對2024年高考一道三角解答題的思考

一、試題分析

（2024年高考數學新課標Ⅰ卷第15題）記ΔABC內角A、B、C的對邊分別為a，b，c，已知sinC=2cosB，a2+b2－c2=2ab.

（1）求角B的大小；

（2）若ΔABC的面積為3+3，求c邊長．

2024年高考數學新課標Ⅰ卷是新結構型試卷，解答題中的第一題就是三角題，屬于中檔題，只要考生三角基本功扎實，一般都能順利解決.五道解答題就考了一道三角題，這符合高考突出主干知識的命題思想.因為三角題中往往可以考查到三角函數、三角恒等變換、特殊角的三角函數值、正余弦定理、三角形面積公式、由圖形解三角形等等，可謂豐富多彩.在本題中，對（1），由余弦定理、平方關系依次求出cosC，sinC，最后結合已知sinC=2cosB

得出cosB的值，即可確定角B的大小. 對（2），首先求出A，B，C，然后由正弦定理可將a，b均用含有c的式子表示，結合三角形面積公式即可列方程處理. 三角函數、三角恒等變換、特殊角的三角函數值、正余弦定理、三角形面積公式等融為一體，是一道很有效度的好題.

二、解答過程

1.由余弦定理有a2+b2－c2=2abcosC，對比已知a2+b2－c2=2ab，

可得cosC=a2+b2－c22ab=2ab2ab=22，因為C∈0，π，所以sinCgt;0.

從而sinC=1－cos2C=1－222=22.又因為sinC=2cosB，即cosB=12.

而B∈0，π，故B=π3.

2.由（1）可得B=π3，cosC=22，C∈0，π，從而C=π4，A=π－π3－π4=5π12.

所以sinA=sin5π12=sinπ4+π6=22×32+22×12=6+24.

由正弦定理有asin5π12=bsinπ3=csinπ4，從而a=6+24·2c=3+12c，b=32·2c=62c.

由三角形面積公式可知，3+3=SΔABC=12absinC=12·3+12c·62c·22，

即3+3=3+32c2，解得c=22.

或：SΔABC=12absinC=12·2RsinA·2RsinB·sinC=2R2sin5π12·sinπ3·sinπ4，

即3+3=2R2·6+24·32·22， 解得R=2.

故c=2RsinC=4×22=22.

三、提煉概括

由上可見，解三角題有以下幾個要素：

1.目標意識，即解題中要做到三看：看目標（所求），看條件（已知），看關系（聯系）.

2.消元策略，即解題中要靈活運用消角、消邊、消整體等技巧，為實現解題目標奠基.

3.方程思想，即按已知或已有的公式構建方程處理問題，是一種慣用的數學思想.

4.轉化思想，即“邊化角”或“角化邊”或“角邊互化”幾種途徑，根據目標、條件和關系靈活運用.比如，上述高考題中，要求c邊的長，這是目標；從公式SΔABC=12absinC中消去a，b，用R或c邊來表示，構建關于R或c的方程，這就是方程思想、消元策略和“邊化角思想”的應用.

四、聯想探究

1.改變條件

▲改變高考題中第（2）問的條件，將已知“ΔABC的面積為3+3”改為“ΔABC的周長為6+23+32”，則得到：

聯想1.記ΔABC內角A、B、C的對邊分別為a，b，c，已知sinC=2cosB，a2+b2－c2=2ab.

（1）求角B的大小；

（2）若ΔABC的周長為6+23+32，求c邊長．

解析：（1）與高考題一致，略去.

（2）由高考題第（2）問知，2RsinA+2RsinB+2RsinC=3+3，

所以2R=6+23+326+24+32+22=4.故c=2RsinC=4×22=22.

▲改變高考題中的條件，將已知“sinC=2cosB”改為“3c=2b”，“a2+b2－c2=2ab” 改為“sin2A+sin2B－sin2C=2sinAsinB”，則得到：

聯想2. 記ΔABC內角A、B、C的對邊分別為a，b，c，已知3c=2b，sin2A+sin2B－sin2C=2sinAsinB.

（1）求角B的大小；

（2）若ΔABC的面積為3+3，求c邊長．

解析： （1） 由高考題第（1）問知，3sinC=2sinB，sinB=32.

而B∈（0，π）， 故B=π3或B=2π3.

（2）當B=π3時，與高考題一致，c=22.

當B=2π3時，SΔABC=12absinC就是12·2Rsinπ12·2Rsin2π3·sinπ4=3+ 3，解得R=6+2. 故c=2RsinC=（26+22）×22=23+2.

注： 改變條件，增加一解，難度增大. 將“sin2A+sin2B－sin2C=2sinAsinB”角化邊，求cosC； 將“3c=2b”邊化角，求角B的大小.

2.逆向思考

▲對高考題中的第（2）問作逆向思考，題設“ΔABC的面積為3+3”與結論“c=22” 互換，則得到：

聯想3. 記ΔABC內角A、B、C的對邊分別為a，b，c，已知sinC=2cosB，a2+b2－c2=2ab.

（1）求角B的大小；

（2） 若c=22，求ΔABC的面積．

解析： （1）與高考題一致，略去.

（2）因為2R=csinC=2222=4，所以a=2RsinA=4×6+24=6+2，

b=2RsinB=4×32=23.

故SΔABC=12absinC=12×（6+2）×23×22=3+3.

注： 顯然，聯想3比高考題容易，運算量減小.

3.引申拓展

▲將高考題的條件重新設置，引申拓展為兩道動態三角題，則得到

聯想4.在ΔABC中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，其外接圓的半徑是1，且向量m→=（2sinA－2sinC，sinB），n→=（sinA+sinC，b－2a）互相垂直.則ΔABC面積的最大值是""""" ".

解析：因為m→，n→互相垂直，所以2（sin2A－sin2C）+（b－2a）sinB=0.

將sinA=a2R=a2，sinB=b2R=b2，sinC=c2R=c2代入上式得到：

2（a24－c24）+（b－2a）·b2=0 即a2－c2=2ab－b2，a2+b2－c2=2ab.

所以cosC=a2+b2－c22ab=2ab2ab=22， C=45°.

a2+b2－c2=2ab就是a2+b2－（2sin45°）2=2ab，

即a2+b2－2=2ab≥2ab－2， 所以ab≤2+2，當且僅當a=b時等號成立.

所以SΔABC=12absin45°SymbolcB@2+12，故ΔABC面積的最大值是2+12.

注： 顯然，m→，n→互相垂直就是高考題中的條件“a2+b2－c2=2ab”，增加外接圓的半徑條件R=1，運用基本不等式a2+b2≥2ab對a2+b2－c2=2ab放縮變形，確定ab的范圍，實現求面積最值的目標. 聯想4有高度、有深度、有厚度，是一道很好的引申拓展題，比高考題難度大.

聯想5.在銳角ΔABC中，三內角A，B，C對應的邊分別為a，b，c，a2+b2－c2=3ab.

（1）求角C的大小；（2）若4bcosA+4acosB=bc，求邊c的取值范圍.

解析：（1）由a2+b2－c2=3ab，得cosC=a2+b2－c22ab=32.

而C∈（0，π），所以C=π6.

（2）4bcosA+4acosB=bc就是4b·b2+c2－a22bc+4a·c2+a2－b22ca=bc，

化簡整理，得4c=bc，所以b=4.

由csinC=bsinB，得c=bsinCsinB=4sinπ6sinB=2sinB.

由0lt;Blt;π2和0lt;5π6－Blt;π2，得到π3lt;Blt;π2，則sinπ3lt;sinBlt;sinπ2.

因此2lt;2sinBlt;433. 故邊c的取值范圍是（2，433）.

注：角的限制條件是“ΔABC是銳角三角形”，先確定角C和邊b，再建立邊c關于角B的目標函數，由銳角三角形條件確定角B的范圍是解題的關鍵. 易錯在只考慮角B是銳角，而忽視角A也是銳角，即角B必須同時滿足0lt;Blt;π2和0lt;5π6－Blt;π2. 近年來，高考和模考中出現了不少限制角條件的“三角”問題，比如銳角三角形、鈍角三角形、三內角成等差數列、某些角之間的特殊關系等等，有效考查了考生思維的縝密性、嚴謹性、深刻性和靈活性. 聯想5是對高考題的深度引申拓展，必須高度重視..

五、強化運用

解三角題中的目標意識、消元策略、方程思想和轉化思想極其重要，要牢牢把握.從以下兩道高考題中能得到較好的體現.

例1．（2024年全國高考Ⅱ卷第15題）記ΔABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知sinA+3cosA=2．

（1）求角A的大小；

（2）若a=2，2bsinC=csin2B，求ΔABC的周長．

解析：（1）由sinA+3cosA=2，可得12sinA+32cosA=1，即sin（A+π3）=1.

由于A∈（0，π）A+π3∈（π3，4π3），所以A+π3=π2，故A=π6.

（2）由題設條件和正弦定理，有2bsinC=csin2B2sinBsinC=2sinCsinBcosB.

又B，C∈（0，π），則sinBsinC≠0，進而cosB=22，得到B=π4.

于是C=π－A－B=7π12.

sinC=sin（π－A－B）=sin（A+B）=sinAcosB+sinBcosA=2+64.

由正弦定理，可得asinA=bsinB=csinC，即2sinπ6=bsinπ4=csin7π12，

解得b=22，c=6+2.故ΔABC的周長為2+6+32.

注： 根據輔助角公式asinx±bcosx=a2+b2sin（x+φ）（agt;0，bgt;0），其中cosφ=aa2+b2，sinφ=ba2+b2對條件sinA+3cosA=2進行化簡處理，即可求出角A的大小.利用邊化角算出角B，再根據正弦定理算出b，c，即可得出周長.

例2．（2024年高考北京卷第16題）在△ABC中，a=7，A為鈍角，sin2B=37bcosB．

（1）求∠A；

（2）從條件①、條件②和條件③這三個條件中選擇一個作為已知，求△ABC的面積．

①b=7；②cosB=1314；③csinA=523．

注：如果選擇條件①、條件②和條件③分別解答，按第一個解答計分.

解析：（1）由題意得2sinBcosB=37bcosB，因為A為鈍角，所以cosB≠0.

因此 2sinB=37b，則bsinB=237=asinA=7sinA，解得sinA=32.

因為A為鈍角，故A=2π3.

（2）若選擇①b=7，則sinB=314b=314×7=32.因為A=2π3，所以B為銳角，B=π3.

此時A+B=π，不合題意，舍去." △ABC的面積不存在.

若選擇②cosB=1314，因為B為三角形內角，則sinB=1－13142=3314.

代入2sinB=37b，得2×3314=37b，解得b=3.

于是sinC=sinA+B=sin2π3+B=sin2π3cosB+cos2π3sinB

=32×1314+－12×3314=5314.

故S△ABC=12absinC=12×7×3×5314=1534.

若選擇③csinA=523，則有c×32=523，解得c=5.

由正弦定理asinA=csinC，得732=5sinC，解得sinC=5314.

因為C為三角形內角，所以cosC=1－53142=1114.

于是，sinB=sinA+C=sin2π3+C=sin2π3cosC+cos2π3sinC

=32×1114+－12×5314=3314.

故S△ABC=12acsinB=12×7×5×3314=1534.

注：利用正弦定理即可求出∠A的大小.選擇①，利用正弦定理得B=π3，結合（1）問答案即可排除；選擇②，首先求出sinB=3314，再代入式子得b=3，再利用兩角和的正弦公式即可求出sinC，最后利用三角形面積公式即可；選擇③，首先得到c=5，再利用正弦定理得到sinC=5314，再利用兩角和的正弦公式即可求出sinB，最后利用三角形面積公式即可.

以上我們從一道最新高考題出發，通過分析、解答、聯想和運用，提高了對三角問題的認識與理解.對于一些具有代表性、典型性、示范性和拓展性的好高考題或好模考題，要學會思考、學會發掘、學會研究， 溝通聯系、聯想探究、深化思維、提煉規律，并在備考復習中恰當運用，不斷提高解題能力和數學素養.

【專項訓練】

練習1.在銳角ΔABC中，三內角A，B，C對應的邊分別為a，b，c，且sinB+C5=asinBb.則ab的取值范圍是（" ）

A.（32，1）""" B. （2，433）

C.（12，33） D.（34，12）

練習2.設△ABC的內角A，B，C所對邊的長分別是a，b，c，且a=2b，C=2π3.則cos（A－B）的值是"""" .

練習3.在ΔABC中，三內角A，B，C對應的邊分別為a，b，c，且c=1，acosB+bcosA=2cosC. 則邊AB上的高的最大值是"""" .

練習4.在ΔABC中，三內角A，B，C對應的邊分別為a，b，c，sinB+cosBtanC=3a3c，（1）求角C的大小；（2）若E是邊AB上的點， 且BE=CE=3EA，求tanB的值．

練習5.在ΔABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且滿足cosB=1114和sinA=235sinCsinB. （1）求角C的大小；（2）若ΔABC的外接圓半徑R=1，求ΔABC的面積.

練習6.如圖，在平面四邊形ABCD中，AB=4，AD=2，∠DAB=60°，

（1）若BC=2， ΔBCD的面積是5，求sin∠CBD的值；

（2）設∠CBD=θ，若∠BCD=120°，記四邊形ABCD的周長為f（θ）. 求函數f（θ）的表達式，并求其值域.

（答案：1.C；2.1314；3.32；4.（1） C=π6；（2） tanB=36；

5.（1） C=2π3；（2）453196；

6.（1）sin∠CBD=156；（2）f（θ）=4sin（θ+60°）+6，

f（θ）的值域是6+23，10.

【作者簡介： 中學正高級教師（3級）， 安徽省數學特級教師，安慶市數學學會副理事長，安慶市城鎮卓越理科班導師.曾獲得安徽省“教壇新星”、安慶市數學學科帶頭人、安慶市先進教研個人、安慶市名師、市優秀教師、省市優秀科技輔導教師等榮譽稱號.在具有CN刊號的報刊雜志上發表教育教學論文590余篇，在省內外進行名師交流講座200多場】

責任編輯 徐國堅