圓錐曲線中一類斜率互為相反數問題的探究

過圓錐曲線左（或右）焦點的直線與曲線交于兩點（異于頂點），坐標軸x軸（或y軸）上存在一個定點使得與這兩點連線的斜率互為相反數.定點問題一直是圓錐曲線試題命題的熱點問題之一，此類問題內涵豐富，具有一定的研究價值.本文以2023屆貴州省貴陽市高三上學期高考適應性月考（三）中的圓錐曲線試題為例，探究問題的本質，從而得到幾個一般性的結論.

一、試題呈現

題目" （2023屆貴州省貴陽市高三上學期高考適應性月考（三）第20題）已知橢圓C：x2a2+y2b2=1（agt;bgt;0），短軸長為23，過橢圓C的右焦點F2且垂直于x軸的直線被截得的弦長為3.

（1）求橢圓C的標準方程；

（2）過點F2的直線l與橢圓C交于D，E兩點，則在x軸上是否存在一個定點M，使得直線MD，ME的斜率互為相反數？若存在，求出定點M的坐標；若不存在，也請說明理由.

解析" （1）根據題意得2b=23，

2b2a=3， 解得a2=4，

b2=3， 所以橢圓C的標準方程為x24+y23=1.

（2）由（1）可知F2（1，0），當直線l的斜率存在時，設直線l的方程為y=k（x－1），

聯立y=k（x－1），

x24+y23=1， 得（4k2+3）x2－8k2x+4k2－12=0.設E（x1，y1），D（x2，y2），則x1+x2=8k24k2+3，x1x2=4k2－124k2+3.設M（m，0），則kMD=y2x2－m，kME=y1x1－m.

又因為直線MD，ME的斜率互為相反數，

所以kME+kMD=y1x1－m+y2x2－m=x2y1+x1y2－m（y1+y2）（x1－m）（x2－m）=0，所以x2y1+x1y2－m（y1+y2）=x2k（x1－1）+x1k（x2－1）－m［k（x1－1）+k（x2－1）］=0，所以2kx1x2－k（x1+x2）－m［k（x1+x2）－2k］=2k·4k2－124k2+3－k·8k24k2+3－m（k·8k24k2+3－2k）=0，整理得k（m－4）=0.若k（m－4）=0對于任意k∈R恒成立，則m=4；當直線l的斜率k不存在時，若m=4，則M（4，0）滿足直線MD，ME的斜率互為相反數.

綜上所述，在x軸上存在一個定點M（4，0），使得直線MD，ME的斜率互為相反數.

評注" 通過對解題過程的分析，我們知道圓錐曲線中很多的試題都可以進行不同程度的一般性探究與推廣，尤其是涉及到斜率之和為定值的問題.此題難度適中，試題第（2）問中是定點問題的一種特殊的情況，為此，下面探究一般情形下是否也有相關結論成立.

二、結論推廣

結論1"" 已知橢圓C：x2a2+y2b2=1（agt;bgt;0），過橢圓C的左（或右）焦點F1（－c，0）（或F2（c，0））的直線l與橢圓交于A，B兩點，在x軸上存在定點M（－a2c，0）（或M（a2c，0）），使得直線AM，BM的斜率互為相反數.

證明" （以直線l過橢圓的右焦點為例）根據題意得F2（c，0），當直線l的斜率存在時，設直線l的方程為y=k（x－c），聯立y=k（x－c），

x2a2+y2b2=1， 得（b2+a2k2）x2－2ca2k2x+a2k2c2－a2b2=0設A（x1，y1），B（x2，y2），則x1+x2=2ca2k2b2+a2k2，x1x2=a2k2c2－a2b2b2+a2k2.設M（m，0），則kMA=y1x1－m，kMB=y2x2－m，又因為直線AM，BM的斜率互為相反數，同上述解析過程得kMA+kMB=y1x1－m+y2x2－m=y1x2+y2x1－m（y1+y2）（x1－m）（x2－m）=0，所以y1x2+y2x1－m（y1+y2）=0，即k（x1－c）x2+k（x2－c）x1－m［k（x1－c）+k（x2－c）〗=0，所以2kx1x2－k（m+c）（x1+x2）+2kmc=0，所以2k·a2k2c2－a2b2b2+a2k2－k（m+c）·2ca2k2b2+a2k2+2kmc=0，整理得k（mc－a2）=0，若k（mc－a2）=0對任意k∈R成立，則m=a2c；當直線l的斜率k不存在時，若m=a2c，則M（a2c，0）滿足直線AM，BM的斜率互為相反數.

綜上，當直線l經過橢圓C的右焦點F2（c，0）時，在x軸上存在定點M（a2c，0），使得直線AM，BM的斜率互為相反數.

評注" 試題正是結論1中的過右焦點情形，將c=1，a2=4代入到結論1中可以加以佐證結論的正確性，同時當直線l經過橢圓C的左焦點F1（－c，0）時，將結論1中的c換為－c，左焦點情形即可得證.以上結論是存在定點在x軸上，使得直線AM，BM的斜率互為相反數，思考這樣一個問題，在y軸上是否存在定點M，使得線AM，BM的斜率互為相反數？

結論2"" 已知橢圓C：x2a2+y2b2=1（agt;bgt;0），過橢圓C的左（或右）焦點F1（－c，0）（或F2（c，0））且斜率為k的直線l與橢圓交于A，B兩點，在y軸上存在定點M（0，b2ck）（或M（0，－b2ck））（k≠0），使得直線AM，BM的斜率互為相反數.

證明" （以直線l過橢圓的右焦點為例）由于x1+x2=2ca2k2b2+a2k2，x1x2=a2k2c2－a2b2b2+a2k2，證明過程同結論1.設M（0，m），則kMA=y1－mx1，kMB=y2－mx2，又因為直線AM，BM的斜率互為相反數，所以kMA+kMB=y1－mx1+y2－mx2=x2（y1－m）+x1（y2－m）x1x2=0，所以x2（y1－m）+x1（y2－m）=0，即x2［k（x1－c）－m］+x1［k（x2－c）－m］=0，所以2kx1x2－（kc+m）（x1+x2）=0，所以2k·a2k2c2－a2b2b2+a2k2－（kc+m）·2ca2k2b2+a2k2=0，得b2=－kcm，所以當k≠0時，m=－b2ck；當直線l的斜率k不存在時，若m=－b2ck（k≠0），則M（0，－b2ck）滿足直線AM，BM的斜率互為相反數.

綜上，當直線l經過橢圓C的右焦點F2（c，0）時，在y軸上存在定點M（0，b2ck），使得直線AM，BM的斜率互為相反數.

評注" 當直線l經過橢圓C的左焦點F1（－c，0）時，將結論1中的c換為－c，左焦點情形即可得證.以上結論都是基于橢圓模型，那么，在雙曲線和拋物線中是否也有類似的結論？下面繼續探究.

結論3" 已知雙曲線C：x2a2－y2b2=1（agt;0，bgt;0），過雙曲線C的左（或右）焦點F1（－c，0）（或F2（c，0））的直線l與雙曲線交于A，B兩點，在x軸上存在定點M（－a2c，0）（或M（a2c，0）），使得直線AM，BM的斜率互為相反數.

結論4" 已知雙曲線C：x2a2－y2b2=1（agt;0，bgt;0），過雙曲線C的左（或右）焦點F1（－c，0）（或F2（c，0））且斜率為k的直線l與雙曲線交于A，B兩點，在y軸上存在定點M（0，－b2kc）（或M（0，b2kc））（k≠0），使得直線AM，BM的斜率互為相反數.

評注" 結論3和結論4的證明思路與結論1和結論2的證明思路完全一致，通過觀察上述結論可以發現，橢圓和雙曲線模型的結論具有統一性.

結論5"" 已知拋物線C：y2=2px（p≠0），過拋物線的左（或右）焦點F1（－p2，0）（或F2（p2，0））的直線l與拋物線交于A，B兩點，在x軸上存在定點M（p2，0）（或M（－p2，0）），使得直線AM，BM的斜率互為相反數.

結論6"" 已知拋物線C：y2=2px（p≠0），過拋物線的左（或右）焦點F1（－p2，0）（或F2（p2，0））且斜率為k的直線l與拋物線交于A，B兩點，在y軸上存在定點M（0，pk2+k2）（或M（0，－pk2+k2）），使得直線AM，BM的斜率互為相反數.

以上所有結論中圓錐曲線（橢圓、雙曲線、拋物線）的方程都是焦點在x軸上的情形，那么當焦點在y軸上的情形，也有類似的結論成立，大家不妨類比探究.另外，基于以上結論的探究，我們自己可以編制一些相關的題目.

三、題目編制

題目1" 已知雙曲線C：x2a2－y2b2=1（agt;0，bgt;0）過點（4，0），離心率為54，F2為雙曲線的右焦點.

（1）求橢圓C的標準方程；

（2）過點F2且斜率為－2的直線l與雙曲線C交于A，B兩點，則在y軸上是否存在一個定點M，使得直線AM，BM的斜率互為相反數？若存在，求出定點M的坐標；若不存在，也請說明理由.

題目2" 已知拋物線C：y2=2px（pgt;0），其焦點為F，拋物線線上任一點P到點F的距離等于到直線x=－1的距離.

（1）求拋物線C的標準方程；

（2）過點F的直線l與拋物線C交于A，B兩點，則在x軸上是否存在一個定點M，使得直線AM，BM的斜率互為相反數？若存在，求出定點M的坐標；若不存在，也請說明理由.

評注" 這兩道試題的命題思路分別是直線過雙曲線和拋物線的右焦點，求定點在y軸和x軸上的情形，求解思路與前面結論的證明探究相同.

參考文獻

［1］林國紅. 一道圓錐曲線競賽試題的推廣探究［J］. 數學通訊，2022，（04）：44-45+55.

［２］徐鳳旺，劉天明，成敏. 一道2022年數學奧林匹克試題的多解探究及推廣［J］. 中學數學研究（華南師范大學），2023，（11）：24-26.