探究一道三斜率之積為定值的模擬題

鄂東南省級示范高中教育教學改革聯盟學校2024年5月模擬第13題，是一道雙曲線中已知三斜率之積為定值，求雙曲線離心率的填空題，本文首先探究試題的解法，然后推廣到一般雙曲線的情形，進而類比到橢圓和拋物線，得到有關結論.

1.試題及解法

題目斜率為1的直線與雙曲線E：x2a2－y2b2=1agt;0，bgt;0交于兩點A，B，點C是E上的一點，滿足AC⊥BC，△OAC，△OBC的重心分別為P，Q，△ABC的外心為R，記直線OP，OQ，OR的斜率為k1，k2，k3，若k1k2k3=－27，則雙曲線E的離心率為""" .

解法1" 設Ax1，y1，B（x2，y2），Cx3，y3，因為O（0，0），所以由三角形重心坐標公式，得P（x1+x33，y1+y33），Q（x2+x33，y2+y33）.又因為AC⊥BC，所以Rt△ABC的外心R為斜邊AB的中點，所以R（x1+x22，y1+y22）.所以k1=kOP=y1+y3x1+x3，k2=kOQ=y2+y3x2+x3，k3=kOR=y1+y2x1+x2，所以根據k1k2k3=－27，得y1+y3x1+x3·y2+y3x2+x3·y1+y2x1+x2=－27.因為直線AB的斜率為1，所以kAB=y2－y1x2－x1=1（x2≠x1）.根據題意，可得x12a2－y12b2=1，x22a2－y22b2=1，兩式相減得x22－x12a2－y22－y12b2=0，即（x2－x1）（x2+x1）a2－y2－y1y2+y1b2=0，所以y2－y1x2－x1·y2+y1x2+x1=b2a2，所以kAB·k3=b2a2，即k3=b2a2·1kAB，同理k1=b2a2·1kAC，k2=b2a2·1kBC，所以k1k2k3=b2a23·1kAB·1kAC·1kBC.因為AC⊥BC，所以kAC·kBC=－1，又kAB=1，所以1kAB·1kAC·1kBC=1kAB·1kAC·kBC=－1，所以k1k2k3=－b2a23.根據已知k1k2k3=－27，所以－b2a23=－27，所以b2a2=3，所以e=ca=" c2a2=" a2+b2a2=" 1+b2a2=" 1+3=2.故雙曲線E的離心率為2.

評注" 本解法設出A，B，C三點的坐標，利用坐標表示出k1，k2，k3，然后應用三角形重心坐標等公式，再應用點差法，最后結合題設條件“設而不求”，整體消去坐標，得到k1k2k3關于a，b的關系式求解.

解法2" 設弦AC，BC的中點分別為M，N，由于△OAC的重心分別為P，且P在中線OM上，所以k1=kOP=kOM，同理k2=kOQ=kON.根據中點弦結論可知kAC·kOM=kBC·kON=b2a2，即kAC·k1=kBC·k2=b2a2，所以kAC·kBC·k1k2=b2a22. 因為AC⊥BC，所以kAC·kBC=－1，所以k1k2=－b2a22.又因為AC⊥BC，所以Rt△ABC的外心R為斜邊AB的中點，所以根據中點弦結論可知1kAB·kOR=1kAB·k3=b2a2. 因為直線AB的斜率為1，即kAB=1，所以k3=b2a2.所以k1k2k3=－b2a23.根據已知k1k2k3=－27，所以－b2a23=－27，所以b2a2=3，所以e=ca=" c2a2=" a2+b2a2=" 1+b2a2=" 1+3=2." 故雙曲線E的離心率為2.

評注" 本解法直接利用雙曲線中點弦的“二級結論”（見下面3 二級結論中的結論2）得到k1k2k3關于a，b的關系式求解.

2.性質及結論

在解法2中直接應用了雙曲線中點弦的二級結論，方便快捷.實際上，有心圓錐曲線，即橢圓和雙曲線中點弦均具有類似結論.

結論1" 已知A，B是橢圓E：x2a2+y2b2=1agt;bgt;0上的兩點，M是弦AB的中點，O為原點，若kAB、kOM存在，則kAB·kOM=－b2a2.

結論2" 已知A，B是雙曲線E：x2a2－y2b2=1agt;0，bgt;0上的兩點，M是弦AB的中點，O為原點，若kAB、kOM存在，則kAB·kOM=b2a2.

證明" 以橢圓E：x2a2+y2b2=1（agt;bgt;0）為例來證明.

圖1

如圖1，Ax1，y1，B（x2，y2）是E上的兩點，M（x1+x22，y1+y22）是弦AB的中點.

由于A，B都是E上的點，所以x12a2+y12b2=1，x22a2+y22b2=1，兩式相減，可得（x1+x2）（x1－x2）a2+（y1+y2）（y1－y2）b2=0，（y1+y2）（y1－y2）b2=－（x1+x2）（x1－x2）a2，即y1－y2x1－x2=－b2（x1+x2）a2（y1+y2）.于是kAB·kOM=y1－y2x1－x2·y0+y12x0+x12=－b2（x1+x2）a2（y1+y2）·y0+y1x0+x1=－b2a2.

3.推廣及類比

根據解法2，還可將試題的結論推廣為以下的結論.

結論3" 斜率為k（k≠0）的直線與雙曲線E：x2a2－y2b2=1agt;0，bgt;0交于兩點A，B，點C是E上的一點，滿足AC⊥BC，若O為坐標原點，△OAC，△OBC的重心分別為P，Q，記直線OP，OQ的斜率為k1，k2，雙曲線E的離心率為e，則k1k2=－（e2－1）2.

簡證" 由試題解法2可知k1k2=－b2a22=－c2－a2a22=－c2a2－12=－（e2－1）2.

結論4" 斜率為k（k≠0）的直線與雙曲線E：x2a2－y2b2=1agt;0，bgt;0交于兩點A，B，點C是E上的一點，滿足AC⊥BC，若O為坐標原點，△OAC，△OBC的重心分別為P，Q，△ABC的外心為R，記直線OP，OQ，OR的斜率為k1，k2，k3，雙曲線E的離心率為e，則k1k2k3=－（e2－1）3k.

簡證" 由試題解法2可知1kAB·kOR=1k·k3=b2a2，所以k3=b2a2·k，所以k1k2k3=－b2a22·b2a2·k=－b2a23·k=－（e2－1）3k.

雙曲線與橢圓同為有心圓錐曲線，有著許多類似的性質，若將結論3和結論4類比到橢圓，可以得到以下的結論.

結論5" 斜率為k（k≠0）的直線與橢圓E：x2a2+y2b2=1（agt;bgt;0）交于兩點A，B，點C是E上的一點，滿足AC⊥BC，若O為坐標原點，△OAC，△OBC的重心分別為P，Q，記直線OP，OQ的斜率為k1，k2，橢圓E的離心率為e，則k1k2=－（e2－1）2.

證明" 設弦AC，BC的中點分別為M，N，由于△OAC的重心分別為P，且P在中線OM上，所以k1=kOP=kOM，同理k2=kOQ=kON.根據中點弦結論可知kAC·kOM=kBC·kON=－b2a2，即kAC·k1=kBC·k2=－b2a2，所以kAC·kBC·k1k2=b2a22. 因為AC⊥BC，所以kAC·kBC=－1，所以k1k2=－b2a22.由試題解法2可知k1k2=－b2a22=－a2－c2a22=－1－c2a22=－（1－e2）2.

結論4" 斜率為kk≠0的直線與橢圓E：x2a2+y2b2=1agt;bgt;0交于兩點A，B，點C是E上的一點，滿足AC⊥BC，若O為坐標原點，△OAC，△OBC的重心分別為P，Q，△ABC的外心為R，記直線OP，OQ，OR的斜率為k1，k2，k3，雙曲線E的離心率為e，則k1k2k3=（1－e2）3k.

簡證" 由試題解法2可知1kAB·kOR=1k·k3=－b2a2，所以k3=－b2a2·k，所以k1k2k3=－b2a22·（－b2a2）·k=b2a23·k=（1－e2）3k.