多思少算覓蹊徑 直觀數(shù)形巧轉(zhuǎn)化

1. 問題的提出

解析幾何是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，也是高考重點(diǎn)考察的內(nèi)容.其特點(diǎn)是運(yùn)算量大，導(dǎo)致計(jì)算量大的主要原因是：一是當(dāng)曲線與直線進(jìn)行聯(lián)立時(shí)，由于二次曲線方程或直線方程形式較為復(fù)雜，涉及大量的代數(shù)運(yùn)算；二是解析幾何中問題常常涉及其他數(shù)學(xué)知識(shí)，如向量、距離、面積等，使得問題綜合性強(qiáng)，計(jì)算變得繁瑣.這些問題不僅考驗(yàn)學(xué)生的計(jì)算能力，還考驗(yàn)他們的邏輯思維和問題解決能力.本文以2024年新高考I卷第16題為例，作一評(píng)析.

題目" （2024年新高考I卷第16題）" 已知A0，3和P3，32為橢圓C：x2a2+y2b2=1agt;bgt;0上兩點(diǎn).

（1）求C的率心率；

（2）若過P的直線l交C于另一點(diǎn)B，且△ABP的面積為9，求l的方程.

解法1" （常規(guī)解法）（1）將點(diǎn)A0，3和P3，32代入橢圓方程x2a2+y2b2=1，解得a2=12，b2=9，則e=12.

（2）當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，直線l方程為x=3，此時(shí)PB=3，A到PB的距離為3，此時(shí)S△ABP=12×3×3=92≠9，故不滿足題意，所以直線l的斜率存在.設(shè)直線l的斜率為k，則直線l方程為y－32=kx－3，聯(lián)立方程y=kx－3+32，

x212+y29=1， 消去y得4k2+3x2－24k2－12kx+36k2－36k－27=0.設(shè)Bx0，y0，由韋達(dá)定理得3x0=36k2－36k－274k2+3，則x0=12k2－12k－94k2+3，代入y=kx－3+32得y0=－12k2－18k4k2+3+32，因?yàn)橹本€AP方程為y=－12x+3，則B到AP的距離為x0+2y0－65=5512k2+48k+94k2+3+3，

從而S△ABP=12·AP·d=3412k2+48k+94k2+3+3=9，化簡得4k2－8k+3=0或12k2+8k+9=0，解得k=12或32，故直線l的方程為y=12x或y=32x－3.

評(píng)析" 上述解法由于點(diǎn)P不在坐標(biāo)軸上使得直線方程形式復(fù)雜，導(dǎo)致在直線與曲線方程聯(lián)立時(shí)計(jì)算量大，運(yùn)算出錯(cuò)點(diǎn)多，學(xué)生普遍反映解題易入手，難通關(guān)，出現(xiàn)了“爛尾樓”的現(xiàn)象.

2.解決問題的思路

2.1" 聚焦運(yùn)算對(duì)象，優(yōu)化運(yùn)算路徑

在圓錐曲線問題解決的過程中，聚焦運(yùn)算對(duì)象和優(yōu)化運(yùn)算路徑是減少計(jì)算量、提高解題效率的關(guān)鍵.通過聚焦運(yùn)算對(duì)象，可以明確解題的目標(biāo)，讓學(xué)生集中精力進(jìn)行必要的計(jì)算，而優(yōu)化運(yùn)算路徑不僅是為了減少計(jì)算量，還可以探索問題的最優(yōu)解，培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新思維，提高解決問題的能力.

（1）" 巧設(shè)直線方程

本題由于點(diǎn)P不在坐標(biāo)軸上使得直線方程形式復(fù)雜，而通過觀察發(fā)現(xiàn)點(diǎn)A在y軸上，點(diǎn)B也落在直線AB上，因此可以通過設(shè)直線AB方程進(jìn)行求解，達(dá)到簡化運(yùn)算的目的.

解法2" （簡化部分展示） 當(dāng)直線AB的斜率不存在時(shí)，B0，－3，則AB=6，P到AB的距離為3，S△ABP=12×6×3=9，滿足題意，此時(shí)直線l的方程為y+3=32x，即3x－2y－6=0.

當(dāng)直線AB的斜率存在時(shí)，設(shè)直線AB方程為y=kx+3，聯(lián)立方程y=kx+3，

x212+y29=1， ，消去y得4k2+3x2+24kx=0，解得x=0或－24k4k2+3，所以B－24k4k2+3，9－12k24k2+3.

（2）" 巧設(shè)參數(shù)方程

由于橢圓方程是二次方程，直接消參比較麻煩，如果可以借助橢圓的參數(shù)方程來設(shè)點(diǎn)B，可以減少參數(shù)，簡化運(yùn)算.

解法3"" AP=（0－3）2+（3－32）2=352，因?yàn)閗AP=32－33－0=－12，則直線AP方程為y=－12x+3，即x+2y－6=0.

設(shè)B到直線AP的距離為h，則S△ABP=12·AP·h=12×352h=9，∴h=1255.

設(shè)點(diǎn)B（23cosθ，3sinθ），θ∈［0，2π），則h=23cosθ+6sinθ－65=1255，化簡得sinθ+π6=－32或sinθ+π6=332（舍去），則θ=7π6或θ=3π2.

當(dāng)θ=3π2時(shí)，B（0，－3），此時(shí)直線l的方程為3x－2y－6=0.當(dāng)θ=7π6時(shí)，B（－3，－32），此時(shí)直線l的方程為x－2y=0.

綜上所述，直線l的方程為3x－2y－6=0或x－2y=0.

2.2" 直觀條件特征，轉(zhuǎn)化運(yùn)算對(duì)象

“解幾”的本質(zhì)是“幾何”，教師要引導(dǎo)學(xué)生直觀出數(shù)形特征，挖掘出圖形的幾何性質(zhì)，利用圖形描述分析問題，由圖形特征確定合理的解題路徑，建立形與數(shù)的聯(lián)系.

（1）" 幾何條件轉(zhuǎn)化

在解決直線與二次曲線的問題時(shí)，要善于捕捉曲線的幾何特性，靈活應(yīng)用對(duì)稱性、平行性等平面幾何性質(zhì)將問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化，避免繁瑣的計(jì)算.本題B到直線AP距離為1255，則B落在與直線AP平行的直線上.

解法4" 如圖1，設(shè)過B與直線AP平行的直線m：x+2y+c=0.圖1

B到直線AP的距離為c－（－6）5=1255，解得c=6或－18.

當(dāng)c=6時(shí)，聯(lián)立方程x+2y+6=0，

x212+y29=1， 消去x得2y2+9y+9=0，解得y=－3或－32，則B（0，－3）或（－3，－32）.

（2）" 直觀數(shù)形特征

在解決直線與二次曲線的問題時(shí)，若能有意直觀圖形特征，直觀數(shù)的特點(diǎn)，發(fā)現(xiàn)問題的本質(zhì)，則可簡化求解過程.

圖2

解法5"" 如圖2，觀察A0，3和P3，32坐標(biāo)，結(jié)合△ABP的面積為9，發(fā)現(xiàn)當(dāng)B的坐標(biāo)（0，－3）時(shí)，SΔABP=9，滿足條件，此時(shí)直線l的方程為3x－2y－6=0.

結(jié)合橢圓的對(duì)稱性，連接PO并延長與橢圓相交于B′，SΔABP=SΔAB′P，則B′的坐標(biāo)為（－3，－32），也滿足條件，此時(shí)直線l的方程為x－2y=0.

由條件可知，B在與直線AP平行且距離為1255的直線上，觀察圖形可知，滿足條件的直線只有一條，即為BB′，該直線與橢圓有兩個(gè)交點(diǎn).

綜上所述，直線l的方程為3x－2y－6=0或x－2y=0.

3.數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐對(duì)策

3.1" 以生為本，積累經(jīng)驗(yàn)

在實(shí)際課堂教學(xué)中，教學(xué)過程中要以學(xué)生為主體，多給學(xué)生提供自主探究學(xué)習(xí)的機(jī)會(huì)，讓學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中通過一題多解自主體悟出如何設(shè)參能簡化求解過程，在此過程中學(xué)生積累了一定的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，有了成功的體驗(yàn)，就能激發(fā)學(xué)生的興趣，培養(yǎng)學(xué)生的理性思維，提升邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng).

3.2" 引領(lǐng)直觀，滲透思想

（1）" 重視作圖訓(xùn)練，直觀圖形特征

在教學(xué)中，做圖訓(xùn)練是提高學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)和解題能力的重要一環(huán).教師要在課堂上給學(xué)生提供充足的做圖機(jī)會(huì)，可以通過示范和引導(dǎo)學(xué)生做圖，幫助他們掌握做圖的方法和技巧，要求學(xué)生繪制圖形時(shí)要準(zhǔn)確、規(guī)范，避免出現(xiàn)錯(cuò)誤或模糊的情況.在高考中，準(zhǔn)確作圖可以幫助學(xué)生更快的找準(zhǔn)解題方向，簡化解題過程.

例1" （2024年北京卷13）已知雙曲線x24－y2=1，則過（3，0）且和雙曲線只有一個(gè)交點(diǎn)的直線的斜率為"""" .

評(píng)析" 本題學(xué)生只需要精確做圖，就會(huì)發(fā)現(xiàn)所求直線與漸近線平行，從而快速解決問題，避免了設(shè)直線方程進(jìn)行聯(lián)立再判斷根的個(gè)數(shù).

（2）" 強(qiáng)化轉(zhuǎn)化意識(shí)，提升思維能力

通過設(shè)計(jì)具有挑戰(zhàn)性、啟發(fā)性的問題，不斷有意識(shí)地加以引導(dǎo)，引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用平面幾知識(shí)，經(jīng)歷推理、轉(zhuǎn)化、化歸等思維活動(dòng)，逐步領(lǐng)悟利用平面幾知識(shí)何進(jìn)行轉(zhuǎn)化的優(yōu)點(diǎn)，形成深度思考的課堂氛圍，促使學(xué)生在解題過程中培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維和創(chuàng)新能力.

例2" （2024年天津卷8）雙曲線x2a2－y2b2=1（agt;0，bgt;0）的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2.P是雙曲線右支上一點(diǎn)，且直線PF2的斜率為2.ΔPF1F2是面積為8的直角三角形，則雙曲線的方程為（" ）.

A.x28－y22=1"""" B.x28－y24=1

C.x22－y28=1""" D.x24－y28=1

評(píng)析" 本題學(xué)生只需要對(duì)斜率為2這個(gè)條件進(jìn)行巧妙轉(zhuǎn)化，在直角三角形利用角的正切值得到三角形的邊長關(guān)系，并利用定義結(jié)合面積就可輕松求解.

3.3" 聚焦思維，培育素養(yǎng)

教學(xué)的本質(zhì)是思維.教師在教學(xué)過程中要重視課堂問題的設(shè)計(jì)，力求在問題的解決中實(shí)現(xiàn)知識(shí)問題化；創(chuàng)設(shè)有效情境來引領(lǐng)課堂活動(dòng)，在情境的活動(dòng)中解決問題，實(shí)現(xiàn)問題情境化；在激發(fā)學(xué)生思維的過程中活化情境，實(shí)現(xiàn)情境思維化；在可視的課堂教學(xué)流程中調(diào)控思維，實(shí)現(xiàn)思維可視化；在形成結(jié)構(gòu)化的教學(xué)環(huán)節(jié)中實(shí)現(xiàn)可視結(jié)構(gòu)化.通過“五化”的整體調(diào)控與把握，實(shí)現(xiàn)“思維過程化、可視化、結(jié)構(gòu)化、規(guī)范化”，從而促進(jìn)學(xué)生核心素養(yǎng)的培育.

參考文獻(xiàn)

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