配速法分析帶電粒子在復合場中的擺線運動臨界問題

擺線是指一個圓沿一直線緩慢地滾動，圓上一固定點所經過的軌跡.近幾年高考出現了帶電粒子在復合場中受不為零的恒力，導致粒子的速度大小改變，洛倫茲力隨著變化，使粒子做比較復雜的擺線運動.下面通過配速法分析帶電粒子在電場、磁場或重力疊加場中擺線運動的規律，并闡述其臨界條件．

1.初速度為零的帶電粒子在復合場中擺線運動的臨界條件分析

如圖1（a）所示，空間存在垂直紙面向里的勻強磁場，磁感應強度大小為B.一質量為m、電荷量為+q的帶電粒子由靜止釋放，粒子重力不能忽略.應用運動的合成與分解的知識，把初速度為零的速度，分解為水平向右的分速度v和水平向左的分速度v，其中水平向右的速度v對應的洛倫茲力等于重力，即mg=Bqv，則v=mgqB，如圖1（b）所示，粒子向右做勻速直線運動.建立如圖2所示的直角坐標系，以圓上定點的初始位置為坐標原點0，向左的分速度v導致粒子受到另一個洛倫茲力，在豎直平面內做逆時針的勻速圓周運動且半徑r=m2gq2B2，周期T=2πmqB，每經歷一個周期T，粒子的水平位移為x=vT=2πm2gq2B2，粒子離水平軸最遠的距離d=2r=2m2gq2B2；當粒子的勻速直線運動和勻速圓周運動速度v同向時，則粒子的速度最大vmax=v+v=2v；當粒子的勻速直線運動和勻速圓周運動速度v反向時，速度最小vmin=v-v=0.這樣把復雜的擺線運動分解為兩個比較常見的運動，這種方法叫配速法．

【例1】如圖3（c）所示，某空間內存在電場強度大小E=100V/m、方向水平向左的勻強電場和磁感應強度大小B=100T、方向垂直紙面向里的勻強磁場.一質量m=01kg、帶電量q=001C的小球從0點由靜止釋放，到達點0′時速率恰好為零，g取10m/s2.求：

（1）小球運動過程中的最大速率；

（2）小球運動過程中距離00′的最大距離ym；

（3）00′的長度及方向．

【解析】（1）如圖3（d）所示，把初速度為零的速度，分解成一個斜向左上方的速度v和一個斜向右下方的速度v，其中斜向右下方的速度v對應的洛倫茲力等于電場力和重力的合力，即Bqv=

（mg）2+（qE）2，則v=（mg）2+（qE）2Bq=2m/s，小球在斜向右下方的方向做勻速直線運動.斜向左上方的分速度v導致小球受到洛倫茲力，在豎直平面內做逆時針的勻速圓周運動，且半徑r=mvBq=210m.當做勻速直線運動的速度和勻速圓周運動速度v同向時，則最大速率vmax=2v=22m/s.

（2）小球運動過程中距離00′的最大距離

ym=2r=2mvBq=2210m．

（3）如圖3（c）所示，經歷一個周期T后，粒子在沿斜向右下方v方向的位移為00′=vT=2πmvBq=22π10m.設00′偏離水平方向夾角為θ，如圖3（d）所示，則tanθ=qEmg=1，故θ=45°．

2.初速度不為零的帶電粒子在復合場中的擺線運動臨界條件分析

（1）帶電粒子以某初速度沿豎直方向射出

如圖4所示，空間存在垂直紙面向里的勻強磁場和豎直向下的勻強電場，磁感應強度和電場強度的大小分別為B和E.一質量為m、電荷量為+q的帶電粒子以速度v0豎直向上射出，如圖4所示，把初速度v0分解為一個水平向右的速度v1和一個斜向左上方的速度v2.如圖5（e）所示，水平向右的速度v1對應的洛倫茲力等于電場力，即mg=Bqv1，則v1=mgqB，粒子向右做勻速直線運動.分速度v2導致粒子受到另一個洛倫茲力，粒子在豎直平面內做逆時針的勻速圓周運動且半徑r=mv2Bq=

mv20+v21Bq.粒子的運動軌跡如圖5（f）所示．

當帶電粒子以速度v0豎直向下射出，其運動軌跡與圖5（f）類似，但圖像對稱向下．

（2）帶電粒子以某初速度沿水平方向射出

如圖6所示，已知一質量為m、電荷量為+q的帶電粒子以水平初速度v0向右運動，勻強磁場垂直紙面向里，現討論帶電粒子在磁場和重力疊加場中的運動軌跡．

①當Bqv0＜mg，即0＜v0＜mgBq時，如圖7（g）所示，把初速度v0分解為一個水平向右的速度（v0+v）和一個向左的速度v.水平向右的速度（v0+v）對應的洛倫茲力等于重力，即mg=Bq（v0+v），粒子向右做勻速直線運動.向左分速度v導致粒子受到另一個洛倫茲力，在豎直平面內做逆時針的勻速圓周運動.粒子的運動軌跡如圖7（h）所示．

②當Bqv0=mg，即時v0=mgBq，粒子的運動軌跡是一條直線.因此，v0=mgBq是粒子的運動軌跡上下偏離橫軸的臨界點．

③當Bqv0＞mg，即v0＞mgBq時，如圖8所示，把初速度v0分解為一個水平向右的速度（v0-v）和一個向右的速度v.水平向右的速度v對應的洛倫茲力等于重力，即mg=Bqv，粒子向右做勻速直線運動.向右分速度（v0-v）導致粒子受到另一個洛倫茲力，粒子在豎直平面內做逆時針的勻速圓周運動．

Ⅰ.當mgBq＜v0＜2mgBq，則在最高點向右勻速直線運動的速度v=mgBq大于勻速圓周運動的速度（v0-v），粒子一直向右運動，其運動軌跡如圖9所示．

Ⅱ.當v0=2mgBq時，則在最高點v=mgBq=（v0-v），粒子的運動軌跡如圖10所示.因此，v0=2mgBq是粒子的速度是否出現反向的臨界點．

Ⅲ.當v0＞m2gBq，則在最高點向右勻速直線運動的速度v=mgBq小于勻速圓周運動的速度（v0-v），粒子做勻速直線運動的速度出現反向運動，其軌跡如圖11所示．

【例2】在地面上方某處的真空室里存在著一個垂直于紙面向外的勻強磁場，建立如圖12所示的平面直角坐標系.一質量為m、電荷量為+q的微粒在原點以速度

v0=26gl3沿與x軸成α=60°斜向左下方運動，磁感應強度的大小B=mq3g2l，該磁場有理想的下邊界，其他方向范圍無限大，已知重力加速度為g.求：

（1）欲使微粒不從磁場下邊界穿出，該磁場下邊界的y軸坐標值應滿足什么條件？

（2）微粒在運動過程中的最大速率？

【解析】（1）微粒在原點的速度v0分解為水平分速度v1和豎直分速度v2，則v1=v0cos 60°=2gl3，v2=v0sin60°=2gl.如圖13所示，對于水平分速度v1，其所對應的洛侖茲力分力的大小為f1=qv1B=q·23gl·mq3g2l=mg，方向豎直向上，即與重力恰好平衡，則微粒以速度v1向左做勻速直線運動.豎直分速度v2所對應的洛倫茲力分力的大小為f2=qv2B=q·2gl·mq3g2l=3mg，則微粒在豎直方向分運動可看作在洛侖茲力的另一個分力作用下做順時針的勻速圓周運動，由qv2B=mv22r，解得半徑為r=mv2qB=233l.微粒在0點豎直分速度v2向下，其軌跡距x軸的最大豎直距離為圓的半徑r.欲使微粒不從磁場的下邊界穿出，磁場下邊界的y坐標值應滿足y≤-r=-233l．

（2）微粒在磁場中的運動可視為水平向左的勻速直線運動和向左順時針勻速圓周運動的合運動.當兩分運動速度在最低點同向時，微粒達最大速率

vmax=v1+v2=（1+33）2gl．

【作者簡介： 李葉賢，中學物理高級教師，教育碩士，研究方向為物理教學和教法，在市級教學設計競賽和市級實驗資源征集活動中獲一等獎，在《物理教師》《物理教學》《物理教學探討》《物理通報》《廣東教育》等刊物發表論文13篇】

責任編輯 李平安