一道2024年高中數(shù)學聯(lián)賽預(yù)賽題的解法賞析及思考

基金項目：安徽合肥市教育信息技術(shù)2023年度課題“智慧課堂下利用GGB培養(yǎng)高中生數(shù)學探究能力的實踐研究”（項目編號：HDJ23017）；合肥師范學院重點教學研究項目“依托國培計劃對產(chǎn)教融合卓越教師培養(yǎng)模式的研究”（項目編號：2023zdjyxm02）

1.真題呈現(xiàn)

（2024年高聯(lián)內(nèi)蒙古預(yù)賽第8題）已知關(guān)于x的方程x3－3x+4=0的三個復(fù)數(shù)根分別為z1，z2，z3，則z1－z22（z2－z3）2（z3－z1）2的值為"""" .

2.解法探究

探求思路1" 給出一元三次方程的三根，可考慮一元n次方程的韋達定理處理此題.

解法1" 因z1，z2，z3是方程x3－3x+4=0的三個復(fù)數(shù)根知，故由韋達定理可得

z1+z2+z3=0，

z1z2+z2z3+z3z1=－3，

z1z2z3=－4，且z31－3z1+4=0①，

z32－3z2+4=0②，

z32－3z2+4=0③， ，①-②得z1－z2·z21+z1z2+z22－3=0，∵z1≠z2，∴z21+z1z2+z22－3=0，∴z1－z22=3－3z1z2④.

同理得（z2－z3）2=3－3z2z3⑤，（z3－z1）2=3－3z3z1⑥，④×⑤×⑥得（z1－z2）2（z2－z3）2（z3－z1）2=27（1－z1z2）（1－z2z3）（1－z3z1）=27×［1－（z1z2+z2z3+z3z1）+z1z2z3（z1+z2+z3）－（z1z2z3）2］=27［1+3+（－4）×0－42］ =－324.

探求思路2" 利用韋達定理可解，但在用韋達定理的結(jié)論求值時，可采用不同方法簡化運算.

解法2" 由韋達定理知z1+z2+z3=0，z1z2z3=－4， 所以z2－z3z3－z1=－z23+z1+z2z3－z1z2=－z23－z23+4z3=－2z23+4z3=－1212－1z3，同理可得（z1－z2）（z2－z3）=－12（12－1z2），（z3－z1）（z1－z2）=－1212－1z1，故z1－z22z2－z32z3－z12=（-12）3（12-1z1）（12-1z2）（12-1z3）另一方面，當x≠0時，x3－3x+4=0，∴41x3－3（1x）+1=41x3－3（1x）+1=41x－1z11x－1z21x－1z3=0，令1x=12，∴12－1z112－1z212－1z3=316，∴（z1－z2）2（z2－z3）2（z3－z1）2=－324.

探求思路3" 本題借助導(dǎo)數(shù)法可以實現(xiàn)多項式次數(shù)的降低，從而可以巧妙地解決該題.

解法3 "記f（x）=x3－3x+4=（x－z1）（x－z2）（x－z3），兩邊對x求導(dǎo)可得3x3－3= （x－z1）（x－z2）+（x－z2）（x－z3）+（x－z3）（x－z1），對上式中的x取z1，z2，z3，得3（z21－1）=（z1－z2）（z1－z3），3（z22－1）=（z2－z1）（z2－z3），3（z23－1）=（z3－z1）·（z3－z2），三式相乘得27（z21－1）（z22－1）（z23－1）=－（z1－z2）（z2－z3）（z3－z1）2，而（z21－1）（z22－1）（z23－1）=（1－z1）（1－z2）（1－z3）（－1－z1）（－1－z2）（－1－z3）= f（1）f（－1）=2×6=12，∴（z1－z2）2（z2－z3）2（z3－z1）2.

探求思路4" 在計算目標式的值時，可以考慮利用行列式來進行計算，則運算比較簡單.

解法4" 由韋達定理∑z1=0，∑z1z2=－3，z1z2z3=－4，∑z21=∑z12－2∑z1z2=6，根據(jù)范德蒙德行列式可知P=z1－z22z2－z32z3－z12=111

z1z2z3

z21z22z23

=113

z1z2z1+z2+z3

z21z22z21+z22+z23

=113

z1z20

z21z226=3（z1－z2）（z1z2+2），對其兩邊平方得P2=9（z1－z2）2（z1z2+2）2=9z1+z22－4z1z2z1z2+22=9－z32－4－4z3·－4z3+22=10816z33－12z23+1，注意到z33－3z3+4=0，∴－3z23+4z33=－1，所以P2=108×－4+1=－324.

3.一般性推廣

結(jié)論1" 已知關(guān)于x的方程x3+px+q=0的三個復(fù)數(shù)根分別為z1，z2，z3，則（z1－z2）2（z2－z3）2（z3－z1）2的值為－27q2－4p3.

證明" 記f（x）=x3+px+q=（x－z1）（x－z2）（x－z3），∴S=－f′（z1）f′（z2）f′（z3）=－（3z21+p）3z22+p3z23+p=33－p3－z21－p3－z22.－p3－z23=－33×∏3j=1－－p3－zj.∏3j=1－－p3－zj=－33f－－p3f－p3=－33q+2p3－p3·q－2p3－p3=－33q2+427p3=－27q2－4p3.

4.追本溯源

4.1" 教材溯源

此題有三種解法使用了一元三次方程的韋達定理，在學生的認識里似乎超綱了，實際上它來自于人教版必修2第82頁：設(shè)實系數(shù)一元三次方程a3x3+a2x2+a1x+a0=0a3≠0①，在復(fù)數(shù)集C內(nèi)的根為x1，x2，x3，可以得到，方程①可變形為a3x－x1x－x2x－x3=0，展開得a3x3－a3x1+x2+x3x2+a3·x1x2+x2x3+x1x3x－a3x1x2x3=0②，比較①②可以得到x1+x2+x3=－a2a3，x1x2+x1x3+x2x3=a1a3，x1x2x3=－a0a3.如果實系數(shù)一元四次方程a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0=0a4≠0，在復(fù)數(shù)集C內(nèi)的根為x1，x2，x3，x4，那么它們與方程系數(shù)之間有什么關(guān)系呢？

考題是以此內(nèi)容為藍本進行命題的.因此筆者在教學中比較重視對課本內(nèi)容的使用和挖掘.同時啟示我們在競賽及高考數(shù)學備考教學中加強課本的應(yīng)用和引申很有必要.

4.2" 高考溯源

事實上，只要掌握高次方程韋達定理的規(guī)律，則很容易記憶并掌握. 對于三次和四次方程的韋達定理，在高考中早有考查，有著廣泛的應(yīng)用.比如：

例1" （2016年山東高考第12題）設(shè)函數(shù)f（x）=1x，g（x）=ax2+bxa，b∈R，a≠0，若y=f（x）的圖像與y=g（x）的圖像有且只有兩個不同的公共點Ax1，y1，Bx2，y2，則下列判斷正確的是（" ）.

A.當alt;0，x1+x2lt;0，y1+y2gt;0

B.當alt;0，x1+x2gt;0，y1+y2lt;0

C.當agt;0，x1+x2lt;0，y1+y2lt;0

D.當agt;0，x1+x2gt;0，y1+y2gt;0.

解析" 由f（x）與g（x）的圖像有且僅有兩個不同的公共點ax3+bx2－1=0由連個相異實根x1（重根），x22x1+x2=－ba，x21+2x1x2=0，x21x2=1ax1x2≠0，x1+2x2=0x1=－2b3a，x2=b3a－2b3a2b3a=1a4b3=27a2gt;0bgt;0x1+x2=－b3ay1+y2=1x1+1x2=3a2b當alt;0，x1+x2gt;0，y1+y2lt;0.故選B.

例2" （2015年安徽高考第16題）設(shè)x3+ax+b=0，其中a，b都為實數(shù)，下列條件中，使得該三次方程僅有一個實根的是""" .

①a=－3，b=－3;" ②a=－3，b=2;"" ③a=－3，bgt;2;"" ④a=1，b=2.

解析" 設(shè)x3+ax+b=0的三個根分別為x0，x1，x2，則x0+x1+x2=0，x0x1+x0x2+x1x2

= a，x0 x1x2 = -bx1 + x2 = -x0 ，x1x2 = x0 2 + ax1，x2是方程x2+x0x+x20+a=0的根；所以，方程x3+ax+b=0僅有一個實根x1，x2是方程x2+x0x+x20+a=0的虛數(shù)根，且x0x1x2=－b.故選①③④⑤.