一道女奧選拔賽不等式題的解法探究

文章對2024年浙江省女子奧林匹克選拔賽第1題進行詳細分析，并從不同角度給出5種解法.

題目" 設α，β，γ∈（0，π2），滿足sin2α+sin2β+sin2γ=1，求使得∑cycsinαsin2β+sin2γ≤22+λ（sinα+sinβ+sinγ）最小的實數λ.

解法1"" 當sinα=sinβ=sinγ=33時，解得λ≥66，故只需證明當λ=66時，不等式成立，即證∑cycsinαsin2β+sin2γ≤22+66∑cycsinα.

由sin2α+sin2β+sin2γ=1，可得sin2β+sin2γ=1－sin2α.

由均值不等式得∑cycsinαsin2β+sin2γ=∑cycsinα1－sin2α=∑cycsinα4－（3sin2α+1）3≤∑cycsinα4－23sinα3=∑cyc21×（3sinα）×223sinα（4－23sinα）122≤∑cyc（1×3sinα）×［23sinα+（4－23sinα）］122

=∑cyc（26+66sinα）=26×3+66∑cycsinα=22+66∑cycsinα.

所以使得∑cycsinαsin2β+sin2γ≤22+λ（sinα+sinβ+sinγ）最小的實數λ為66.

評注" 本解法主要是利用均值不等式進行解答，難點是在利用均值不等式時需要較強技巧性的配湊.

解法2"" 當sinα=sinβ=sinγ=33時，解得λ≥66，故只需證明當λ=66時，不等式成立，即證∑cycsinαsin2β+sin2γ≤22+66∑cycsinα.

由sin2α+sin2β+sin2γ=1，可得sin2β+sin2γ=1－sin2α.于是sinαsin2β+sin2γ=sinα1－sin2α.

從而證∑cycsinαsin2β+sin2γ≤22+66∑cycsinα

∑cycsinα1－sin2α≤22+66·∑cycsin2α∑cyc［sinα1－sin2α－66sin2α］≤22.設f（x）=x（1－x）－66x，x∈（0，1），則f″（x）=－14x3（1－x）3+624x3lt;－14x3+624x3=6－624x3lt;0.

故f（x）在（0，1）上是上凸函數，由琴生不等式得∑cyc［sinα1－sin2α－66sin2α］=f（sin2α）+f（sin2β）+f（sin2γ）≤13f（sin2α+sin2β+sin2γ3）=13f（13）=22.所以使得∑cycsinαsin2β+sin2γ≤22+λ（sinα+sinβ+sinγ）最小的實數λ為66.

評注" 該解法是先將不等式等價變形，再構造相應的函數，借助函數的凹凸性，利用琴生不等式將問題解決，解法巧妙，自然.

解法3"" 當sinα=sinβ=sinγ=33時，解得λ≥66，故只需證明當λ=66時，不等式成立，即證∑cycsinαsin2β+sin2γ≤22+66∑cycsinα.

由sin2α+sin2β+sin2γ=1，可得sin2β+sin2γ=1－sin2α.

從而sinαsin2β+sin2γ=sinα·1－sin2α=sinαcos2α=sinαcosα.

先證：sinαcosα≤26+66sinα.設f（α）=sinαcosα－66sinα－26，則f′（α）=2cos2α－66cosα－1，令f′（α）=0，解得cosα=63.當cosα∈（0，63）時，f′（α）gt;0；當cosα∈（63，1）時，f′（α）lt;0，故當cosα=63 ，sinα=33時，f（α）有最大值為f（α）max=33×63－66×33－26=0.所以sinαcosα≤26+66sinα得證.同理可得sinβcosβ≤26+66sinβ，sinγcosγ≤26+66sinγ.

從而∑cycsinαsin2β+sin2γ=∑cycsinα1－sin2α=∑cycsinαcosα≤26×3+66∑cycsinα=22+66∑cycsinα.所以使得∑cycsinαsin2β+sin2γ≤22+λ（sinα+sinβ+sinγ）最小的實數λ為66.

評注" 該解法是利用三角恒等變換得到sinαsin2β+sin2γ=sinαcosα，再利用導數證明局部不等式sinαcosα≤26+66sinα.

解法4"" 當sinα=sinβ=sinγ=33時，解得λ≥66，故只需證明當λ=66時，不等式成立，即證∑cycsinαsin2β+sin2γ≤22+66∑cycsinα.

先證：12∑cycsinαsin2β+sin2γ≤22.①

由均值不等式得

12∑cycsinαsin2β+sin2γ=24∑cyc2sin2αsin2β+sin2γ≤24∑cyc12［2sin2α+sin2β+sin2γ］=24∑cyc12［sin2α+（sin2α+sin2β+sin2γ）］=24∑cyc12［sin2α+1］=28（3+∑cycsin2α）=22.再證：12∑cycsinαsin2β+sin2γ≤66∑cycsinα②.由α，β，γ∈（0，π2），可設a=sinα，b=sinβ，c=sinγ，則∑cyca2=1.

故12∑cycsinαsin2β+sin2γ≤66∑cycsinα12∑cycab2+c2≤66∑cyca∑cycab2+c2≤63∑cyca.

不妨設a≥b≥c，則a2+b2≥c2+a2≥b2+c2.

由切比雪夫不等式及柯西不等式得∑cycab2+c2≤13∑cyca∑cycb2+c2≤13（∑cyca）（3∑cyc（b2+c2））=136（a2+b2+c2）（∑cyca）=63∑cyca.

①②兩式相加得∑cycsinαsin2β+sin2γ≤22+66∑cycsinα.

所以使得∑cycsinαsin2β+sin2γ≤22+λ（sinα+sinβ+sinγ）最小的實數λ為66.

評注" 該解法的思路巧妙，是通過證明兩個局部不等式來解決原問題，其中第二個局部不等式是該解法的難點.

解法5"" 由∑cycsinαsin2β+sin2γ≤22+λ（sinα+sinβ+sinγ），得λ≥∑cycsinαsin2β+sin2γsinα+sinβ+sinγ－22（sinα+sinβ+sinγ）.

不妨設α≥β≥γ，則sinα≥sinβ≥sinγ，且sin2α+sin2β≥sin2γ+sin2α≥sin2β+sin2γ.

由切比雪夫不等式及柯西不等式得∑cycsinαsin2β+sin2γ≤13∑cycsinα∑cycsin2β+sin2γ≤13（∑cycsinα）（3∑cyc（sin2β+sin2γ））

=136（sin2α+sin2β+sin2γ）（∑cycsinα）=63∑cycsinα.

所以∑cycsinαsin2β+sin2γsinα+sinβ+sinγ≤63.

由柯西不等式得∑cycsinα≤3∑cycsin2α=3，故22（sinα+sinβ+sinγ）≥223∑cycsin2α=223=66，即得－22（sinα+sinβ+sinγ）≤－66.

從而得∑cycsinαsin2β+sin2γsinα+sinβ+sinγ－22（sinα+sinβ+sinγ）≤63－66=66.

所以λ≥66，即最小的實數λ為66，當且僅當sinα=sinβ=sinγ=33時，等號成立.

評注" 該解法思路直觀，其解題思路是分離參變量，利用切比雪夫不等式及柯西不等式能快速擺脫根式的束縛，解題過程也較為簡潔.