對一道函數雙動點高考模擬題的研究

2024屆廣東省高三第五次六校聯考數學第14題是一道典型的求兩個不同函數的圖象上雙動點之間的距離最值問題，本文從以下幾個方面研究該試題.

1.試題呈現

題目" 已知A（x1，y1），B（x2，y2）分別是f（x）=mxex+x－ln（mx）和g（x）=2x－1圖象上的動點，若對任意的mgt;0，都有|AB|a恒成立，則實數a的最大值是""" .

2.解法探究

分析1" 首先通過兩個函數的差函數并運用對數切線不等式確定這兩個函數圖象的位置關系，然后利用導數研究函數f（x）的凹函數的變化趨勢，并判斷中導函數的隱零點處函數f（x）的圖象達到最低點，此時點A到直線y=2x－1的距離即為|AB|的最小值，且點A處的切線平與直線y=2x－1平行，最后利用導數的幾何意義求解即可.

解法1" 令h（x）=f（x）－g（x）=mxex+x－lnmx－2x－1=mxex－x－lnmx+1=mxex－xlne－lnmx+1=mxex－lnex－lnmx+1=mxex+1－lnmxex.根據對數切線不等式“lnx≤x－1，當且僅當x=1時取等號”，可得lnmxex≤mxex－1，于是h（x）mxex+1－mxex－1=2gt;0，故當xgt;0時，函數f（x）的圖象恒在函數g（x）圖象的上方.點A到直線y=2x－1的距離為d，則|AB|d.由f（x）=mxex+x－ln（mx），得f′（x）=mex1+x+1－mmx=mex1+x+1－1x.

令f′x0=0，則當x∈0，x0時，f′（x）lt;0，f（x）單調遞減，當x∈x0，+

SymboleB@ 時，f′（x）gt;0，f（x）單調遞增，因此函數f（x）為凹函數.

設f（x）在點A（x1，y1）處的切線與直線y=2x－1平行.令mex11+x1+1－1x1=2，所以mex11+x1－1－1x1=0，所以mex11+x1－1+x1x1=0，所以1+x1mex1－1x1=0，即mex1=1x1，即mx1ex1=1，而結合函數y=ex與y=1mx的圖象可知mx1ex1=1有正數解x1，所以mx1=1ex1=e－x1，則此時點A（x1，mx1ex1+x1－ln（mx1））到直線2x－y－1=0的距離d=|2x1－mx1ex1－x1+ln（mx1）－1|" 22+12=|2x1－1－x1+lne－x1－1|" 5=|2x1－x1－x1－2|" 5=2" 5=2" 55，即|AB|min=2" 55.

因為對任意的mgt;0，都有|AB|a恒成立，所以a≤2" 55.故實數a的最大值為2" 55.

分析2" 首先把點A看作定點，則點A到直線y=2x－1的距離d即為|AB|的最小值，然后把點A看作動點，求出求d的最小值即可.

解法2" 由解法1可知，當xgt;0時，函數f（x）的圖象恒在函數g（x）圖象的上方.

因為A（x1，y1）在f（x）=mxex+x－ln（mx）圖象上，所以y1=mx1ex1+x1－lnmx1，所以點A到直線y=2x－1，即2x－y－1=0的距離d=|2x1－y1－1|" 22+12=|2x1－y1－1|" 5=|2x1－mx1ex1－x1+lnmx1－1|" 5=|x1+lnmx1－mx1ex1－1|" 5=|lnmx1ex1－mx1ex1－1|" 5，則|AB|mind.

根據對數切線不等式“lnx≤x－1，當且僅當x=1時取等號”，可得lnmxex≤mxex－1，于是lnmx1ex1－mx1ex1－1≤mx1ex1－1－mx1ex1－1=－2，所以|lnmx1ex1－mx1ex1－1|2，所以d2" 5=2" 55，當且僅當mx1ex1=1時，d有最小值為2" 55.而結合函數y=ex與y=1mx的圖象可知mx1ex1=1有正數解x1，所以|AB|min=2" 55.

因為對任意的mgt;0，都有|AB|a恒成立，所以a≤2" 55.故實數a的最大值為2" 55.

分析3" 利用導數研究A（x1，y1）到直線y=2x－1，即y－2x+1=0的距離d的最小值，則由題意可知|AB|d，然后求解即可.

解法3" 點A（x1，y1）到直線y=2x－1，即2x－y－1=0的距離d=|y1－2x1+1|" 22+12=|y1－2x1+1|" 5，則|AB|d.y1－2x1+1=mx1ex1+x1－lnmx1－2x1+1=mx1ex1－lnmx1－x1+1=ex1+lnmx1－（x1+lnmx1）+1.令t=x1+lnmx1，則由mgt;0可知t=x1+lnmx1在0，+

SymboleB@ 上單調遞增，且當x1→0時，t→－

SymboleB@ ；當x1→+

SymboleB@ 時，t→+

SymboleB@ ，所以t∈R.令F（t）=et－t+1，則f′t=et－1，當tlt;0時，f′tlt;0；當tgt;0時，f′tgt;0，所以函數F（t）在－

SymboleB@ ，0上單調遞減，在0，+

SymboleB@ 上單調遞增，所以F（t）min=F0=2，所以ABd=y1－2x1+1" 52" 55.因為對任意的mgt;0，都有|AB|a恒成立，所以a≤2" 55.故實數a的最大值為2" 55.

3.同型考題

例1" （2024屆合肥市六校期考8）點P，Q分別是f（x）=3x－4和g（x）=x2－2lnx上的動點，則|PQ|2 的最小值為（" ）.

A.35（2+ln2）2" B.35（2－ln2）2

C.35（1+ln2）2"" D.35（1－ln2）2

簡解" 由g（x）=x2－2lnx，得g′（x）=2x－2x=2（x+1）（x－1）x，當x∈0，1時，g′（x）lt;0，g（x）單調遞減，當x∈1，+

SymboleB@ 時，g′（x）gt;0，g（x）單調遞增，所以g（x）是凹函數.設g（x）在點x=x0處的切線與y=3x－4平行，則由2x0－2x0=3，解得x0=2，所以切點2，4－2ln2到直線y=3x－4的距離即為|PQ|的最小值，且最小值為|3×2－4+2ln2－4|" 32+（－1）2=|2－2ln2|" 10，所以|PQ|2=35（1－ln2）2.故選D.

例2" （2024屆日照市二模14）在同一平面直角坐標系中，M，N分別是f（x）=－" －x2+4x－3和函數g（x）=ln （ax）－axex圖象上的動點，若對任意agt;0，有|MN|m恒成立，則實數m的最大值為""" .

圖1

簡解" 由y=f（x）=－" －x2+4x－3整理得（x－2）2+y2=1（y≤0），即M在圓心2，0，半徑為1的半圓上.g（x）=lnax－axex=lnax－ex+lnax，令h（x）=x－ex，x∈R，則h′（x）=1－ex，又h′0=1－e0=0，所以當x∈－

SymboleB@ ，0時，h′（x）gt;0，h（x）單調遞增，當x∈0，+

SymboleB@ 時，h′（x）lt;0，g（x）單調遞減，綜上可知，h（x）在x=0處取得極大值，也是最大值，即h（x）≤h0=－1，于是x+ln（ax）－ex+lnax≤－1，即g（x）=lnax－axex≤－x－1，由圖1可知，當M，N分別對應切點，且MN與兩切線垂直時|MN|取得最小值，即|MN|的最小值為圓心到直線y=－x－1的距離減去半徑，亦即|MN|的最小值為|2+0+1|" 12+12－1=3" 22－1.過圓心2，0與y=－x－1垂直的直線方程為y=x－2，所以當且僅當x+lnax=0，y=x－2，y=－x－1，即a=2e－12，x=12，y=－32時取到最小值.綜上，|MN|3" 22－1.因為若對任意agt;0，有|MN|m恒成立，故m的最大值為3" 22－1.