x）=ax，xlt;0（a－2）x+3a，x≥0若f（x）為R上的減函數，則a的取值范圍是（" ）

A．（0，13］""""" B．［13，1）

C．0，1 D．－∞，2

2．已知函數y=f（x）是偶函數，且y=f（x－2）在＼[0，2＼]上是單調減函數，則f（0），f（-1），f（2）由小到大排列為（" ）

A．f（0）lt;f（－1）lt;f（2）""" B．f（－1）lt;f（0）lt;f（2）

C．f（－1）lt;f（2）lt;f（0）"""" D．f（2）lt;f（－1）lt;f（0）

3．設x=402，y=12－12，z=lg5，則（" ）

A．zlt;xlt;y ""B．zlt;ylt;x

C．ylt;zlt;x" D．xlt;zlt;y

4．已知函數f（x）=alnx－1x，a∈R．

（1）求函數fx的單調區間；

（2）當a=1，且x≥2時，證明：fx－1≤2x－5．

【答案】

1.由函數f（x）=ax，xlt;0（a－2）x+3a，x≥0為R上的減函數，得0lt;alt;1，a－2lt;0，1≥3a，解得0＜a≤13，

故選：A.

2.由題意，得函數y=f（x－2）向左平移2個單位得y=f（x），又y=f（x－2）在＼[0，2＼]上是單調減函數，所以函數y=f（x）在＼[-2，0＼]是減函數，又函數y=f（x）是偶函數，所以f（2）=f（-2），所以f（0）＜f（－1）＜ f（-2），即f（0）lt;f（－1）＜ f（2），故選A．

3.由題意，z=lg5lt;lg10=1，x=40.2=20.4，y=12－12=205，

因為y=2x在R上是增函數，所以20.5gt;20.4gt;1，所以zlt;xlt;y.故選：A.

4.（1）由于f′（x）=ax+1x2．當a≥0時，對于x∈（0，+∞），有f′（x）gt;0在定義域上恒成立，

即f（x）在（0，+∞）上是增函數．

當alt;0時，由f′（x）=0，得x=－1a∈（0，+∞）．

當x∈0，－1a時，f′（x）gt;0，f（x）單調遞增；

當x∈－1a，+∞時，f′（x）lt;0，f（x）單調遞減．

（2）當a=1時，f（x－1）=ln（x－1）－1x－1，x∈［2，+∞）．

令g（x）=ln（x－1）－1x－1－2x+5． 求導得：g′（x）=1x－1+1（x－1）2－2=－（2x－1）（x－2）（x－1）2．

當xgt;2時，g′（x）lt;0，g（x）在（2，+∞）單調遞減．

又g2=0，所以g（x）在（2，+∞）恒為負．

所以當x∈［2，+∞）時，g（x）≤0即ln（x－1）－1x－1－2x+5≤0．

故當a=1，且x≥2時，f（x－1）≤2x－5成立．

【作者簡介：高中數學高級教師，被聘為華南師范大學本科生實踐導師，佛山市順德區數學兼職教研員】

責任編輯 "徐國堅